浙江师范大学本科

浙江师范大学本科 () ( 2005届 ) 目 模拟计算电场作用下Si基 Ge量子点的能级分布 Simulating the Energy Level of Self-assembled Ge Quantum Dots embeded in Si Under the Electric Field 学院 专业 数理学院 物理 物本014班 01180408 学号 作者姓名 劳勤芬 指导老师 黄仕华 2005.01.18 完稿时间 成绩 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 目 录 摘要………………………………………………………………………………………………………2 英文摘要…………………………………………………………………………………………………2 1(引言…………………………………………………………………………………………………..2 1.1量子阱……………………………………………………………………………………………3 1.2…量子线………………………………………………………………………………………….4 1.3…量子点………………………………………………………………………………………….4 2 Si基Ge量子点材料的生长…………………………………………………………………………..5 2.1 生长Si基量子点的方法………………………………………………………………………..6 2.2 自组织生长Si基Ge量子点……………………………………………………………………6 2.2.1. 自组织生长量子点的方法………………………………………………………………..6 2.2.2. Ge量子点样品的生长…………………………………………………………………..7 3 模型化处理……………………………………………………………………………… ……………9 3.1 实际Ge量子点的哈密顿量……………………………………………………………………..9 3.2 近似处理后的哈密顿量………………………………………………………………………..10 3.2.1最粗略的近似……………………………………………………………………………..10 3.2.2绝热近似…………………………………………………………………………………..10 3.2.3单电子近似………………………………………………………………………………..10 3.3 ,,量子点中的重空穴的基态和激发态……………………………………………..............10 4(Si基Ge量子点的零级波函数………………………………………………………………………11 4.1一维有限深方势阱……………………………………………………………………………...11 4.1.1偶宇称态………………………………………………………………………………......12 4.1.2奇宇称态…………………………………………………………………………………...14 4.2 图象法求……………………………………………………………………………16 5..弱稳恒电场下的一级修正能级(………………………………………… …………………………18 5.1偶宇称态………………………………………………………………………………………….19 5.2 奇宇称态…………………………………………………………………………………………19 6结果与讨论………………………………………………………………………………………20 6.1零级能级………………………………………………………………………………………….20 6.2零级能级分布成因……………………………………………………………………………….21 6.2.1 Si基Ge量子点的库仑荷电效应………………………………………………………...21 6.2.2 量子限制效应………………………………………………… …………………………22 6.3弱电场微扰下的能级分布成因……………………………………………………………….....22 7(结束语………………………………………………………………………………….…………… 25 参考文献……………………………………………………………………………………………… ..26 1 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 模拟计算电场作用下Si基Ge量子点 的能级分布 数理学院物本014班 劳勤芬 指导老师: 黄仕华 摘要: 本文利用量子力学的微扰理论计算了弱稳恒电场作用下自组织生长Si基Ge量子点的能 级分布。先求出热平衡态下无微扰时即零级波函数和能量。其模型是一维有限深方势阱～利用图 象法求得零级能级～发现零级量子态受阱的束缚～但是仍有部分穿透势垒～能量不简并。再利用 非简并微扰理论求其一级修正后的能级～发现此时能级发生分裂。最后用库仑电荷效应和导纳谱 理论对其进行了分析。 关键词:量子点,一维有限深势阱,非简并微扰,自组织生长,能级,库仑荷电效应 Simulating the Energy Level of Self-assembled Ge Quantum Dots Enbeded in Si Under the Electric Field Lao Qinfen Director:Huang Shihua ((Dept. of Physics，Zhejiang Normal University ，014 no.08) Abstract:Using quantum-mechanical perturbation theory，in this paperthe energy distributing of self-assembled Ge quantum dot on Si under the weak and steady electric field has been calculated. The wave function and the energy distributing of Ge quantum dot without electric field was calculate firstly. using the model of one-dimension square potential well。