特殊平行四边形：证明题

特殊平行四边形：证明题 特殊平行四边形之证明题 题型一:菱形的证明 ABCACAC1、如图，在三角形中，,，、分别是、上的点，?沿DEABABADE ,,BC线段翻折，使点落在边上，记为(若四边形是菱形，则下列说法正ADEAADAE 确的是( ) ,ABCBCA. 是?的中位线 B. 是边上的中线 DEAA ,,BCABCC. 是边上的高 D. 是?的角平分线 AAAA A D E C B ,A ABCD?ABEBC2(已知:如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E ?GFC与点C重合，得( BEDG,(1)求证:; ，,B60?(2)若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形 ABFG是菱形,证明你的结论( G A D B C E F 3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF( (1)求证:?ABE??AD′F; (2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形,证明你的结论( D′ A F D B C E 4.如图，?ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE?AB交MN于 E，连结AE、CD( (1)求证:AD,CE; (2)填空:四边形ADCE的形状是 ( A DMOE N CB ABCDBNDMBFDEABBF,、如图7放置，，求证:四边形5.两个完全相同的矩形纸片 为菱形( A M B E D F N C 6.如图，在?ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE. )求证:?ABE??ACE (1 (2)当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形,并说明理由. ,,,ABCDAC?ACDCA?ACD7.如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到( 启航教育 ,,,???AADCCB(1)证明; ,,,，,ACB30?CACABCD(2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱 , D形，并请说明理由( D C , A ,CA ABCDACOABAC,,56，DEAC?8(在菱形中，对角线与BD相交于点，(点D作 BC交的延长线于点E( ?BDE(1)求的周长; B (第19题) BCPOP(2)点为线段上的点，连接并延长交AD于点(求证:( QBPDQ, Q D A O E B P C ( 9(如图，在?ABC和?DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M( (1)求证:?ABC??DCB ; (2)过点C作CN?BD，过点B作BN?AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN A D 的数量关系，并证明你的结论( M B C N 10(如图，在?ABC中，?A、?B的平分线交于点D，DE?AC交BC于点E，DF?BC交AC于点F( (1)点D是?ABC的________心; (2)求证:四边形DECF为菱形( 3 ，ACB11、如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB:,BC 于点E,且CF=AE (1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2) 当，A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字) ABCDOACOABCD，BDEF12、如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长 EF，线分别交于( ???BOEDOF(1)求证:; ACAECF，，，EF(2)当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形,证明你的结论( F DA O B C E ABCDABCD?ACCEAD?，BADABE13、如图，四边形中，，平分，交于( AECD(1)求证:四边形是菱形; 启航教育 ?ABC(2)若点是的中点，试判断的形状，并说明理由( EAB EF， ABCDABCD，DEBFBD，，14、如图8，在中，分别为边的中点，连接( ???ADECBF(1)求证:( ADBD,(2)若，则四边形是什么特殊四边形,请证明你的结论( BFDE F D C A B E 15、如图，四边形ABCD是菱形，DE?AB交BA的延长线于E，DF?BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系,并证明你的猜想 5 题型二:正方形的证明题 1、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG( (1)求证:AE=CG; (2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想( 2、如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE?BC于点E，PF?CD于点F. (1) 求证:BP=DP; (2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP,若是，请给予证明;若不是，请用反例加以说明; (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结 图8-1 图8-2 启航教育 论 . ABCDAEFGFGBC3、把正方形绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于 HG点H(如图)(试问线段与线段HB相等吗,请先观察猜想，然后再证明你的猜想( D C G H F A B E (第5题) 4、如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE. (1)观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论. (2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形,若存在，请指出，并说出旋转过程;若不存在，请说明理由. AD GF BEC图12 5(如图?，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE?AG于点E，BF?AG于点F. (1) 求证:DE,BF = EF( (2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由( (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变(请你在图?中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明)( 7 6(如图 ，ABCD是正方形(G是 BC 上的一点，DE?AG于 E，BF?AG于 F( ???ABFDAE(1)求证:; (2)求证:DEEFFB,，( A D E F C B G 7、已知:如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE,CG，连接BG并延长交DE于F( (1)求证:?BCG??DCE; (2)将?DCE绕点D顺时针旋转90?得到?DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形,并说明理由( A D ,E F G E B C 8.