椭圆的简单几何性质 1-10题

椭圆的简单几何性质 1-10题 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的方程( ，，A2，0 分析:题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置( a,2b,1解:(1)当为长轴端点时，，， ，，A2，0 22xy椭圆的标准方程为:; ，,141 b,2a,4(2)当为短轴端点时，，， ，，A2，0 22xy椭圆的标准方程为:; ，,1416 说明:椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆 的横竖的，因而要考虑两种情况( 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率( 21a2222？c,，，3c,a解: ?， 3c 13?( e,,33 说明:求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比(二是列 含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可( 典型例题三 ABMx例3 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线x，y,1,0交于、两点， OMAB为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程( 2x2，y,1解:由题意，设椭圆方程为， 2a ，,1,0xy,,2222由，得， ，，1，ax,2ax,0,x2，y,1,2a, 21x，x1，a12?，y,1,x,， x,,MMM221，a2a y112M，?， a,4？k,,,OM24xaM 2x2?为所求( ，y,14 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题( 典型例题四 22xy9,,例4椭圆上不同三点，，与焦点的，,1，，，，，，Ax，yCx，yF4，0B4，,,11222595,, 距离成等差数列( (1)求证; x，x,812 ACkTBT(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率( x a,5b,3c,4证明:(1)由椭圆方程知，，( AFc,由圆锥曲线的统一定义知:， 2aa,x1c 4AF,a,ex,5,x? ( 115 4CF,5,x同理 ( 25 9BF,AF，CF,2BF? ，且， 5 4418,,,,55? ， ,x，,x,,,,,12555,,,, x，x,8即 ( 12 ，yy,,12AC(2)因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为 4，,,2,, y，yx,x1212 ( ，，y,,x,42y,y12又?点在轴上，设其坐标为，代入上式，得 T，，x，0x0 22y,y12 x,4,0，，2x,x12 又?点，都在椭圆上， ，，，，Ax，yBx，y1122 922? ，， y,25,x1125 922 ，，y,25,x 2225 922y,y,,x，xx,x，，，，? ( 12121225 将此式代入?，并利用的结论得 x，x,812 364x,,, 025 90,55k,, ? ( BT4,x40 典型例题五 22xyMM，,1例5 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到FF1243 lMMNMFMF左准线的距离是与的等比中项,若存在，则求出点的坐标;若不存12 在，请说明理由( M，，解:假设存在，设Mx，y，由已知条件得 11 1a,2c,1b,3e,，，?，( 2 lx,,4?左准线的方程是， MN,4，x?( 1 又由焦半径知: 1MF,a,ex,2,x， 1112 1MF,a，ex,2，x( 2112 2MN,MF,MF?， 12 11,,,,2?( x42x2x，，，,,，,,,,11122,,,, 2整理得( 5x，32x，48,011 12解之得或( ? x,,x,,4115 另一方面( ? ,2,x,21 则?与?矛盾，所以满足条件的点M不存在( 说明: (1)利用焦半径公式解常可简化解题过程( (2)本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算(进而根据推理得到的结果，再作判断( (3)本例也可设存在，推出矛盾结论(读者自己完成)( ，，M2cos,，3sin, 典型例题六 2x11,,2P，y,1例6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程( P，,,222,, kk分析一:已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求( 11,,k解法一:设所求直线的斜率为，则直线方程为(代入椭圆方程，并y,,kx,,,22,, 整理得 132222，，，，1，2kx,2k,2kx，k,k，,0( 22 22k,2kx，x,由韦达定理得( 1221，2k 1Pk,,x，x,1?是弦中点，?(故得( 122 2x，4y,3,0所以所求直线方程为( 分析二:设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从，，，，x，yx，yxxyy11221212 y,y12而求斜率:( x,x12 11,,解法二:设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 ，，，，Ax，yBx，yP，,,112222,, 2,x21，y,1，?1,2,2x,22，y,1，? ,22, x，x,1，?,12,y，y,1.?12, 22x,x2212?,?得，y,y,0( ? 122 1y,y112将?、?代入?