Using the method of chart，we obtain the zero-order stage energy. It is found that the zero-order quantum state was bound，and some of them tunnel the potential barrier，and energy is non-degenerate。Using non-degenerat perturbation theory， we calculate the energy distributing under a weak and steady electric field. It is found that the energy is splited Finally，we analyzed the causation by means of Coulomb charging effect and admittance spectrum theory. Key Words: quantum dot;one-dimension potential well;non-degenerate perturbation;self-organized growth;Coulomb charging effect 1 引言 量子点(quantum dot)是用现代生长工艺生长的、尺寸在纳米量级的半导体晶粒， 它仅由数目有限的原子构成。在量子点中，电子(或空穴)在空间三个方向上的运动 2 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 均受到限制，其物理特性表现出许多不同于量子阱的新特点，例如在量子点中，电子(或空穴)的能级结构是类原子的分立结构，各个能级的简并度是有限的;电子(或空穴)之间的库仑相互作用很强，库仑势的存在引起了能级结构的变化;由于多个电 -17子(或空穴)被束缚在一个很小的尺度内，而且一个量子点的自电容又仅为10,-1810F量级，电子(或空穴)在量子点中表现出显著的库仑荷电效应，在磁场作用下表现出类原子的塞曼分裂;量子点的发光强度随着其尺寸减小而进一步增强、且伴随有发光峰位置的蓝移。利用量子点独特性能制造的硅基单电子晶体管现在已能在室温 ，[12]下运转。量子点的这些特性为开发新一代的高性能的单电子器件、激光器和各种光电子器件带来了希望，为实现硅基发光和光电集成提供了又一条新的途径 Gundman 等人研究了应变分布，光学声子和InAs/GaAs自组织量子点中的电子 [3]结构。巧妙地计算了价带混合， 应变效应的程度。Cusack 等人也研究了 InAs/GaAs自组织量子点中的电子结构 在过去的二十年中，半导体超晶格和量子阱中的量子束缚电场效应受到极大的关注。对制作光电效应器件和光调制器件而言基于量子电场效应的电吸收是最有效的过程之一。在应用和理论上，人们都对电场作用下的量子点十分感兴趣。在实践应用中， [4]处于外部静电场中的量子点可以识别单电子控制的逻辑门。埋人半导体材料的单电 [5]子量子点是晶态门的候选材料，它将被用于固态量子计算领域。量子点中一个电子的基态和第一激发态可以被视作一个双电子体系，通过电磁脉冲量子点中电子可激发到激发态或是一个叠加状态。将一个用门产生的静电场置于量子点附近，可以实现量子控制——但不转化。 半导体低维结构则是近些年来开拓的新领域, 它在一个新的水平上有力地推进着半导体的研究和应用， 以半导体超晶格、量子阱、量子线和量子点为典型代表的低维半导体结构, 自1969 年提出超晶格概念以来, 经历了30 多年的发展, 已成为凝聚态物理最活跃的新生长点和最富有生命力的重要前沿领域之一。半导体低维结构的能带人工可剪裁性、量子尺寸效应、共振隧穿效应和电子波的量子相干属性等, 赋予它许多三维固体不具备的新现象和新效应, 使它发展成为微观物理现象的新学科领域。另一方面, 半导体低维结构又和电子、光电子等高新技术产业有着密切的联系, 在这个领域内已经发现的新现象和新效应, 都广泛地被用来开发具有新原理、新结构的固态电子和光电子器件之一 半导体低维结构已经成为推动整个半导体科学技术迅猛发展的主要动力之一 下面首先对常见的几类半导体低维体系作一简单介绍: 1. 1 量子阱 两种半导体S1 和S2 组成异质结, 在异质结的S1 一侧再连接上一层S2, 就组 3 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 成一个S2-S1-S2 型的三层结构， 如果 中间的S1 层厚度小到量子尺度, 而且 Eg1< Eg2, 该体系的能带图如图1.1 所 示, 显然, 对于载流子来说, S1 区犹如 一口“阱”, 处于其中的载流子如同掉 进了阱里,无论向左还是向右离开S1 进 入S2 都必须越过一个势垒，由于有关 尺寸是量子尺度, 故这样的体系称为量 子阱(Quantum Well, 简记为QW ) 。在 量子阱中, 载流子的运动在平行于阱壁 的方向上不受势垒的限制,可视为“自图1.1 由”的;但在垂直于阱壁的方向上受势垒 限制, 阱宽为量子尺度, 载流子在该方向上的运动表现出量子受限行为，或者说: 该体系中的载流子只是在二维空间中可自由运动, 这是一种二维体系。