厦门理工高数第三章微分中值定理与导数的应用

厦门理工高数第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题九 微分中值定理 一(选择题 1( 在区间上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ] ,,,1,1 31322fx,fx,fxx,(A) (B) (C) (D) fxxx,,，132，，，，，，，，221,x21x， 2( 若在内可导,、是内任意两点，且，则至少存在一点，使xxx,xf(x)(a,b)(a,b),1122 得 [ C ] ,(A) (); f(b),f(a),f(,)(b,a)a,,,b ,(B) (); f(b),f(x),f(,)(b,x)x,,,b111 ,(C) (); f(x),f(x),f(,)(x,x)x,,,x212112 ,(D) () f(x),f(a),f(,)(x,a)a,,,x222 3 [ B ] (下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 2xf(x),(A), (B) , EMBED Equation.DSMT4 [1,1],21，x (C) EMBED Equation.3 , [0,1] (D) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.DSMT4 ,,4( 若 EMBED Equation.3 和对于区间内每一点都有, 则在f(x)g(x)f(x),g(x)(a,b)内必有 [ B ] (A) (B) (C) (D) f(x),g(x)f(x),g(x)，Cf(x)，g(x),1f(x)，g(x),C二(填空题 2f(x),px，qx，r1( 对函数在区间上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结[a,b] a，b论中的，总是等于 ,2 2( 若在上连续，在内可导,则至少存在一点, f(x)[a,b](a,b),,(a,b) f(,)'f(b)f(a)e,f(,)(b,a)使得 成立 e,e, ,3(设fxxxxxx()(1)(2)(3)(4),,,,,,则fx()0,有 4 个根,它们分别位于区间 35 (0,1); (1,2); (2,3);(3，4) 内. 三(证明题 babba,,,,ln0,,ab1( 当，试证: baa x证:令， 可知 在连续，在上可导 f(x),f(x)[a,b](a,b)ln 由拉格朗日定理可知，存在 ,,(a,b) b1'baa,f()(b,a),(b,a),ln,ln,ln使得 , 又，??所以????，??且??， ????????????即????。??????得证 ,arcsinarccosxx，,2( 证明: 2 证明:令 f(x),arcsinx，arccosx 11' 则在上可导，且 f(x),,,0 f(x)[,1,1]221,x1,x ,,'f(1)arcsin1arccos10,，,，, 所以，(c为常数)， 又， f(x),c22 ,arcsinarccosxx，, 故 2 53( 证明方程只有一个正根. xx，,,10 5Rfxxx()1,，,证: 令，则在上连续，且 fx()ff(1)10,(0)10,,,,, 由闭区间上连续函数的性质可知，存在 ,,(0,1)，使得f()0,,。 0ab,, 即fx()有一正根。又假设fafb()0,()0,,，()， 36 又在上连续，在可导，所以由拉格朗日定理可知，存在 f(x)[a,b](a,b) ' ，使得f()0,,，但??矛盾，假设不成立。所以。。。 ,,(a,b) 高等数学练习题??????第三章??????微分中值定理与导数的应用 ????????????????系????????????????专业??????????????班??????????姓名????????????????????????学号?????????? 习题十????洛比达法则 一( 填空题 33x,alim??(??????????????????????????????????????????????????( ,x,ax,a2 63a 322lntan3xxxx,,，1lim3(= 4(= 1 lim32，x,1x,03lntan5x231xx,， 1,x2xlim(1)tan,xlimxe,，,5(= 6( ，x,1x0,2, 6(下列极限能够使用洛必达法则的是 C : 21,x1，xlimlim(A); (B) ; x,1x,，,1,sinbxx 12xsin,xlimx(,arctanx)lim(C); (D)的值， x,，,,0x2sinx 二、判断题:(正确的括号内打“?”，错误的在括号内打“×”) xxx，，sin1coslimlim,,1((不存在) [ × ] xx,,,,xxx,,sin1cos xxxexexex,，，cossincos2( [ × ] limlimlim1,,,2,,,000xxxxx22 37 三(计算题 cosxxx,arcsin00xe()()lim1( 2( lim3x,0,x000sinx,,1sincosxx 1 coscosxx ,xx,arcsin1exxe,,sin2,lim,limx3,1x,0,x0x,lim,，cossinxx2x,0x3 ,31 22e(1)(2),,xx,,,e12,,,lim,1x,0x66x1,,3(, limlnx,ln[1，(x,1)],,x,1xx,1ln,, xxxxxxln(1)ln(1),,,,,,limlim x,,11xx(1)ln(1)(1)xxx,,, xln111，,,,lim ,1xx2(1)2, 11,lim()4. 