定积分的计算

定积分的计算 第六章 6.3讲 第三节 定积分的计算 一、定积分的换元积分法 1.换元积分公式 定理 假设 (1)函数在区间上连续; fx()ab,,, (2)函数xt,,()在区间上是单调的且有连续导数; ,,,,, t(3)当在区间上变化时, xt,,()在上变化,且,,,ab,,,,, 则有定积分的换元公式 ,,,,,,ab,.，，，， b,,fxdxfttdt()()(),,, (6) ,,,,a, 2.举例 a22axdxa,,(0)例1 计算 ,0 xatdxatdt,,sincos则解 设, ,当xtxat,,,,0,0;,,时当时于是 2 ,,2aa222222,,,，cos(1cos2)axdxatdttdt ,,,0002 ,22a1,，，2,，,ttasin2 ,,224，，0 从例1可以看出换元法用于求带有根式函数的积分,可以去掉根号简化 运算. 事实上,式(6)也可以反过来使用,即 ,b,fxxdxfxdx，，,,()(), ，，，，,,a, ,32例2 计算 cossinxxdx,0 ,,3322,解 由于= cossinxxdx,cos(cos)xxdx,,00 '令，且 txdtxdx,,cos,cos则，， ,当 xtxt,,,,0,1,,0,时当于是2 0,40，，t1332 ,,,,,tdtcossinxxdx,,,,1044，，1例2的计算过程也可以写成如下形式: ,,,2111，，,,34322,,,,,,,,coscoscos0xdxx cossinxxdx，，,,,,,,00444，，,,0 这里积分未引入新的积分变量，故积分上.下限不做改变. ,35例3 计算sinsinxxdx, ,o 335322解 由于 sinsinsin1sinsincos,xxdxxxxx,,,,，，于是 ,33,,35222,，,sincossincosxxdxxxdxsinsinxxdx, ，，,,,,0o2 ,33,222,,sinsinsinsinxdxxdx ，，，，,,,02 ,,552，，，，22422 ,,,sinsinxx,,,,555,，，，，02例4 证明若在上连续且为偶函数,则 fx,aa,，，,, aafxdxfxdx,2 ，，，，,,,0a 证明 若为偶函数，则 fxfxfx,,，，，，，， aa0fxdxfxdxfxdx,，由于 ，，，，，，,,,,,aa0用作替换，则 xt,, 00aaa fxdxftdtftdtftdtfxdx,,,,,,,，，，，，，，，，，,,,,,,aa000 aa从而有 fxdxfxdx,2，，，，,,,0a 同样的方法可证:当为奇函数时 a fxdx,0，，,,a二、定积分的分部积分法 1.分部积分公式 ,,设在区间上具有连续导数.，则 uxvx、ab,uxvx，，，，，，，，,, ,,,uxvxuxvxuxvx,，，， ，，，，，，，，，，，，，， 上式两端分别在上求定积分: ab,,, bbb,,uxvxdxuxvxvxuxdx,,，， ，，，，，，，，，，，，，，,,aaa bbbuxduxuxvxvxdux，，，，，，,,即 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,aaa bbbudvuvvdu,,也可写成 ,,,,aaa 这就是定积分的分部积分公式. 2.举例 1 2例5 计算 arcsin.xdx,0 1 2解 arcsin.xdx,0 1122,,xxxdxarcsin(arcsin),,,00 11,x2,,,dx,20261,x 11,1,2222,，,,11xdx，，，，,0122 1322,,，，,，,,，,11x，，012122 1xedx.例6 计算 ,0 2xtdxtdt,,,2,解 先用换元法,令xt,,则且 当时,,当时,于是 x,0t,0x,1t,1 11xt edxtedt,2,,00 再利用分部积分法,有 1111tttt，， tedttdeteedtee,,,,,,,,11 ,,,,,，，0000 1x即 edx,2,0