量子阱在一个方向上限制了载流子的运动, 产生了许多新的量子效应, 并具有许多新的应用, 因而, 人们就想用各种方法在其他两个方向上也限制电子的运动, 使之产生更强的量子约束效应, 于是, 产生了量子线和量子点。 1.2 量子线 图1.2 (a) 为量子阱结构的三维立体示意图。若在量子阱平面内的一个方向上再加以限制, 并使其尺寸也减小到量子尺度, 如图1.2 (b) 所示, 则势阱成为线状Z在其中的载流子只能在一个空间方向上自由运动; 而在与之垂直的另外两个空间方向上都受到势垒的限制，这样的体系称为量子线(quantum WellW ire, 记作QWW )。 1.3 量子点 若再将量子线的长度也减小到量子尺度,如图1.2(c)所示,则成为一个量子点(q uantum Dots,记作QD)。量子点是准零维体系,在其中的载流子在任何一个方向上都不能自由运动,表现出若干特别的量子尺寸受限行为。 除半导体量子点外, 还有金属和其它物质的量子点。量子点也被称为团簇(clu ster) 或纳米团簇(nanocluster) , 依材料不同, 生长、制备方法也多种多样。 量子点是纳米科技的重要研究对象。 自从扫描隧道显微镜(STM ) 发明后, 世界上便诞生了以0. 1, 100nm 的尺度(约106 个原子构成的量子点) 为研究对象的新科技, 这就是纳米科技，纳米科技通过操纵原子、分子或原子团和分子团, 使其重新排列组合, 形成新的物质, 制造出具有新功能的器件和仪器， 未来的纳米电子器件 4 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” (也称纳电子器件) 将取代现在的微电子器件. 微电子器件中的信号是百万个电子运动的结果, 而纳电子器件中的信号是1 个电子运动产生的纳米科技将使人类生活的方方面面发生巨大的变化。 图1.2 体材料 (a)量子阱 (b)量子线 (c)量子点 ~ 50 nm ~10 nm ~5 nm 半导体量子点在单电子器件、存储器以及各种光电子器件等方面具有极为广阔的应用前景,因此,它已成为当今物理学研究的热点之一.量子点由有限数目的原子组成,尺寸大小在纳米量级,其物理行为像一个“人工原子”,电子在其中的能量状态是类原子的分立能级结构.而且,由于电子(或空穴)被束缚在一个相对小的区域内,电子(或空穴)之间的库仑相互作用是显著的,填充一个电子(或空穴)就要克服量子点中已有电子(或空穴)的排斥作用.将量子点看作为一个尺寸仅纳米量级的导体,其自电容,仅为10-18,的量级,当其中填充的电荷改变一个电子电量,时,电势能的变化量,2/,可能会达到几十个,,,,这相对于它的量子化能量来说已是一个不可忽略的值.量子点的分立能级结构和库仑荷电效应是其基本的物理性质. 近年来,人们对于低维半导体结构中的电场效应已有大量的研究 . 对量子阱施加一垂直电场,其电吸收的行为主要取决于受限Stark 效应导致的吸收峰位置的移动.如果施加电场不特别强,量子阱中电子的寿命较长,则可看成准束缚态,其波函数的严格解为Airy 函数的形式. 由于Airy 函数的形式十分复杂,应用不方便. 而在弱电场,甚至中强场的情形下,微扰法不失为一种较为有效的方法.Chatterjee 在理论上已经证明, [6,7] 维数愈低,电子-声子耦合愈强. 本文采用微扰法求解有效质量Schrdinger 方程,研究了圆柱形量子点的Stark 效应。 2 Si基Ge量子点材料的生长 生长Ge、Si低维材料的方法主要有分子束外延Si-MBE (Si molecular beam epitaxy) 及化学气相淀积法CVD(chemical vapour deposition)等，CVD的优点是生长温度较高，外延生长的晶体质量较好，而且生长速率高，适合于批量生产;MBE的生长温度低， 5 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 可控性好，可以生长出界面陡峭的超薄层超晶格，更可将多种测试仪器组装在同一超高真空系统中进行实时，特别适于作物理研究。Si分子束外延技术为Si基异质结材料在高速电子器件和光电子器件领域开拓了广阔的前景。 2.1 生长Si基量子点的方法 生长Si基量子点的方法主要有两类:—类是以光刻技术为基础的方法，另一类是基于Ge的成岛特性的自组织生长方法。 以光刻技术为基础的方法又可分为两种:一种是直接刻蚀法，用电子束曝光和反 [8~10]应离子刻蚀技术在已生长好的量子阱材料上直接刻写出亚微米量级的点状结构 [11]另一种以光刻技术为基础的方法是选区外延方法，其工艺程序正好与上一种相反，即先用电子束曝光和反应离子刻蚀技术将生长在Si衬底上的SiO膜开孔，再用MBE2 或CVD方法，在无SiO膜的窗口中直接生长Ge量子点。这种方法能够精确控制外2 延岛的尺寸和厚度，同时可以避免光刻工艺对晶格结构的破坏。但由于Ge岛与SiO2掩膜材料的侧向接触处的结晶质量较差，界面处产生缺陷和位错，并且位错会延伸到整个外延层中去，也会导致外延晶体质量下降。 第二类生长量子点的方法是自组织生长量子点法(self-organized growth of quantum dot)。它利用Ge的S-K生长模式,在生长过程中自发形成量子点结构。当外延层厚度超过相应Ge的临界厚度时，生长模式由二维变成三维，此时生长表面由许多随机分布的Ge岛组成。由于岛的大小可以通过改变生长条件在亚微米及深亚微米 [12~19]之间调节，所以成为非常简单而有效的制作量子点的方法。 因为Ge在大气中很容易被氧化，所以在Si衬底上直接生长的Ge岛是不稳定的，在Ge岛上生长一层Si覆盖层可以防止Ge的氧化，通常这类样品是由交替生长的Ge岛层和Si层所组成的多层结构，可制作电极用来进行电学测试和制造实用器件。 在此将着重介绍自组织生长Si基Ge量子点的方法及技术工艺。 2.2 自组织生长Si基Ge量子点 2.2.1. 