22x,0xxsin 22sinxx, ,lim()22x,0xxsin 22sinxx, ,lim()4x,0x 2sincos2xxx,,lim() 3x,04x 2cos22x,,lim() 2x,012x 2(2)21,,x ,,lim()2x,0123x arctanx,xlim5( 3x,0ln(1，2x) arctanx,x,lim 3x,02x 38 11,21x，,lim 2x,06x ,1, 6 1 lnx6( lim(cotx),，x0 11ycotxxlnlnln, 则 令y=(cotx)xln cotx2lntan(csc)tanxxxx,,1cotx,,,,,limlimlim1limln x2xxxx,，,，,，x,，00001lnlnsinx() x ylim(ln),1x,，o,,ee.原式 cotx22lntanx(-cscx)xyxlim(arctan)7( ,,limlnlimlimx,，,xxxx,，,，,，0001,ln x 2arctanx2yx,lnxln,,y(arctanx)令 则 , 112arctanx,,2lny，arctanx1x ,limlnlim,limxx,，,,，,x,，,11,2xx 22x1,,,,, lim2x,，,,，1xarctanx 2y,limlnylnx,，,,,,,limeee.所以 原式 x,，, 39 1xxxx,,234，，8( lim,,x,03,, xxx23+4，()1xxx3ln234，，yxln,令， 则 y(),x3 x2x3x4xxx32ln+3ln+4ln23+4，(),()3xxxlny23+43，limlnlim,, lim00xx,,0x,x1 312424， ,,lnln 3y3lim(ln)y24lnln3x,olime所以，原式= ,,,ee240x, 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题十一 函数的单调性与极值 一(填空题 32yxxx,,,，3951(函数在区间 内单调减少, 在区间(,1)3+,,,,和(，) (1,3), 内单调增加( 1yx,，2 (在区间内单润减少，在区间(，)和(，)-11+,,,(-1001，)和(，)x 内单调增加( 33 R (函数的单调增区间是。yx, 112(，0)(,)，,yxx,,2ln4(函数在区间 内单调减少, 在区间 内单调增加( 22 3,1x,,1yxpxq,，，3p,5(1. 当时，函数有极值，那么 6 0 (函数，在区间上的极大值点,x,[,],,,0y,sin(x，)，,2 二(选择题 三(选择题 40 ,,1(设函数满足，f(x),0，不存在，则 [ D ] f(x)f(x)01 (A) x,x及都是极值点 (B) 只有x,x是极值点 x,x001 (C) 只有是极值点 (D) x,x与都有可能不是极值点 x,xx,x011 2(下列命题为真的是 [ D ] ,,(A) 若为极值点，则 (B) 若，则为极值点 xf(x),0f(x),0x0000 ,(C) 极值点可以是边界点 (D) 若为极值点，且存在导数，则 xf(x),000 ,,a,x,b3(设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，f(x)g(x)f(x)g(x),f(x)g(x),0有 [ A ] (A) (B) f(x)g(b),f(b)g(x)f(x)g(a),f(a)g(x)(C) (D) f(x)g(x),f(b)g(b)f(x)g(x),f(a)g(a) ,,,0(设函数连续，且，则存在，使得 [ C ] 4f(x)f(0),0 (A)在内单调增加 (B)在内单调减少 f(x)(0,,)f(x)(,,,0) (C)对任意的有 (D)对任意的有 x,(0,,)f(x),f(0)x,(,,,0)f(x),f(0) ,,xx,xx,x5(当时,,当时,,则必定是函数的 [ D ] fx()0,fx()0,fx()000 (A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对 223三(求函数yxx,,，(5)(1)的单调区间与极值 223 yxx,,，(5)(1) 21,2233,,,，，,，y2(x5)(x1)(x5)(x1) 3 26(x5)(x1)2(x5),，，, ,1 33(x1)， 1, x= x5或 ,令y0, 可得 2 41 ,x1,,当 时 不存在 y 1x1,, x= ,x5,由，把分成四个部分区间，并列讨论如下: (,),,，,2 x1115 (,1),,,(5,)，,(1,),(,5) ,1 222 负 不存在 正 0 负 0 正 , f (x) 递减 极小值 递增 极大值 递减 极小值 递增 f(x) 四(证明题: 1,3(0),,xtanxxx,，( 证明 132 13f(x)tan,,,xxx证明:令 3 '2222f(x)sen1tanxx,,,,,xx 故 ,,,,,x(0,)tanxx0 又， 2 ,'(0,)f(x)0, 所以，，即在 单调递增 f(x)2 ,13,,,,x(0,)f(x)f(0)0tanxxx,， ， 即 。 得证 32 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题十二 函数的极值与最大值和最小值 一(填空题 ,11(当 2 时，函数在处取得极 大 值时，其极 大 值x,,af(x),asinx，sin3x33 3为 . ,,,[0,]，32(函数f(x),x，2cosx在上的最大值为 ，最小值为 622 42yxx,,，823. (13),,,x在 3 处取得最大值 11 , 在 2 x,x, ,14处取得最小值 . 