“无穷小的比较”的定义及其改进

“无穷小的比较”的定义及其改进 “无穷小的比较”的定义及其改进 第27卷第3期 2011年6月 大学数学 COLLEGEMATHEMATICS Vo1.27,?.3 Jun.2011 "无穷小的比较"的定义及其改进 潘建辉,邓志颖,杨春德 (1.重庆邮电大学数理学院,重庆400065;2.苏州大学数学科学学院,苏州215006) [摘要]"无穷小的比较"的现有定义有多种表述形式,但其中不少表述尚不够准确,有失严谨,甚至会 导致错误命题的出现.引入"基"概念可使无穷小及无穷小比较的定义更为严谨,简洁,一般化.将无穷小量按 含.值点的不同情况分为2类,有利于找出"无穷小的比较"现有定义中存在的问题.通过调整大前提,解决了 定义项与被定义项外延不一致的问题;通过转除为乘,解决了定义项中分母不能为.的问题.改进后的3种定 义形式可满足不同教学层次的教材需要. [关键词]无穷小量;阶的比较;定义改进.夕延;基 [中图分类号]o171;G642.3[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2011)03—0204—05 函数的渐近行为可用函数的比较来刻画,而无穷小的比较又是函数比较中的关键与核心.因此,在 函数的渐近理论中,如何用简洁的数学语言给无穷小的比较下一个科学的定义,就显得十分重要. 现有《数学分析》,《高等数学》和《微积分》教材,对无穷小比较的定义,可谓是 五花八门,林林总总. 然而,其中不少定义却不够严谨.若以此为前提,则将推出一些奇怪的命题.如,由a是的高阶无穷小, 未必有是a的低阶无穷小,但由a是J8的低阶无穷小,则必有是a的高阶无穷小;当一0时,z与 l32J不是同阶无穷小;等价无穷小不具自反性;等等.那么,这些定义到底存在什么问题,又该如何对它 们进行修正呢?为此,我们首先来认识无穷小. 1无穷小的定义及分类 为了用简洁的数学语言给无穷小与无穷小的比较下一个更为一般的定义,先要介绍由现代法国数 学家嘉当(Cartan)所创立的滤子极限理论中的,在拓扑学和数学分析中常用以定义收敛的一个叫做"滤 子基",简称"基"的概念. 1.1基. 由集合X的某些子集B(==组成的集族,称为集合中的基,假如它满足两个条件: (1)VB?国(B-/-); (2)VB?,VB2?,B?(B(二=BnB2). 即族国的元素不是空集,并且任二元素之交都含有族的某个元. 分析中常见的基有:点n?瓞的去心邻域组成的基(记为—n),由无穷的邻域组成的基(记为 一(3o),点a在集合中的去心邻域组成的基(记为z—a?E,包括单侧逼近的情况),在集合中 的无穷邻域组成的基(记为z一..?E,包括数列的情况),平面上给定点的开圆组成的基等. 将"基"引入极限概念中,至少有三个优点.一是不必将各种情况下的极限定义一一罗列出来;二是 使极限涉及的内容更为一般化,为不是在数集上定义的函数,也提供了应用极限理论的可能性.如,曲线 长就是在某一曲线类上定义的一个数值函数,如果对于折线知道了这个函数,那么我们再利用极限过渡 [收稿日期]2008—08—28;[修改日期]200812—11 [基金项目]重庆邮电大学自然科学基金项目(A2008—46) 第3期潘建辉,等:"无穷小的比较"的定义及其改进205 就能定义更复杂的曲线(如圆周)的长;三是不必对每种具体形式的极限过程去一一验证和形式地证明 有关极限的定理. 1.2无穷小的定义. 现有教材给无穷小所下的定义有多种形式,但绝大多数定义的外延还不够宽泛,且形式也不够简 洁.为避免这两个问题,可从"基"的角度对它作如下定义: 若limf(x)一0,则称厂:x一对于基为无穷小. 即极限为0的函数是无穷小.如,十sinz,IzJ和zsin等都是当z一0时的无穷小. 无穷小是一个相对量,即是相对无穷小.