4.4如何计算根号2

4.4如何计算根号2 4.4如何计算根号2 如何快速有效地计算满足要求的2^(1/2)的近似值, 当x=2^(1/2)时，x^2=2, 这时不难得到: x=1+1/(1+x)。将1+1/(1+x)代入右边，得到: x=1+1/(2+1/(1+x))，再继续代如，得到: 还可以继续代入，不断得到新的式子，这就是一个繁分数。利用繁分数逼近无理数的方法是，可以先舍掉带有未知部分的“尾部”，例如我们在第一个繁分数中x取1作为2^(1/2)的渐近分数，然后将x=1代入x=1+1/(1+x)，这样得到一个新的渐近分数，这样逐步代入不断求得更加接近于2^(1/2)的新的渐近分数。 我们可以在计算机中实现这个想法，作为求解一般无理数的实验方法。 (1)启动程序工作区，输入: x=1; 执行命令后，结果返回>>1#，示计算机已经将x的值初始化为1。 (2)继续输入: x=1+1/(1+x); 执行命令后，结果返回>>3/2#，表示计算机将x的初始值1代入1+1/(1+x)后，得到了新的结果3/2，并且将新的结果赋值给了x。 (3)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行，执行命令，得到新的返回结果>>7/5#。 (4)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行，执行命令，得到另一个新的结果>>17/12#。 (5)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行，执行命令，得到一个新的渐近分数>>49/21#。 (6)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行，执行命令，得到一个更加接近2^(1/2)的渐进分数>>99/70#。结果如下图所示: 【思考与练习】 (1)请你继续得到2^(1/2)的一系列新的渐近分数。 (2)请你得到一个2^(1/2)渐近分数，使得它与2^(1/2)的误差小于10^(-5)。 (3)利用上面的方法，请你计算3^(1/2)的一系列渐近分数，并且得到一个与3^(1/2)的误差小于10^(-5)的渐近分数。