42 二. 选择题 ,,,,1(如果在x达到极大值,且fx()存在，则fx() [ A ] fx()000 ,0,0,0,0(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2(设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有 [ C ] f(x)(,,,，,)f(x) y (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 C)两个极小值点和两个极大值点 (x 0 (D)三个极小值点和一个极大值点 2f(x),x,ln(1，x)3(函数在定义域内 [ A ] 1,ln2(A)无极值 (B)极大值为 1,ln2(C)极小值为 (D)为非单调函数 f(x) 122x,y,2，x,x4(若函数的极大值点是，则函数的极大值是 [ D ] y,2，x,x2 18193(A) (B) (C) (D) 16422 235(y,x在上没有 [ A ] [,1,2] (A)极大值 (B)极小值 (C)最大值 (D)最小值 16(函数在内的最小值是 [ D ] y,(0,1)x (A)0 (B)1 (C)任何小于1的数 (D)不存在 27(函数y,x，1在区间上的最大值是 [ D ] (,1,1) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 8(设有一根长为L的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S，正1 S1方形面积为S，当S，S最小时，, [ C ] 212S2 ,414 (A) (B) (C) (D) 44, 三(求下列函数极值 32y,1( xxx,,，395 2,y=3x6x93(x3)(x+1),,,, , 令y0, 可得 x= -1 x3或 , 43 ,,x1,,-1x3,, 当 时，当时 y0,y<0 x1,, 所以在处 取得极大值 yy(1)10,, ,,-1x3,,x3, 当时 当 时 y<0y0, 所以y在3处 取得极小值 。 y(3)22,, 25四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆〔如下图〕，截面的面积为m，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省( 1x15122,,,,,,5=xy+()xy+xyx解:由已知 可得， 228x8 151,,10,，，，L(x)x2yx=(+1)x+2( -x)(1)x+= ,,22x84x ,1040,,，,L(x)(1),,x 。 24x,，4 40,x由于驻点唯一，且最小值存在，所以当时，材料最省。 ,，4 高等数学(?)练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十三 曲线的凹凸性与拐点 二(填空题 ,x(,,，2)yxe,1(曲线的凸(向上凸)区间是______________，凹(向下凸)区间是 (2，，,) . 33a2byaxb,,()(1,())ab, (若曲线在处有拐点，则与应满足关系 。a,b,且a,0 ac(0,1)b3 , , (当，时点为曲线,0,0,1 32yaxbxc,，， 的拐点。 44 32a,y,0(1,1)4 yaxbxcxd,，，，x,0(若曲线在处取得极值，点是拐点，则 13c, b,d,，，，,00 22 二(选择题 ????曲线在区间内????????????????????????????????????????????????????????????????????????????[????????B????] (A)凹且单调增加??????(B)凹且单调减少????(C)凸且单调增加??????(D)凸且单调减少 ,??(若二阶可导，且，又时，，f(x),,f(,x)x,(0,，,)f(x),0,,，则在内曲线 f(x),0(,,,0)y,f(x)[ C ] (A)单调下降，曲线是凸的 (B)单调下降，曲线是凹的 (C)单调上升，曲线是凸的 (D)单调上升，曲线是凹的 22y,(x,1)(x,3)3(曲线的拐点个数为 [ C ] (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 xy，xxyyxylnln()ln()，,，三(证明题:利用函数的凹凸性证明 (0,0,)xyxy,,,2 6y,五.作函数的图形 2x,2x，4 解:(1)所给函数的定义域为R， 45 -6(2x-2),,12(x1),= y=2222(x-2x+4)(x-2x+4) 222[(x2x4)(x1)2(x2x4)(2x-2)],，,,,，,,y12,, 24(x2x4),， 22[(x-2x+4)4(x1)],,x(x-2),12 = 362323(x2x4),，(x2x4),， ,,,x1,x2,x0,(2)的零点为， 的零点为，， 这些点把定义域分成四个部分 yy ,,, (3) 在各个区间，得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，以及拐点，如下表: y,y 0x 12 (,0),,(0,1)(1,2)(2,)，, ,,, ，，， 0 , y ,,, ，， 0 0 ,, y 图形 增 拐点 增 极大值 减 拐点 减 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题十四 曲率 