对于基,若函数-厂与函数g相比较是无穷小,如, lim一0,则称函数厂相对于函数g是无穷小,并记作一o(g)l】].如,由lira一0知,当-z一.. ,,~053-一..正 时,相对于-zz是无穷小,但当z一0时,z相对于是无穷小.特别地,当g(z)一1时,因lim今g\, 一 limf(x)一0,故函数是相对于1的无穷小,即f—o(1).因此,通常所说的无穷小是一个相对量. 1.3无穷小的分类. 为更好地研究无穷小的比较,有必要对它进行适当的分类.根据极限过程中函数是否必有0值点, 可将无穷小分成两类l3]: (i)若limf(x)一0,且从某"时刻"起(极限点除外),总有f(x)?0,则称f(x)为第1类无穷 小; (ii)否则,若在任何"时刻"后(除极限点外),f(x)总有零值点,则称f(x)为第2类无穷小. 如,z和zsin分别是当,27—0时的第1类和第2类无穷小.特别地,若f(x)三0,则在任何趋势 下,f(x)的极限均为0,故0是唯一为常数,且是属于第2类的无穷小量. 2无穷小比较的现有定义及由此产生的奇怪命题 2.1现有教材关于无穷小比较的定义. 尽管我国的《数学分析》,《高等数学》和《微积分》教材关于无穷小的比较的定义有多种形式,但它们 所采用的理论体系基本一致.这些定义的主要区别在于,它们所包含的小项数不同,以及其中等价无穷 小定义外延的差异.大多数《高等数学》和《微积分》教材,给无穷小比较所下的定义包含5条内容,且其 中同阶无穷小的外延基本一致.如: 定义1设a和p都是在同一自变量的变化过程中的无穷小,又lim是在这一变化过程中的 p 极限, (i)若lim詈一0,则称a是比卢高阶的无穷小,记作a—o(卢);P (ii)若liraa一..,则称a是比p低阶的无穷小; (iii)若lira一c?0,则称a与是同阶无穷小; (iv)若lira一c?0,尼>0,则称a是关于的k阶无穷小; p (v)若lira一1,则称a与卢是等价无穷小,记作a,卢. P 大多数《数学分析》教材给无穷小比较的定义与定义1相比,都有所改进.有的将定义1中的(i)和 (ii)合并为(i),将(iii)的定义范围大为扩展,并去掉了第(iv)条,形成共包含3条的定义,如文r-63和E73; 有的还给出了有界的概念,如文[8].但是,这些定义的严谨程度还是不够高,仍需改进. 2.2现有定义衍生出的奇怪命题. 206大学数学第27卷 以上定义都或多或少存在不够严谨的问题,但相对而言,类似定义1的表述其严谨程度最低,会衍 : 生出较多的奇怪命题.如 (i)一个无穷小可能无法与其自身比较阶的高低.如,z.in,当z一(一?1,?2,„)时,其 函数值为0不能作分母,因此,i与sin无法比较阶的高低(但实际上是等价无穷小). Z正 (ii)当a是p的高阶无穷小时,卢未必是的低阶无穷小.由定义1的(i)知,当一0时,zsin? 是比z高阶的无穷小,但不能由(ii)得知是比z.sin低阶的无穷小. (iii)因lim1不存在,故不能由定义1的(?)得,当z—o时,l-zl与z是同阶无穷小. 12 (iv)若a是无穷小,则口(志>o)不一定是a的阶无穷小.如,当一0时,(xsin)不是正 xsin的2阶无穷小,理由同(i). Z ()一个无穷小与其自身可能不等价.如,当一0时,按照定义1的(v),不能说s1'n1与ocsin 是等价无穷小,理由同(i). (vi)解决某些简单的极限问题,用等价代换法,罗必达法和泰勒展开法等重要方法可能都会失效. 如,证明"当一0时,e"?一1是比z高阶的无穷小"时,这三种方法均无用武之地. 3奇怪命题产生的原因与定义的改进 出现以上奇怪命题的原因何在,又该如何改进这些定义呢? 3.1原因分析. 原因1类似于定义1的表述并非严格意义上的科学定义.