自组织生长量子点的方法 图自2.1自组织生长方法不依赖于复杂的光刻技术， 组 织Ge在衬底上直接生长出纳米级的量子点，因此是 量一种制作Si基Ge量子点的简单而有效的方法。 子点样(图2.1) 品结Ge在Si上的生长为S-K模式，生长过程可 构示分为三个阶段:Ge在Si衬底上最初的生长是层 意图 状模式，随着外延层厚度的增加，由失配引起的 6 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 应变能增加，生长转变为三维岛状模式。在成岛生长的初期，应变能可以通过弹性形 [20]变完全释放，并不引入位错或缺陷，应力主要分布在岛的边缘和衬底内。在成岛生长的后期，Ge厚度过高时，仅通过弹性形变不能完全释放掉应变能，必定会引入一 [21][22]定的失配位错。SiGe合金在Si衬底上的外延生长也符合上述的规律。 1-xx 由于在成岛生长初期，所形成的岛分布在亚微米和纳米量级范围内，并且岛内不存在位错，所形成的Ge岛是具有良好特性的量子点。所以只要控制好生长条件和Ge厚度，这种方法制作量子点非常有效。自组织生长量子点的关键，是降低量子点的大小，增加量子点的密度，更重要的是要提高量子点的均匀度。 2.2.2. 自组织生长量子点样品的生长 [23,24]自组织生长量子点生长的具体工艺如下:首先在Si(100)衬底上生长50nm厚的Si缓冲层，然后生长一定淀积量的Ge外延层，生长温度为600?。采用很低的Ge生长速率，约为0.02nm/s。Ge层采用两步或多步生长法:先生长1nm厚的Ge层，然后采用阶梯式生长，即每生长0.1 nm就中断生长，停留5min后再生长0.1 nm 厚的Ge，一直生长到所需的淀积量为止。在一定的条件下，采用这种方法，可以得到非常均匀的Ge量子点。 样品表面形成Ge岛时，RHEED衍射谱出现箭头，根据箭头与原衍射条纹偏离的角度可以知道岛是由(311)与衬底表面包围构成的。 要大面积观察自组织生长量子点样品表面形貌可以凭借原子力显微镜atomic force microscoy(AFM)。量子点样品表面的AFM俯视和三维形貌图分别如图2.2a和b所示。 图2.2 Ge岛样品的原子力显微镜形貌像 (a)平面图像;(b)三维影像 从原子力显微像估计岛底面边长为180nm，高度为20nm，岛的平均面密度为 827.6×10,cm。考虑到AFM针尖的影响，用下式校正 22d ,W ―8hr (2-1) 校正后得到的Ge岛边长d为 112 nm左右，比TEM结果约大10%。上式中W为表观边长;r为针尖的半径，取为100nm;h为岛的高度。 7 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 生长良好的样品上面的Ge岛大小非常一致。从原子力显微镜像统计Ge岛底面边长的分布结果示于图2.3 图2.3 S-K模式生长的单个Ge岛形貌图 从原子力显微镜得到的单个岛的形貌如图2.4a所示，图2.4b是通过Fourier 转换得到单量子点的影像，显示出较清晰的四度对称形状。图2.4c是由四个(nll)小面围成的Ge岛示意图。由岛的尺寸可以推算出小面的指数为(311)，根据岛的底面边长和面密度估计Ge岛覆盖的面积约占样品表面的6,左右。 图2.4 单个Ge岛的形貌及结构图 (a) 原子力显微镜像;(b) Fourier 转换影像;(c)岛表面结构示意图 为了使表面Ge原子有足够的时间来迁移到最合适的平衡位置，从而形成均匀分布的量子点，样品的生长采用多步法。 8 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 3 模型化处理 设想所得到的Ge包含N个Ge原子，由于原子的内层电子对晶体的许多物理性 [25]质并不其作用，因此可以把Ge量子点看成是由离子实和外层价电子组成的。 3.1实际Ge量子点的哈密顿量 Ge量子点的哈密顿量由下面几项组成: :(1)电子(空穴)的动能算符:Te 2::,2T,,,Te = (3-1) ,,ii2mii :T其中是每个电子(空穴)的动能，而拉普拉斯算符: i 222,,,2,,，， (3-2) 222,x,y,ziii :T(2)离子实的动能算符: I 2::,2TT,,,, (3-3) ,,,,I2m,,, :T其中是每个离子实的动能算符。 , (3)电子(空穴)与电子(空穴)的相互作用: 2:eU, (3-4) ,,e4,,r,riij,0ij rr其中与表示第i个.第j个电子(空穴)的坐标。 ji :U(4)电子(空穴)与离子实的相互作用: eI 2:ze,U,,(3-5) eI,,4,,r,Ri,0i, ,zR其中，是第个离子实的电荷数和坐标。 ,, :U(5)离子实与离子实的相互作用: I ,,2,:zze,,U, () 3-6 ,,I4,,R,R,0,, 9 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” R,R其中是第个与第个离子实的坐标。 ,,, 若先不考虑外场的作用，则: ::::::H,T，T，U，U，U (3-7) eIeeII 3.2近似处理后的哈密顿量 3.2.1最粗略的近似 在最粗略的近似下可以认为离子实是不动的，因此T = 0，U = 常数(可以选取II 其能量的零点)。 3.2.2绝热近似 Ge原子中若用M表示离子实的质量，m表示电子的质量，则M 》m(M约为 5m的10倍)。所以可认为离子实的质量很大，运动很慢，而电子的质量很小，运动很快。故离子实的运动并不会引起电子系统状态的改变，即系统之间是绝热的，无能量交换。从另一个角度，由于系统的能量是个平均值，因而可以看作是电子的平均分布决定了Ge量子点中离子实的运动。从而可以作绝热近似。在绝热近似下，不同电子状态n. n 之间的相互耦合可以忽略。 、1 2 3.2.3单电子近似 对于第i个电子，可以把所有其他电子对它的库仑相互作用看作只有与第i个电子的坐标有关的函数，而事实上其他电子的状态都与第i个电子的状态有关 ，电子之间是相互关联的。