一、填空题 22K,yxx,,,,1(抛物线在点处的曲率 ，曲率半径 . (1,0)22 31132K,xt,4sinx,2,,2(曲线，在处的曲率，曲率半径. yt,2cos33()31312233()12 222xxyy，，,33(曲线在点的曲率为 ( (1,1)6 22xyK,，,1二、选择题:椭圆 (a,b,0) 在长轴端点(a,0)的曲率 [ B ] 22ab 46 ab(A)0 (B) (C) (D)不存在 22ba 三、计算题: 1(求曲线上曲率最大的点及该点处的曲率半径( yx,ln 11,,,yy,,, 解:， 2xx 1 2,,yxx , ,K(x),333122222(x1)，(1)，,(1(y))，2x 31312222(x1)x(x1)2x，,，222(x1)(12x)，,2, ,K(x),2323(x1)，(x1)， 22,x,令 ,,x ， 且可知 当时取得最大值。 K(x)0,K(x)22 223233,,K(),, 曲率半径 ()2922 2( 汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6(公里/小时)桥的跨度为10米， 拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。 解:取桥顶为原点，竖直向下为y轴的正方向，则抛物线的方程为 2yax(a0),, ,,a0.01桥端点(5，0.25)在抛物线上， 2y0.01x,所以抛物线的方程为， ,,,,,,y0.02x,y=0.02,，所以 y(0)=0,y(0)0.02, 所以在桥顶处抛物线的曲率半径为 322,(1(y))1，， ,,,,50,,y0.02 47 233mv51021.610，，离心力为F()3600(N),,, ,506060， G,F,3600压力 N= = 50000 ,46400(N) 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 综合练习 一(填空题 f(x),x3,x1(函数在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的 2 。 [0,3],, 2xlim(cos)2(极限 1 。 ,x,,x 323(,0)4,,,和(，+)3 (在区间内单调减少在区间(，04)yxx,,6 内单调增加。 ,1xx, 4yx,2(在处取得极小值(2ln 3x,5(在的最大值点为 。 y,x，1,x[,5,1]4 2,x,t,,6(曲线的凸区间是 , 凹区间是 拐点是 。 t,[0,，,)[0,1][1,]，,(1,4),3,y,3t，t,, 二(选择题 fxfa()(),1(设，则在处 [ B ] xa,lim1,,2xa,()xa, ,(A)的导数存在，且 (B) 取得极大值 fx()fa()0,fx() (C) 取得极小值 (D) 的导数不存在 fx()f(x) lnxy,x，2(曲线 [ B ] x x,1y,x(A)是垂直渐近线 (B)为斜渐近线 (C)单调减少 (D)有2个拐点 ln,1xxx,,,fx(),3(设函数，则 [ C ] ,2xxx,,2,1, x,1x,1(A) 该函数在处有最小值 (B) 该函数在处有最大值 48 x,1x,1(C) 该函数所表尔的曲线在处有拐点 (D) 该函数所表示的曲线处无拐点 ,,,,4(设函数在上满足，则、、或的大fx()[0,1]fx()0,f(1)f(0)ff(1)(0),ff(0)(1),小顺序为 [ B ] ,,,,(A) (B) ffff(1)(0)(1)(0),,,ffff(1)(1)(0)(0),,, ,,,,(C) (D) ffff(1)(0)(1)(0),,,ffff(1)(0)(1)(0),,, ,5(设一阶可导，且，则 [ C ] lim1fx,fxf0，，，，，，x,0 A) 一定是的极大值 (B) 一定是的极小值 (fxfx，，，， (C) 一定不是的极值 (D) 不一定是的极值 ，，，，fxfx ,,,a,b6(函数可微，，，，，则函数 [ D ] f(x)f(a),f(b),0f(a),0f(b),0f(x)(A)无零点; (B)只有一个零点; (C)只有两个零点; (D)至少有两个零点( ? 二(计算题 1tan1sin，,，xxtanx-sinx1. lim,lim23x,0x,0xxsin3，，，3x(1tanx1sinx) 21secxcosx2secxsecxtanx+sinx,,,, ,,limlim2xx,,001218x36x 12lim[x,xln(1，)]2( x,,x 111x1,，()(),,,ln(1)22x1xx，xx , lim,lim()-23,x,,x,,,2xx 2x,x+221xxx，,1+x,lim() ,lim()()x,,x,,,22x1， 1x1,,lim() x,,，2x12 四(设有甲乙两城(甲城位于一直线形的河岸上，乙城离河岸40千米，且到河岸的垂足与甲城 相距50千米(两城拟于此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城之水管费用分别为每 千米500元和700元(为使水管费用最省，水厂应设于何处?( 解:以河岸为x轴，过乙城且垂直于河岸的为y轴，指向甲城和乙城的方向飞别分x轴，y轴 的正方向， 假设水厂离原点为x千米，总的费用为y 22 则 ， y500(50x)700x40,,，， 49 x, 令 y500700,,，22x40， 500050, 令 可得x640.82,,, y0,33 由于驻点唯一，且最小费用存在，所以当水厂建在离甲城50-40.82=9.18(千米)时，总的费用最省。 50