既然无穷小包含两类,那么无穷小的比 较就可能出现三种情况:第1类与第1类,第2类与第2类,第2类和第1类的比较,但定义1的极限式 中,因分母不能为0,故第(i)条只能是第1类与第l类或第2类与第l类相比,其他各条都只能是第1 类和第1类的比较.这样,每一条定义都是将被定义概念的外延缩小了,使得它们的定义项都只是被定 义项成立的充分而非必要条件.因此,它们未达到科学定义的要求,均非严格意义上的数学定义. 原因2定义1中第(i)与第(ii)条不可能等价.如前所述,第(i)条可以是按第1类与第1类,第2 类与第1类的次序比较,但第(ii)条只能是按第1类与第1类的次序比较.因此,两者所涵盖的比较类型 不完全相同,故不可能等价. 原因3定义1第(iii)条中,极限值为非0常数时,只是无穷小同阶的特殊情况.事实上,同阶需要 满足的条件比这个要弱许多,甚至当两个无穷小商的极限不存在时,它们也可能同阶.如,按后面改进后 1 的定义,当z一0时,z与fzf,甚至与(2+sin)等都是同阶无穷小.,X7 3.2定义的改进. 1缩小比较范围,取消低阶定义,扩大同阶外延.即 (i)增加大前提?0(注:这里的是关于自变量的函数,?0是指在极限过程中无0值点),使 定义项与被定义项中对应无穷小的范围(外延)一致. (ii)删去定义1的第(ii)条.第(ii)条不仅在第(i)条的基础上缩小了无穷小的比较范围,而且还会使 高阶与低阶的关系不完全协调一致.因此,有画蛇添足之嫌,应删去. (iii)扩大同阶无穷小比较的范围,即是将第(iii)条中的条件lim一c?0适度弱化. p (iv)第(iv)条在实际应用中并不多见,可删掉.即使要定义,严格来说,也应仿照本方案第(iii)项来 第3期潘建辉,等:"无穷小的比较"的定义及其改进207 处理.此,司将定义1改进为: 定义2设a一li — mp一0,且J8?0, (i)若i— m 寺一o,则称a是比高阶的无穷小,或称是比低阶的无穷小,记作a一.()(z-~/x). (ii)若存在L,M>0和u(?),使得Vz?u(?)时,都有L?l荸I?M'贝u称与卢是同阶无穷 小?特别地,若寺一c?o,则a与必为同阶无穷小.另,若与卢(忌>0)是同阶无穷小,则a是卢 的k阶无穷小. (iii)若li— m詈一1,则称a与是等价无穷小,记作a,fl(z一?). 定义2与定义1相比,虽已改善了许多,但还有一个明显的缺点,就是当卢有0值时,a与是否可 比较和怎样比较的问题尚未得到解决,因此还需改进. 方案2扩大定义项中无穷小的比较范围,使之与被定义项中无穷小比较的可能范围一致.即在定 义3的基础上,增加定义项中一0的内容,将定义2改进为: 定义3设a—l — imp一0,且当p一0时,a与p有相同的.值点,当卢?o时, (i)若寺一0,则称a是比卢高阶的无穷小,或称卢是比a低阶的无穷小,记作一.(卢)(1z一?). (ii)若存在L,M>0和己,(?),使得VIz?u(?)时,都有L?l号l?M,则称a与卢 是同阶无穷 小?特别地,若詈—c?o,则a与卢一定是同阶无穷小.另,若a与(志>o)是同阶无穷小,则a是 口的忌阶无穷小. (iii)若一 lim0/一1,则称与卢是等价无穷小,记作a,fl(x—zS). 这样就可完全避免2.2中奇怪命题的出现.如,可由定义3第(iii)得,当—o时,ezs?n?一1与 sin?是等价无穷小,因为当z一(一?1,-4-2,„)时,它们有相同的0值点,当z?时,Z7r不 一1 lim一1.进而,由Iim—2sin1-- lim crzsin--~ 一 .知,当z—+o时,.一1是比高阶的 无穷小. 但定义3还是有缺点,它仅适用于数集上定义的无穷小的比较,且形式还不够优美.其中的?与 (,『(?)的具体形式需加以说明,但又不易说清楚.因此,有必要进一步改进. 方案3借"基"定义,转除为乘.