高三文科数学试卷

高三文科数学试卷 2011-2012学年高三文科数学试卷(6) 第?卷(选择题 共60分) 参考公式: xxx,,,？样本数据的标准差 12n 1222Sxxxxxx,,，,，，,？ 其中为样本平均数。 [()()()]xn12n 柱体体积公式: 其中S为底面面积，为高。 VSh,h 椎体体积公式: 1 其中S为底面面积，为高。 hVSh,3 球的面积，体积公式: 423 其中R为球的半径。 ,,,,SRVR4,3 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求) MN:1(集合，，则=( ) M,,{1,0,1}N,{0,12}， A. B. C. D. {0,1}{10,1},，{0,1,2}{10,1,2},， 2a(43)(1)aaai,，，,aR,2.已知复数是纯虚数，(),则实数的值为( ) A(1 B. 3 C. 1或3 D. -1 4cos,tan0,,3.若，，则的值为( ) ,,,sin5 3334A. B. C. D. ,,5555 aS,25a,3a,4. 若等差数列{}的前5项的和，且，则( ) n527 A. 12 B. 13 C. 14 D.15 5.某校举行2012年元旦汇演，七位评委为某班的节目打出的分数如茎叶统计图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A.84，4.84 B. 84，16 C.85，1.6 D.85，4 777 99 4 6 4 7 888 44 999 33 322xy，,0，,xR6.已知命题pxy,q:若，则全为0;命题:，使。则sincosxx，,2 下列命题是真命题的是( ) A. B. C. D. pq,()，,pqpq,，()()，,pq 7.下图是一个底面是正三角形的三棱柱的正视图，三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球 1619194的表面积为( )A. B. C. D. ,,,,33123 开始开始 输入输入xx 是是xxxx,，,，33xx,,0?0? 否否 yxyx,, 11 输出输出yy 1111结束结束 x,,128.如果执行上面的程序框图，输入，那么其输出的结果为( ) 13A.9 B.3 C. D. 9 m,m,,9.如果直线l，与平面，，满足，，和，那么必有( ) ,,l,,,:l ,m,, ml,ml,A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 m ,m ,,, ,,,,,,,,, 4112ab,,210.已知，现有下列不等式:(1);(2); bba,,312()，,，abab log3log3,abab,，(3) ;(4)。其中正确的是( ) ab A. (2) (4) B. (1) (2) C. (3) (4) D.(1) (3) xx,'fxeae()=，fx()aR,11.设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线yfx,() 3的斜率是，则切点的横坐标为( ) 2 ln2ln2,ln2ln2A. B. C. D. ,22 xacgxxx()log,，hxxx()log,，fxx()2,，b12.已知函数，，的零点依次为，，，24 则( ) abc,,cba,,acb,,bac,,A. B. C. D. 第?卷(非选择题 共90分) 二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) ,,,,x13.已知向量，，若向量，则实数的值为___. a,(2,3)ab b,(,6)x 2214.若直线，被圆截得的弦最短，则实数的值为____. xyx，,,,230kykx,，1 x,2, ,xy,315.已知实数，满足，则的最大值为___. ySxy,，,21, ,xy，,1, m16. 对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 13,7,,315,,,3333m39,，，，，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的2,4,？m,,,175,,,11,,19, 值为___。 三、 解答题:(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) ,已知函数 fxxx()4cossin()1,，,6 ,,(1)求的最小正周期;(2)求在区间上的最大值和最小值。 [,],fx()fx()64 18. (本小题满分12分) nSa,,1{}aSnN,*已知前项和为，且 ()。 nnnn nn{}b{}aTnN,*(1) 求数列的通项公式;若()求数列的前项和为 b,nnnnan 19. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点。 (1)当E为侧棱SC的中点时，求证:; SABDE 平面 SAC(2)求证:平面BED,平面。 SS EE DDCC OO AABB 20. (本小题满分12分) n某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次是否开通“微博”[25,55]分组分组时尚族的人数时尚族的人数组数组数占本组的频率占本组的频率的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”。通过调查分别得到如图1 所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图: [25,30)[25,30)1201200.60.6第一组第一组 [30,35)[30,35)195195pp第二组第二组 [35,40)[35,40)1001000.50.5第三组第三组 [40,45)[40,45)aa0.40.4第四组第四组 [45,50)[45,50)30300.30.3第五组第五组 [50,55][50,55]15150.30.3第六组第六组 图1 图2 请完成以下问题: na(1) 补全频率直方图，并求，，的值 p (2) 从岁和岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络[40,45)[45,50) 时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中年龄在岁的[40,45) 概率。 21.(本题满分12分) 12已知函数 ，。 gxx(),fxaxx()()2ln,，， x 1(1) 若，时，直线与函数和函数的图像相切于同一点，求切线的方lla,fx()gx()2 程 a(2) 若在内为单调函数，求实数的取值范围。 