得，即直线的斜率为,( ,,22x,x12 所求直线方程为( 2x，4y,3,0 说明: (1)有关弦中点的问题，主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点 轨迹;过定点的弦中点轨迹( (2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率( (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”(有关二次曲 线问题也适用( 典型例题七 例7 求适合条件的椭圆的标准方程( ，，(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点2，,6; x(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6( 22xy2，,1a,148分析:当方程有两种形式时，应分别求解，如(1)题中由求出，22ab 2222xyyx2，,1，,1b,37，在得方程后，不能依此写出另一方程( 1483714837 2222xyyx解:(1)设椭圆的标准方程为或( ，,1，,12222abab a,2b由已知( ? 又过点，因此有 ，，2，,6 2222,622,6，，，，或( ? ，,1，,12222abab 2222由?、?，得，或，(故所求的方程为 a,148b,37a,52b,132222xyyx或( ，,1，,1148375213 22xy2c,3b,c,3(2)设方程为(由已知，，，所以(故所求方程，,1a,1822ab 22xy为，,1( 189 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”(关键在于焦点的位置 2222xyyx，,1，,1是否确定，若不能确定，应设方程或( 2222abab 典型例题八 22xyFM，,1AM，2MF例8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当，，A1，31612 M为最小值时，求点的坐标( 1Me,2MF分析:本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得2 1AM，MF最小值(一般地，求均可用此法( e 1a,4c,2e,解:由已知:，(所以，右准线2 l:x,8( AM过作AQ,l，垂足为Q，交椭圆于，故 MMQ,2MFAM，2MFAQ(显然的最小值为，即 为所求点，因此，且在椭圆上(故(所以( M，，y,3x,23M23，3MM 1说明:本题关键在于未知式中的“2”的处理(事实上，如图，，AM，2MFe,2即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使MMMMFMQ 到的距离与到右准线距离之和取最小值( A 典型例题九 2x2例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值( ，y,1x,y，6,03 分析:先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值( ,,x,3cos，解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到，，3cos,，sin,,y,,sin., 直线的距离为 ,,,2sin,，6,,,3cos,sin，6,,3,,( ,,d 22 ,,,当时，( d,22sin,,,,1,,最小值3,, 说明:当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程( 典型例题十 33,,例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在xe,轴上，离心率，已知点到P0，,,22,, 7P7这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标( d分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大 b值时，要注意讨论的取值范围(此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力( 22xya,b,0解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定( ，,122ab 2222ca,bb2由可得 e,,,1,222aaa 31b2a,2b11,,e,,,，即( 42a d设椭圆上的点到点P的距离是，则 ，，x，y 22,,39y,,2222,,13d,x，y,,a,，y,y， ,,2,,24b,,,, 291,,222 ,4b,3y,3y，,,3y，，4b，3,,42,, 其中( ,b,y,b 12db,d如果，则当时，(从而)有最大值( y,,b2 223131,,b,7,,b,由题设得，由此得，与矛盾( 7,b，，，,,2222,, 112dy,,b,d因此必有成立，于是当时，(从而)有最大值( 22 22b,1a,2，，7,4b，3由题设得，可得，( 22xy，,1?所求椭圆方程是( 41 111,,,,y,,由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点,3，,3，,,,,,222,,,, 3,,7的距离是( P0，,,2,, ,,xacos,a,b,0解法二:根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，,y,bsin,, 0,,,2,,，为参数( 2222ca,bb,,2由可得 e,,,1,,,22aaa,, 31b2a,2b11，即( ,,e,,,42a 3,,d设椭圆上的点到点的距离为，则 ，，x，yP0，,,2,, 2233,,,,2222 ,，,,cos，sin,dxya,b,,,,,22,,,, 922243sin3sin ,b,b,,b,，4 21,,22 ,,3bsin,，，4b，3,,2b,, 112sin,,,1d,1如果，即，则当时，(从而)有最大值( b,d2b2 2231311,,b,7,,,1由题设得，由此得，与b,矛盾，因此必有7,b，，，,,2222b2,, 成立( 12dsin,,,时d(从而)有最大值( 于是当2b 22b,1a,2，，7,4b，3由题设知，?，( ,,x2cos,?所求椭圆的参数方程是( ,y,sin,, 3111,,,,,cos,,sin,,由，,，可得椭圆上的是，( ,3，,3，,,,,,2222,,,,