就是为使定义涵盖的外延更广,需借助"基"的概念给无穷小的比 较下一个更为一般的定义;同时,为避免0作除数,需转除为乘,使0值与非0值包含在同一个式子里. 这样,可将定义3改进为: 定义4设liraa—lim一0, 毋埘. (1)若a与最终满足a一,其中lim7一o,则称对于基甥,是比卢高阶的无穷小,或是比a低 阶的无穷小,记作a—o(f1). (2)若jL,M>o及基之元素B,使得在B上有关系Ll卢l?IJ?MlJ,则称对于基,a与 是同阶无穷小,记作.特别地,若a与最终满足a==='79,其中li— m7一c?0,则必有a.8.另,若 a与(>O)是同阶无穷小,则a是的k阶无穷小. (3)若a与卢最终满足a===,其中lim7—1,则称对于基,a与J8是等价无穷小,记作,. 3.3定义的几点补充说明. 最后,对以上定义作几点补充说明: 208大学数学第27卷 (i)不是任何两个无穷小都可进行阶的比较.如,当一0时,xsin,1与zsin(一号)虽然都是2/7,工, 第2类无穷小,但除点===0外,它们取得0值不同步,因此不能进行阶的比较. (ii)改进后的以上3个定义,分别适用于不同教学层次的需要.定义2可用于经管类的《微积分》和 较低要求的《高等数学》教材;定义3适用于一般要求的《高等数学》教材;定义4则适用于数学专业《数 学分析》教材,且定义4可增加"函数有界"等概念. (iii)并非只有无穷小才可比较阶的高低,一般函数也可比较,甚至可等价代换.这只需取消定义中 " a与是无穷小"的限制条件即可. (iv)滤子极限理论可将各种纷繁复杂的极限理论纳入到一个统一体系,并且它是将现代数学的一 些概念与古典数学分析相结合的一个范例.因此,将"基"概念引入到"无穷小的比较"定义中,还有利于 高等数学与数学分析教学内容的"现代化",有利于学生对其他后继数学课程的学习. [参考文献] [1](俄罗斯)卓里奇.数学分析(第一卷)[M].4版.蒋铎译.北京:高等教育出版社,2006:ll2 [2]朱时编.数学分析札记[M].贵阳:贵州教育出版社,1994:155. [3]成立社.等价无穷小替换定理的一点注iEEJ].郑州工业大学,1998,19(2):123—126. [4]《高等数学》教材编写组.高等数学[M].长沙:湖南教育出版社,2006:56. [5]车向凯,谢崇远.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2005:43. [6]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].3版.E京:高等教育出版社,2001:60. [7]吕冠国,等.数学分析(上册)[M].北京:科学出版社,2006:45. [83赵焕光,林长胜.数学分析(上册)[M].成都:四川大学出版社,2006:57. [93龚冬保.高阶无穷小与低阶无穷小[J].高等数学研究,2000,3(3):l6. OntheDefinitionsof''ComparisonofInfinitesimal'' AndTheirImprovements PANJian—hui.DENGZhi—ying,.YANGChun—de (1.CollegeofMathematicsandPhysics,ChongqingUniversityofPostsandTelecommunica tions,Chongqing 400065,China;2.SchoolofMathematicalsciences,SuzhouUniversity,Suzhou215006,Chi na) ,一,一,一一.量呲.?一拟_墓khm?_兽一一,,,,,一一,一一一一一一一一一一一,一,,一一,一一一,一,一一一一,,一一一一蛳一叩一咄一,一一一,mm』至m,一一,,一一一一一撇一一一一一,,脚