fx()[2,4] 说明:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。 22.(本小题满分10)选修4-1:几何证明与选讲 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分，APC线分别交AB、AC于点D、E. (1) 证明: ，,，ADEAED PC(2) 若AC=AP,求的值 PA 23. (本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程 9已知点，参数，点Q在曲线C:上。 ,,P(1cos,sin)，,,,,,[0,],，2sin(),4(1) 求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程; (2) 求点P与点Q之间距离的最小值。 24. (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲 14x已知，对，恒成立，求的取值范围。 ab，,1,,，,ab,(0,)，,,,，|21||1|xxab 黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学文科试题答题卡 四、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) ,,,,x13.已知向量a,(2,3)ab ，，若向量，则实数的值为___. b,(,6)x 22xyx，,,,230k14.若直线，被圆截得的弦最短，则实数的值为____. ykx,，1 x,2, ,xy,315.已知实数，满足，则的最大值为___. ySxy,，,21, ,xy，,1, m16. 对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 13,7,,315,,,333339,m2,，，，，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的4,？m,,,175,,,11,,19, 值为___。 五、 解答题:(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) ,已知函数 fxxx()4cossin()1,，,6 (1)求的最小正周期; fx() ,,(2)求在区间上的最大值和最小值。 [,],fx()64 18. (本小题满分12分) nSa,,1{}aS已知前项和为，且 ()。 nN,*nnnn {}a(2) 求数列的通项公式; n nn{}bT(3) 若(nN,*)求数列的前项和为 b,nnnan 19. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的 E为侧棱SC上一点。 交点为O， (1)当E为侧棱SC的中点时，求证:; SABDE 平面 SAC(2)求证:平面平面。 BED, SS EE DDCC OO AABB 20. (本小题满分12分) n某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次是否开通“微博”[25,55] 的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”。通过调查分别得到如图1 所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图: 分组分组时尚族的人数时尚族的人数组数组数占本组的频率占本组的频率 [25,30)[25,30)1201200.60.6第一组第一组 [30,35)[30,35)195195pp第二组第二组 [35,40)[35,40)1001000.50.5第三组第三组 [40,45)[40,45)aa0.40.4第四组第四组 [45,50)[45,50)30300.30.3第五组第五组 [50,55][50,55]15150.30.3第六组第六组 图1 图2 请完成以下问题: na(3) 补全频率直方图，并求，，的值 p (4) 从岁和岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络[40,45)[45,50) 时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中年龄在岁的[40,45) 概率。 21.(本题满分12分) 12gxx(),已知函数 ，。 fxaxx()()2ln,，，x 1ll(3) 若，时，直线与函数和函数的图像相切于同一点，求切线的方fx()gx()a,2 程 a(4) 若在内为单调函数，求实数的取值范围。 fx()[2,4] 说明:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。 22.(本小题满分10)选修4-1:几何证明与选讲 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分，APC线分别交AB、AC于点D、E. (3) 证明: ，,，ADEAED PC(4) 若AC=AP,求的值 PA 23. (本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程 已知点，参数，点Q在曲线P(1cos,sin)，,,,,,[0,] 9C:上。 ,,,，2sin(),4 (3) 求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程; (4) 求点P与点Q之间距离的最小值。 24. (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲 14x已知，对，恒成立，求的取值范围。 ab，,1,,，,ab,(0,)，,,,，|21||1|xxab 绥化市2011,2012学年度高三年级质量检测考试 数学(文)参考及评分意见 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A B C C B D B D D C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.4 14.1 15.6 16.8 三、解答题(本大题70分) 17.(本小题满分12分) ,,解(1)f(x)=4cosx(sinxcos+cosxsin)-1 66 23=2sinxcosx+2cosx-1 3=sin2x+cos2x 3分 ,=2sin(2x+)， 5分 6 ? 