这实际上是一种近似处理——单电子近似。 因此量子点中每个电子受到的势场由三部分组成:离子实的势场. 其他电子所产生的平均库仑势及交换势。将这三部分合在一起记为V(r)一维情况下即V(x) 所以一维情况下电子(空穴)的波函数满足的薛定谔方程为: 2，，,2,,，V(x),(x),E,(x) (3-8) ,,2m，， 3.3,,量子点中的重空穴的基态和激发态 对于掩埋于两层,,中的,,量子点,其势阱主要形成在价带边.量子点中的限制能级主要是重空穴的基态和激发态,而导纳信号是由于这些量子能级上填充的空穴到,,势垒区的发射和俘获所产生的. (图3.1)图中V即为势阱的深度。显然可求0 得:V~ 0.4 eV。,,量子点(,e岛) 0 10 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” ,,量子点的高度就是0.01eV 势阱的宽度，在一定的技 术条件下可将它控制在2 价带 0.67 eV ~ 5个纳米。 1.12 eV Si基 V 空穴 0 。。。 图3.1势阱中的空穴 4 Si基Ge量子点的零级波函数 4.1一维有限深方势阱 首先求热平衡态下无微扰时即零级波函数和能量。其模型是一维有限深方势阱， 设势阱的中心为x 轴坐标原点, 质量为m的粒子在势场U (x ) 中运动 ,0,x,a , (4-1) ，，Ux,, ,U,x，a0, a 为势阱宽度,U 为势阱高度。势阱中粒子的能量为E。若E > U ,则粒子的状态为00游离态,E 可以取一切实数值,是连续变化的:若E < U则可能存在束缚态。下面讨论，0 束缚态(0 < E < V )情形。 0 其定态薛定谔方程(0< E < U)为: 0 11 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 22,d,,,,E,,x,a,2,2dx,,(4-2) , ,22d,,,,，U,,E,,x，a02,2,dx, 令 2mE,k (4-3) 1, 2m(U,E)0k, (4-4) 2, 则分区的定态薛定谔方程为: 2,''，，，，x，k,x,0,x,a1(4-5) 2，，，，,''x,k,x,0,x，a2 由此得各分区的通解为: kx2,Ce,xa,,，,1,A*SinkxBCoskx,xa,,，,, ,211(4-6) ,,kx2De,xa,,，3, 式中A 、B 、C、D 为待定常数 考虑到势阱U (x ) 有空间反射对称性, 能量本征态必有确定的宇称. 因此取 sinkx , co skx 形式的解. 以下分别讨论之. 1 1 4.1.1偶宇称态 kx2,Ce,xa,,，,1,BCoskx,xa,,,, ,21 ,,kx2(4-7) De,xa,,，3, 由[ lnψ (x ) ]′在x = ? a 处连续可得 11,ka,ka22(4-8) ,,,eCkeBkSinka()211,,CBCoska,1 ,11ka,ka22,，，，，e,Dke,,Bk,Sinka211,,DBCoska,1 即 k,ktg(ka) (4-9) 211 此外有 12 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 2mu220 (4-10) k，k,122, 令: ξ= ka, η= ka, 则有: 1 2 (4-11) ,,,tg, 22mua2220,,，,,r (4-12) 2, 由上述方程组是超越方程组，利用数值法和图象法可以求出ξ，η进而确定k，k，E12的值.见4.2图象法求解 给定参数可以确定圆的半径r:对于量子点m为空穴有效质量(重空穴质量0.28个 电子惯性质量，轻空穴质量为0.044个电子惯性质量)A取5nm，u约为0.4e， 0由波函数的连续性可知: ,，，，，,a,,,a,12, , (4-13),，，，，,a,,a23, 即 ,ka2,CeBCoska,,1,(4-14) , ,,ka2BCoskaDe,,1, 可求得 (4-15) 则各区域的波函数可写为: kxkx22,eCoskaBe,xa,,,，,11(4-16, ,BCoskx,xa,,,, ,21 ,ka,kx22eCoskaBe,xa,,,，31, 由波函数的归一化条件 2 即有: ,dx,1, ,aa,2222222222kakxka,kx2222BeCoskaedx，BCoskxdx，BeCoskaedx,1 111,,,,,,aa 通过积分可得 22CoskaSinka111(4-17) ,，，a22kkB21 k,ktg(ka)将 代入上式, 即得 211 13 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 11,,Ctg，，ka，a 12kB1 ktg(ka)11？B, (4-18) 1，ktg(ka)11 ktgkaksin2kakaka111122D,C,ecoska,,e因此: (4-19) 11，katgka2，2katgka1111一维对称有限深势阱的偶宇称解为: ksin2kakakx1122 ,,ee,x，,a12，2katgka11 ktgka11 (4-20) ,,coskx,x,a211，katgka11 ksin2kaka,kx1122， ,,ee,x，a32，2katgka11 前面已求出，则(4-20)式中不含X的因子均为已知常数，波函数可化为: kx2,,Ce 1 ,,Bcoskx (4-21) 21 ,kx2,,Ce 3 4.1.2奇宇称态 kx2,Ce,xa,,，,1,A*Sinkx,xa,,, (4-22) ,21 ,,kx2De,xa,,，3, [ lnΨ (x ) ]′在x = ? a 处也连续, 所以有: 