如图，l、l、l、l是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，1234 正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。 (1)连结EF，证明?ABE、?FBE、?EDF、?CDF的面积相等。 启航教育 (2)求h的值。 ?ABCABAC,BCDD9(如图:已知在中，，为边的中点，过点作 DEABDFAC?，?EF，，垂足分别为. ???BEDCFD(1) 求证:; ，,A90?(2)若，求证:四边形DFAE是正方形. A F E B C D 题型五:矩形的证明题 1.如图，在?ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 (1) 求证:BD=CD; (2) 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 9 ABCDADBCABDEAFDCEF?，?，?，、BC2.如图，在梯形中，两点在边上， 且四边形是平行四边形( AEFD BC(1)与有何等量关系,请说明理由; ADD A ABDC, ABCD(2)当时，求证:是矩形( C B F E 3.如图，四边形ABCD是矩形，?PBC和?QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点 Q在矩形内( 求证:(1)?PBA=?PCQ=30?;(2)PA=PQ( P A D Q C B 4.如图，?ABC中，AB=AC，AD、AE分别是?BAC和?BAC和外角的平分线，BE?AE( (1)求证:DA?AE; (2)试判断AB与DE是否相等,并证明你的结论( B D E C A F 启航教育 5、如图，在?ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN?BC，设MN交?BCA的角平分线于点E，交?BCA的外角平分线于点F( (1)求证:=; EOFO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形,并证明你的结论( ?ABCBCBCDEA6AAD、如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线 AFDC,CFBEF交的延长线于，且，连接( BCD(1)求证:是的中点; ABAC,ADCF，试猜测四边形的形状，并证明你的结论( (2)如果NMOFE BC(第19题图) A F E B C D 7、已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF?ED. 求证:AE平分?BAD. EBC F AD(第23题) 11 8、如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE,AD，DF?AE于F，连结DE，求证:DF,DC( A D F C B E 9、在矩形ABCD中，AD,2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论,并证明你的结论。 题型五:梯形的相关证明题 10.如图，在等腰梯形ABCD中，?C=60?，AD?BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P( (1)求证:AF=BE; (2)请你猜测?BPF的度数，并证明你的结论( 启航教育 D A E P C B F (第22题) ABCDADBC?ABADDC,,ACAB,CB11(如图(七)，在梯形中，，，，将延 BFCD,长至点F，使( ，ABC(1)求的度数; ?CAF(2)求证:为等腰三角形( D A C F B 图七 ABCDADBC?ABDC,ABCDPAPD、P12.)如图9，梯形中，，，为梯形外一点， BCEF、PAPD,分别交线段于点，且( ???ABEDCF(1)图中除了外，请你再找出其余三对全等的三角形(不再添加辅助线)( ???ABEDCF(2)求证:( D A B C F E P 题型六:综合证明题 1.如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?, ?B =60?，BC=2(点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE?AB 13 交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)?当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________; ?当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________; (2)当α=90?时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由( Rt?ABC?(ABC,:90Rt?ABCC60:2.如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转 ?，DECACRt?ABC180:?(ABFEAB得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连AD(接 AFCD (1)求证:四边形是菱形; G，CG，ABCGBEAD (2)连接并延长交于连接请问:四边形是什么特殊平行四边形,为什么, G A D E F C B ?ABCOACOMNBC?MN3(如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交，BCA，BCAEF的平分线于点，交的外角平分线于点( OEOF(1)探究:线段与的数量关系并加以证明; OACBCFE(2)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗,若是，请证明，若不是，则说明理由; O?ABCAECF(3)当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形, A E F M N O B D C 启航教育 ,ABCDABDC?CDAD,4、如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点，,A90 CD的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为(连接并展开纸片( DAEDFEF (1)求证:四边形是正方形; ADEF GEGBGCD,GBCE(2)取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形( AF E C D B A GF ABCDABAC,ACBD，BC,55、如图15，平行四边形中，，AB,1，(对角线相 OACOBCAD，EF，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点( ,ABEF(1)证明:当旋转角为90时，四边形是平行四边形; ECAF(2)试说明在旋转过程中，线段与总保持相等; BEDF(3)在旋转过程中，四边形可能是菱形吗,如果不能，请说明理由;如果能，说明 ACO理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数( F A D O B C E ABCDACBD，OEBD6、如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点， ?ACE且是等边三角形( ABCD(1)求证:四边形是菱形; ABCD，,，AEDEAD2(2)若，求证:四边形是正方形( E A D O B C 15