函数f(x)的最小正周期为π 6分 ,,,,2,(2)? -?x?, ? -?2x+?, 8分 36466 ,,,? 当 2x+=,即x=时，函数f(x)取得最大值2; 626 ,,,当 2x+= -,即 x= -时，函数f(x)取得最小值-1 12分 666 18.(本小题满分12分) 1解(1)n=1时,a=1-a, ? a=, 2分 1112 ? S=1-a,?? S+1=1-a,? nnnn+1 1 ?-?得 a= -a+a， ? a=a(n?N*)， 4分 n+1n+1nn+1n 2 11? 数列{a}是首项为a=，公比q=的等比数列， n122 111n-1n ? a=?()=()(n?N*). 6分 n222 nn(2)b==n?2(n?N*), 7分 nan 23n? T=1×2+2×2+3×2+„+n×2，? n234n+1 2T=1×2+2×2+3×2+„+n×2，? 9分 n23nn+1?-?得 -T=2+2+2+„+2-n×2 n n2(12),n+1=-n×2， 12, n+1 整理得 T=(n-1)2+2,n?N*. 12分 n 19.(本小题满分12分) 证明(1)连接OE，当E为侧棱SC的中点时，OE为?SAC的中位线， 所以SA?OE， 3分 , 因为SA平面BDE，OE 平面BDE， 所以SA?平面BDE. 5分 (2)因为 SB=SD,O是BD中点， 所以BD?SO， 7分 又因为四边形ABCD是正方形，所以BD?AC, 9分 因为AC?SO=O，所以BD?平面SAC. 11分 又因为BD平面BDE，所以平面BDE?平面SAC. 12分 , 20.(本小题满分12分) 解(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3, 0.3所以高为=0.06(频率直方图如下: 5 3分 120200第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000, 4分 0.20.6 195所以第二组的人数为1000×0.3=300， p==0.65, 5分 300 四组的频率为 0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150， 所以a=150×0.4=60( 6分 (2)因为,40,45)岁与,45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60?30=2?1， ，45)岁中有4人，,45,50)岁中有2人( 8分 所以采用分层抽样法抽取6人， ,40 设a、a、a、a为,40,45)岁中抽得的4人，b、b为,45,50)岁中抽得的2人， 123412 全部可能的结果有: (a, a), ( a, a), ( a, a), ( a, b), ( a, b),(a, a), (a, a), (a, b), (a,b),(a, a), 12131411122324212234(a, b), (a, b),(a, b), (a, b), (b, b), 共15个， 10分 3132414212 62 所以所求概率为= ( 12分 155 21.(本小题满分12分) 2xx，,41112解(1)? f′(x)=(1-)+= ， ? g′(x)=2x, 222x2xx 又直线L与函数f(x),g(x)的图象相切于同一点, 2xx，,41 ? =2x, 4分 22x 1 解得x=1,x=，(x=-1舍去), 4 117111此时，f(1)=g(1)=1,而f()=+?g()=, 2ln484164 ? 切点为(1，1)，则切线L的方程为:y=2x-1. 6分 2axxa，,212(2)? f′(x)=a(1-)+=, 22xxx 要使f(x)在,2,4,为单调增函数，须f′(x)?0在,2,4,恒成立， 2axxa，,22 即?0在,2,4,恒成立，即?0在,2,4,恒成立， axxa，,22x 22x2 a(x-1)?-2x,即a?= (2?x?4), 8分 211,x,1x 118设u(x)= -x(2?x?4),因为u′(x)=--1,所以u(x)在(2,4)上单调递减. ? ?,2xx15 22x4=?-， 2131,x,1x 8所以当a?时，f(x)在,2,4,为单调增函数;10分 ,15 4同理要使f(x)为单调减函数，须f′(x)?0在,2,4,恒成立，易得a?-， 3 48 综上，若f(x)在,2,4,为单调函数，则a的取值范围是(-?,- ,或,,+?). 12,315分 说明:请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分 22.(本小题满分10分) 1:几何证明选讲 选修4— 解:(1)? PA是切线，AB是弦， ? ?BAP=?C，„„„„„„„„„„„„2 分 又 ? ?APD=?CPE, ? ?BAP+?APD=?C+?CPE, ? ?ADE=?BAP+?APD, ?AED=?C+?CPE, 4分 ? ?ADE=?AED. 5分 (2)由(1)知?BAP=?C, 又 ? ?APC=?BPA, PCCA? ?APC??BPA, ?, 7分 ,PAAB ? AC=AP, ? ?APC=?C=?BAP, 由三角形内角和定理可知，?APC+?C+?CAP=180?, ? BC是圆O的直径，? ?BAC=90?, ? ?APC+?C+?BAP=180?-90?=90?, 1? ?C=?APC=?BAP=×90?=30?. 9分 3 CAPCCA33在Rt?ABC中，=, ? =. 10分 ,ABPAAB 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 x,，1cos,,,22解(1)由得点P的轨迹方程 (x-1)+y=1(y?0), 2分 ,y,sin,,, 99又由=，得=, ? =9. ,,,,,,sincos，,,,，sincos，2sin(),4 ?曲线C的直角坐标方程为 x+y=9. 5分 22(2)半圆(x-1)+y=1(y?0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，所以,PQ,=4-1. 22min10分24.(本小题满分10分)选修4,5:不等式选讲 1414b4a解:? a,0,b,0 且a+b=1 ? +=(a+b)( +)=5++?9, ababab14故+的最小值为9， 5分 ab 14因为对a,b?(0，+?),使+?,2x-1,-,x+1,恒成立， ,ab 所以，,2x-1,-,x+1,?9, 7分 当 x?-1时，2-x?9, ? -7?x?-1, 11当 -1,x,时，-3x?9, ? -1,x,, 22 11当 x?时,x-2?9， ? ?x?11, 22 ? -7?x?11 10分