已知抛物线s的顶点在坐标原点,核心在x轴上, 的三个顶点都在抛物线上,且 的重心为抛物线的核心,若bc地点[指南]
,ABC1 . 已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,的三个顶点都在抛
,ABCl物线上,且的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线的方程为4200.xy,,,
(I)求抛物线S的方程;
(II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足.试说POOQ,明动直线PQ是否过定点.
4200,xy,,,,22解:(I) 设抛物线S的方程为 由 可得 ypx,2.2200.ypyp,,,,2ypx,2,,
,,0由,有,或 p,0p,,160.
p设yy,,,,则 BxyCxy(,),(,),1211222
yyyy,p1212?,,,,,,,,,xx(5)(5)1010. 124448
xxxyyy,,,,pp123123,ABCF(,0),,,,0设,由的重心为则,Axy(,)332323
211pppp11,,?,,,xy10,. ?点A在抛物线S上,? ?,,2(10),p33,,8228,,
p,8.
2?抛物线S的方程为 yx,16.
(II)?当动直线的斜率存在时,设动直线方程为,显然 PQPQykxb,,kb,,0,0.
PxyQxy(,)(,)kk,,,1.设,?,? POOQ,OPOQPPQQ
yyQPxxyy,,0.1,? ? ,,,PQPQxxPQ
16b2yy,.将ykxb,,代入抛物线方程,得?kyyb,,,16160,PQk
2222yy,bb16bPQ,,0.,从而? xx,,PQ222kk16k
?,??动直线方程为,kb,,0,0bk,,16,ykxkkx,,,,16(16)
此时动直线PQ过定点 (16,0).
?当PQ的斜率不存在时,显然轴,又,?为等腰直角三角形.PQx,POOQ, POQ
22,,yx,16,yx,16,由 得到,此时直线PQ亦过点. PQ(16,16),(16,16),(16,0),,yx,,yx,,,,,
综上所述,动直线PQ过定点. M(16,0)