2015届高考数学一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直课后强化作业 新人教b版

2015届高考数学一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直课后强化作业 新人教b版 【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7用向量方法证明平行 与垂直课后强化作业 新人教B版 基础巩固强化 一、选择题 1(已知a,(2，,1,3)，b,(,1,4，,2)，c,(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|,( ) A(5 B(6 C.66 D.41 [答案] C [解析] ?a、b、c三向量共面～ ?存在实数λ、μ～使c,λa，μb～ ?(4,5～x),(2λ,μ～,λ，4μ～3λ,2μ)～ 2λ,μ,4～,,,λ，4μ,5～??x,5～ , ,3λ,2μ,x., 222?|c|,4，5，5,66. 2(二面角α,l,β等于60?，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC?l，BD?l，且AB,AC,a，BD,2a，则CD的长等于( ) A.3a B.5a C(2a D(a [答案] C [解析] 如图(?二面角α,l,β等于60?～ ?? ?AC与BD夹角为60?. ??????? 由题设知～CA?AB～AB?BD～|AB|,|AC|,a～|BD|,2a～ ?????????????? 222222|CD|,|CA，AB，BD|,|CA|，|AB|，|BD|，2CA?AB，2AB?BD，2CA?BD,4a～?|CD|,2a. 1 ???113(将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP,BA,BC22?? 2，BD，则|BP|的值为( ) 3A. B(2 2 10,29C. D. 44 [答案] D [解析] 由题意～翻折后AC,AB,BC～ ????1122??ABC,60?～?|BP|,|BA,BC，BD| 22 ?????????111111222,|BA|，|BC|，|BD|,BA?BC,BC?BD，BA?BD,，，2,×1×1×cos60?,442442 91×2cos45?，1×2×cos45?,. 4 二、填空题 4((2013?山东莱州一中质检)若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cosθ等于________( 6[答案] 3 [解析] 2 因为正方体的12条棱分为三组～每组四条互相平行～它们与同一平面所成的角相等～ 故这个平面与正方体交于同一顶点的三条棱所成的角相等～则平面ACD满足题设要求～过1 6D作DO?平面ACD～则O为?ACD的中心～设正方体棱长为1～则AC,2～?DO,～1113 OD61??DDO,θ～且cosθ,,. 1DD31 ? |AC|15(已知点A(4,1,3)，B(2，,5,1)，C为线段AB上一点且,，则点C的坐标为________( 3? |AB| 107[答案] (，,1，) 33 [解析] ?C为线段AB上一点～ ?? ?存在实数λ>0～使AC,λAB～ ?? 又AB,(,2～,6～,2)～?AC,(,2λ～,6λ～,2λ)～ ??|AC|1122?,～?λ,～?AC,(,～,2～,)～ 3333? |AB| 107?C(～,1～)( 33 三、解答题 6((2013?杭州模拟)直三棱柱ABC,A′B′C′中，AC,BC,AA′，?ACB,90?，D、 3 E分别为AB、BB′的中点( (1)求证:CE?A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值( ] [解析 ??? ,a～CB,b～CC′,c～根据题意～|a|,|b|,|c|且a?b,b?c,c?a,0～ (1)证明:设CA ??111?CE,b，c～A′D,,c，b,a 222??1122?CE?A′D,,c，b,0. 22 ?? ?CE?A′D～即CE?A′D. ??1(2)AC′,,a，c～CE,b，c～ 2 ??5?|AC′|,2|a|～|CE|,|a|. 2 ??1AC′?CE,(,a，c)?(b，c) 2 1122,c,|a|～ 22 12??|a|210?cos〈AC′～CE〉,,. 10522?|a|2 10即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 107. 4 (2013?辽宁六校联考)在三棱锥P,ABC中，?PAC和?PBC是边长为2的等边三角形， AB,2，O是AB的中点( (1)在棱PA上求一点M，使得OM?平面PBC; (2)求证:平面PAB?平面ABC. [解析] 解法一:(1)当M为棱PA的中点时～OM?平面PBC. 证明如下: ?M～O分别为PA～AB的中点～ ?OM?PB. 又PB?平面PBC～OM?平面PBC～ ?OM?平面PBC. (2)连接OC～OP. ?AC,CB,2～O为AB的中点～AB,2～ ?OC?AB～OC,1. 同理～PO?AB～PO,1. 222又PC,2～?PC,OC，PO,2～ ??POC,90?～?PO?OC. ?AB?OC,O～ ?PO?平面ABC. ?PO?