11,ka,ka22,,,eCkeAkCoska()211,,CASinka,1 (4-23) ,11ka,ka22,，，，，e,Dke,,AkCoska211,,DASinka,1 即 k,,kctg(ka) (4-24) 211 2mu220 (4-25) k，k,122, 令: ξ= ka, η= ka, 则同样有: 1 2 ,,,,ctg, (4-26) 14 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 22mua2220,,，,,r (4-27) 2, 同样由上述方程组可以求出粒子的能级 由波函数的连续性可知 ，，，，,,a,,,a,12, (4-28) , ,，，，，,a,,a23, 即 ,ka2,CeASinka,,,1, (4-29) , ,,ka2ACoskaDe,,1, 可求得: 则个区域的波函数为: kxkx22,eSinkaAe,xa,,,,，,11,ACoskx,xa,,,, (4-30) ,21 ,ka,kx22eSinkaAe,xa,,,，31, 由波函数的归一化条件 2,dx,1, , 即有: ,aa,22222ka2kx222ka2,kx2222AeSinkaedx，ASINkxdx，AeSinkaedx,1 (4-31) 111,,,,,,aa通过积分可得 11，，,tgka，a (4-32) 12kA1 ktgka11？A, (4-33) 1，katgka11 ktgkaksin2kakaka111122,D,C,,esinka,,,e (4-34) 11，katgka2，2katgka1111 ? 一维中心对称有限深势阱的奇宇称态解为: sin2kkakakx1122,,,ee x<,a 12，2katgka11 15 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” kctgka11 |x| a ee32，2kactgka11 4.2图象法求解 由4.1.2中提供的参数可求得r。下面利用图象法分别对偶宇称和奇宇称中的能量进行 求解: 1.对于偶宇称 22mua2220,,,tg,,,由:，，,,r可化得: 2, 222,,rcos, (4-36) 写成方程组的形式: 2,Y,1 22Y,rcos,2 下面给出不同r值时的图像(r值依赖于势阱宽度a和势阱深度V) 0 2 Y,,? 130 25 20 15 ? 10 22Y,rCos, 25 2 4 6 8 图4.2 r^2=11.768 (a=2nm) 2Y,, ?130 25 20 15 ?1022Y,rCos,25 2468 16 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 图4.3 r^2=40.000 2 Y,,? 1 80 60 4022Y,rCos,? ?2 2220Y,rCos,2 2468 图4.4 r^2=73.55 (a=5nm) 从图 4.2——4.4可以读得的值，从而可求出及势阱内的能量E(这是我们所关心,, 的). r 3.432 6.325 8.576 ξ 1.210 2.309 2.704 1.355 1.871 4.023 4.926 5.120 1.406 1.780 4.201 5.393 6.916 ,0.026 0.093 0.197 0.032 0.061 0.283 0.615 0.700 0.035 0.055 0.309 0.509 0.839 E(ev) 0.076 0.275 0.392 0.028 0.0533 0.246 0.369 0.398 0.016 0.026 0.146 0.240 0.395 2.对于奇宇称 22mua2220,,，,,r由,,,,ctg,，可化得: 2, 222,,rsin, 写成方程组的形式: 2,Y,1 22Y,rsin,2 下面给出不同r值时的图像(r值依赖于势阱宽度a和势阱深度V) 0 2Y,,? 1 30 25 20 15 10 5 2468 17 图4.5 r^2=11.76 (a=2nm) 22Y,rSin,? 2 r^2=11.768 (a=2nm) 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 2Y,,? 1 80 60 40 ?20 22Y,rSin, 2 2468 图 4.6 r^2=40.000 2Y,,? 1 80 60 ?40 22Y,rSin,220 2468 图4.7 r^2=73.55 (a=5nm) 从图 4.2——4.7可以读得的值，从而可求出及势阱内的能量E. ,, r 3.432 6.325 8.576 ξ 2.376 2.701 3.783 5.162 2.808 3.571 5.575 6.092 7.161 ,570263 57.253 57.212 57.133 57.250 57.222 57.115 56.985 56.907 18 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” E 0.292 0.111 0.218 0.382 0.023 0.116 0.257 0.307 0.395 5 弱稳恒电场下的一级修正能级 现在讨论有外场的情况，如果施加电场不特别强,量子阱中电子的寿命较长,则可看成准束缚态,其波函数的严格解为Airy 函数的形式. 由于Airy 函数的形式十分复杂,应用不方便. 而在弱电场,甚至中强场的情形下,微扰法不失为一种较为有效的方法. 弱稳恒电场ε的方向沿X轴即量子点的生长方向，考虑阱中的情况，也就是|x| a )而各区间的几率密度: 2,,,,,x，,a11, , ,2, ,,,x,a,22 , ,2,,,,x，a,33, (6-2) 以上分析表明势阱束缚了空穴的运动，故无限深势阱到达阱壁处的几率密度为零。