高中数学椭圆面积公式

高中数学椭圆面积公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长). c1c2clone依据某定理， 定理内容如下 : 如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。 那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πab c1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导 因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分 的面积。 根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这 部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积 就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图 形 中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这 两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应 的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s，显然， s=y*dx 现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=?[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤:(第一象限全 取正，后面不做说明) S=?[0:a]ydx=?[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ?[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=?[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率 ?[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-?[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式: ?[0:pi/2]f(sinx)dx=?[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ?[0:pi/2]f(sinx)dx=?[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -?[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=?[0:pi/2]f(sinu)du=?[0:pi/2]f(sinx)dx 则?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-?[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率