这一外推也证明了本文中对有限深势阱中的波函数与能级求解的结果是合理的。 从图6.1中可以看出在此情形下, 电子到达经典禁区(x < -a和x > a) 的几率相当小 21 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 图6.1电子在原子大小势阱内外的几率分布 6.2零级能级分布的成因 6.2.1 Si基Ge量子点的库仑荷电效应 量子点与其周围材料的导带形成了一个势阱,图中实线为量子点的限制能级.如果在量子点中填充一个电子,势能将增加一个量,2/2,,填充第2、第3„个电子时,每增加一个电子,势能的增量为,2/,,所以原来由实线所表示的基态和激发态能级将变为如虚线所示.同一能态上先后填充两个电子所需要克服的能量差,即每两条虚线之间的距离为,2/,.在这里,考虑到泡利不相容原理和态的波函数性质,在基态上只能填充2个电子,从第3个电子开始将填充到第一激发态上去. 图6.1 图6.1 量子点的分立能级结构图 在Ge量子点中，空穴被束缚在一个相对小的区域内，空穴之间的库仑相互作用非常强，要填充一个空穴就要克服量子点中已有的空穴的排斥作用。将Ge量子点看 -17-18作一个尺寸仅为纳米量级的导体，其自电容仅为10―10F量级，当其中填充的电荷改变一个电子电量e时，电势能的变化量可达到几十个meV，这相对于它的能级来说是一个不可忽略的数值。Ge量子点中空之间的库仑相互作用很强，其库仑势足以引起能级结构的变化，空穴的能量状态是类原子的分立能级结构，而且各个能级的 22 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 简并度是有限的。 量子点的库仑荷电效应可用单电子电容谱来测量。单电子电容谱是在极低温度条件下(几开以下)对掩埋有量子点的半导体结构作电压电容测量。当费米能级随外电场的变化移动至与量子点中某一分立能级平齐时，该能级上的电子将隧穿过势垒区，从而引起结构电容出现一个细锐的峰，由该峰所在的电压値可以换算出量子点中的载流子的束缚能和库仑相互作用能。 导纳谱可用于研究半导体量子点的能级结构，确定空穴基态和第一激发态的能量位置以及库仑荷电能的大小。测量在液氮温度(77K)以上进行，是简单可行的测试方法。 6.2.2单电子限制效应 量子阱在一个方向上限制了载流子的运动, 由于量子限制效应，Ge量子点层中积累有大量空穴产生了许多新的量子效应 6.3弱电场微扰下的能级分布 对于掩埋于Si中的Ge量子点来说而言，它与Si势垒层的带阶主要发生在价带边。图6.2为用于测量导纳谱的样品的结构及其价带结构示意图。样品为三层Ge量子点层，分别用Si势垒层隔开。由于量子限制效应，Ge量子点层中积累有大量空穴。在最外面的Si覆盖层上蒸金属，形成肖特基二极管。外加小的一测试信号可引起量子点中载流子的发射和俘获，导致结构电导的变化。由于载流子的发射与俘获的概率是与它的能量和温度相关的， 图6.2 电学测试用的Si基Ge量子点样品(a)结构示意图, (b)在零偏压下的价带排列 23 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 根据导纳谱的等效电路模型，量子点层可等效为其电导 G和电容 C的并联，dotdot这一并联电路与肖特基势垒区电容 C相串联就构成样品的等效电路。这一电路的特S ,点是:在固定某一测量频率时作温度扫描，当温度达到某一特定值 T时，量子点m电导G满足下列关系式 dot G(T),(C，C), (6-3) dotmSdot 整个结构的电导出现一个极大值 G(T)，G~T曲线上呈现一个电导峰极大值， m G(T)/,,, (6-4) m 是一个与温度无关的常数。 , 为了分析量子点导纳谱，首先要求得量子点的电导与量子化能级位置关系。假设 g量子点中某一量子化能级 Ei( i, l、2…)的能级简并度为那么一个空穴占据此能级i的概率满足费米分布， 1f, (6-5) iE,E1Fi1，exp()gKTi 上式中E是费密能级，K是玻尔兹曼常数，T是温度。 F e,设占据能级E的空穴的热发射率和俘获截面分别为和，Si势垒中空穴的浓iii度为P平均热运动速率为v,则当空穴的发射与俘获达到动态平衡时，满足以下热平0 衡方程 ef,,,p(1,f) (6-6) iii0i E,EFVP,N,exp()代入(6-5)式，并由，得到 0VKT ,,NE,EiViVe,exp(,) (6-7) igKTi 式中N是Si势垒中空穴的等效态密度，E是Si的价带边。 VV 在垂直于样品生长方向的外电场F的作用下，空穴的发射率为 ,,NE,EqFdiViVe(F),exp(,)exp() (6-8) igKTKT2i 式中是电子电荷，是量子点的高度。设量子点的面密度为N，实际占据能级Edqdoti 'g的空穴数目为，那么，由空穴发射引起的电流密度为 i 24 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” L'JFNgqeFe(),[(),(0)],dotiii,0i (6-9) ,LgE,EFdqiiV ,N,qN[,exp(,)[exp(),1],dotVigkTKT2,0ii 在弱场作用下，可取上式的一级近似，可得 ,LgEE,2Vii . (6-10) J(F)(NN,qd/2KT)[,exp()F],,,VdotigKT,0ii G则量子点层的电导可表达为 dot ,LgEE,2ViiGNNqSKT (6-11) (,/2),exp(),,,dotVdotigKT,0ii ,23/2N,2(2,mKT/h)式中S是样品正面肖特基接触的面积。代入 ， V ,1/2,,(8KT/,m)(这里m*是Si势垒中空穴的有效质量)，得到 ,LgEE,Vii (6-11) GT,,exp(),,,dotigKT,0ii ,式中是一个与温度无关的常数。 82, ,,,SqNmKdot3h (6-13) 首先，假设量子点中各相邻分立能级的能量间隔足够大，当费米能级位于某一能 E级附近时，高能态(i,I)上无空穴占据，而低能态(i,I)上则填满了空穴，即满足 I 0 i,I, ,,,g,g i,I ,iI ,g i,Ii, (6-14) 那么，(6-12)式可简化为 ,I,1EEEEg,,IViVIGT (6-15) ,[,exp(),exp()],,，,,dotIigKTKTi,0i 其次，假设相邻两能级的俘获截面的比值足够小，满足ln(,/,),[(E,E)/KT,1]，那么，在(6-15)式中，括号中两项的值主要由指数i,1ii,1i 项决定。根据第一个假设，括号中的第一项将远大于第二项。(6-15)式可近似为 ,EEg,IVI GT (6-16) ,[,exp()],,dotIgKTI 25 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 上式的物理意义在于指出了量子点的电导主要来自量子点中最靠近费米能级的能态上的空穴发射的贡献。 7 结束语 目前量子点结构及相关器件的研究已受到广泛重视, 自组织生长量子点由于其在新型器件上的应用前景以及在低维物理和材料生长等研究中的重要地位, 是其中的一个研究热点, 多个研究小组在量子点的生长机理、材料性质、物理研究等方面已 ,[ 1 4 ]经发表许多理论和实验的文章 , 取得了一些共识. 理论分析表明由于量子约束 [ 1 ]效应, 量子点内有一个电子能级和多个空穴能级. 通常将量子点的能谱与电子态主要由显微技术、光致发光谱(PL ) 和光致发光激发谱结合研究, 量子点样品PL 谱中的长波发光被归结为量子点发光, 电容谱也已经作为一种对量子点样品进行研究的有力手段. 由于量子点波函数的空间局域性, 其对载流子的发射和俘获行为, 与深中心 [ 10 ] 会有类似之处; 国外也有用DL TS 测量单层InP 量子点的激活能工作, 但目前我们尚未看到有关测量p 型Ge量子点对空穴的俘获势垒和激活能的报导. 本文采用特殊设计的多层p 型自组织生长量子点样品,考虑到量子点在发射和俘获空穴的过程中有着较大俘获势垒这一行为可以有多种可能的解释,应对其进行进一步的研究, 确定其机理有助于我们对量子点与载流子作用的深入了解。本文报道了Ge量子点空穴基态能级位置在价带之上, 量子点对空穴的俘获势垒值为0.4eV 时的能级分布。 其方法依赖一维有限深方势阱的微扰理论模型, 其结果在误差范围内与理论和光学测量的相一致。对于量子点俘获势垒的物理解释还有待进一步研究。 量子阱能够增加量子点的密度，增加荧光波长而不会引起退化.另外量子阱也使量子点载流子的逃逸势垒高度增加，大大降低了载流子的逃逸几率，减少了漏电流，因此采用DWELL结构的量子点激光器能够比量子阱激光器更优越的性能。在有效质量近似框架内，采用单电子近似，通过求解定态薛定谔方程，得到了电子和空穴的能级结构，作为半导体量子点激光器的基础理论研究，本文采用比较简化的模型，本文的工作，可为量子点激光器的设计提供理论依据.但实际上半导体量子点激光器是一个复杂体系:为提高激光器功率，必然采用量子点阵列结构，那么量子点之间一定存在耦合;另外载流子是一个多粒子体系，它们之间存在库仑相互作用;足够大的晶格失配是自组织量子点生长至关重要的因素，因此由于界面能而引起的受限势的改变是不能忽略的，并且这种受限势与生长条件密切相关.在处理价带空穴间题上，自旋一匀谴祸合引起的轻重空穴的的差别理应加以考虑的，拟在今后的工作中深入加以考虑.进一步设计量子点激光器时，以上因素是必须考虑的，也对理论研究提出了挑战。因此未来的工作将根据实验进展，从理论分析新的动力学行为。 26 数理学院――“模拟计算电场作用下Si基Ge量子点的能级分布” 参考文献 [1] Cusack M A , B riddon P R, Jaro s M 1 Elect ronic st ructure of InA sˆGaA s self2assemble quantum,P hy s1R ev1B 11996, 54: 2300 [2] Grundmann M , N ledentsov N , St ier O , et al1Excited states in self2o rganized InA sˆGaA s quantumdo ts: theo ry and experiment, A pp l1P hy s1L ett1, 1996, 68: 979 [3] B runkov P N , Konnikov S G, U st inov V M , et al1 Capacitances spect ro scopy of elect ron energy levelsin InA s quantum do ts in a GaA a mat rix, S em icond uctors, 1996, 30: 492 [4] B imberg D, L edentsov N N , Grundmann M , et al1 InA s2GaA s quantum pyram id lasers: In situgrow th, radiat ive lifet imes and po larizat ion p ropert ies, J p n1J 1A pp l1P hy s, 1996, 35: 1311 [5]. 王海龙，朱海军，宁 东，陈 枫，封松林，InAs 自组织生长量子点的空穴俘获势垒 (中国 科学院半导体研究所, 半导体超晶格国家重点实验室, 北京, 100083) [6] Chatterjee A. 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