平面PAB～ 5 ?平面PAB?平面ABC. ??? 解法二:设PA,a～PB,b～PC,c～则由条件知|a|,|b|,|c|,2～a?c,b?c,1～ 在?PAB中～PA,PB,2～AB,2～?PA?PB～?a?b,0. ????111(1)设PM,λa～则OM,PM,PO,λa,(a，b),(λ,)a,b～ 222?OM?平面PBC～ ? ?存在实数s～k～使OM,sb，kc～ 11?sb，kc,(λ,)a,b～ 22 11由平面向量基本定理知～λ,～s,,～k,0～ 22 ?M为PA的中点( ?1(2)PO,(a，b)～ 2 ??1?PO?AC,(a，b)?(c,a) 2 12,(a?c，b?c,|a|,a?b),0～ 2 ??1122PO?AB,(a，b)?(b,a),(|b|,|a|),0～ 22 ???? ?PO?AC～PO?AB～ ? ?PO是平面ABC的法向量～ 又PO?平面PAB～ ?平面PAB?平面ABC. 能力拓展提升 一、解答题 8(在棱长为1的正方体AC中，O为BD的中点( 1111 6 求证:(1)BD?平面ACD; 11 (2)BO?平面ACD. 11 [证明] 建立如图所示的空间直角坐标系～由于正方体的棱长为1～ ?11则B(1,0,0)～O(～～1)～D(0,1,1)～C(1,1,0)～D(0,1,0)～B(1,0,1)～?BD,(,1,1～,111122 ???111)～AD,(0,1,1)～AC,(1,1,0)～BO,(,～～1)( 1122 ???? (1)?BD?AD,0～BD?AC,0～ 111 ???? ?BD?AD～BD?AC～ 111 ??? ?AD与AC不共线～?BD?平面ACD～ 111?BD?平面ACD. 11 ???? (2)?BD?BO,0～?BD?BO～ 1111 ? ?BO?平面ACD. 11 又BO?平面ACD～?BO?平面ACD. 1111 7 ?? [点评] 第(2)问还可以通过证明BO,OD(其中O为AC中点)证明( 11 9(在四棱锥P,ABCD中，PD?底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD,DC，E、F分别是AB、PB的中点( (1)求证:EF?CD; (2)在平面PAD内求一点G，使GF?平面PCB，并证明你的结论( [解析] (1)证明:?PD?底面ABCD～四边形ABCD是正方形～ ?AD、DC、PD两两垂直～如图～以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系～ aa设AD,a～则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a～a,0)、C(0～a,0)、E(a～～0)、P(0,0～a)、F(～22 ??aaaa～).EF,(,～0～)～DC,(0～a,0)( 2222 ???? ?EF?DC,0～?EF?DC～即EF?CD. ?aaa(2)设G(x,0～z)～则FG,(x,～,～z,)～ 222 若使GF?平面PCB～则 ??aaaaa由FG?CB,(x,～,～z,)?(a,0,0),a(x,),0～得x,, 22222 ??2aaaaa由FG?CP,(x,～,～z,)?(0～,a～a),，a(z,),0～得z,0. 22222 a?G点坐标为(～0,0)～即G点为AD的中点( 2 10(在四棱锥P,ABCD中，平面PAD?平面ABCD，?PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD,60?，E是AD的中点，F是PC的中点( 8 (1)求证:BE?平面PAD; (2)求证:EF?平面PAB; (3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值( [解析] 解法一:(1)?E是AD中点～连接PE～ ?AB,2～AE,1. 222BE,AB，AE,2AB?AE?cos?BAD ,4，1,2×2×1×cos60?,3. 222?AE，BE,1，3,4,AB～?BE?AE. 又平面PAD?平面ABCD～交线为AD～ ?BE?平面PAD. AH～ (2)取PB中点为H～连接FH～ 1?AE綊BC～又?HF是?PBC的中位线～ 2 1?HF綊BC～?AE綊HF～ 2 ?四边形AHFE是平行四边形～?EF?AH～ 又EF?平面PAB～AH?平面PAB～ ?EF?平面PAB. (3)由(1)知～BC?BE～PE?BC～ 又PE～BE是平面PBE内两相交直线～ 9 ?BC?平面PBE～ 又由(2)知～HF?BC～?HF?平面PBE～ ??FEH是直线EF与平面PBE所成的角～ 6易知BE,PE,3～在Rt?PEB中～EH,～ 2 1615?tan?FEH,,～?cos?FEH,. 356 2 15故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为. 5解法二:容易证明EP～EA～EB两两垂直～建立空间直角坐标系E,xyz如图( 易求BE,PE,3～则E(0,0,0)～A(1,0,0)～ B(0～3～0)～C(,2～3～0)～D(,1,0,0)～P(0,0～3)～ 33因为F是PC的中点～则F(,1～～)( 22 ?? (1)?EB?EA,0?1，3?0,0?0,0～ ?? ?EB?EA～即EB?EA～ ?? ?EB?EP,0?0，3?0，0?3,0～ ?? ?EB?EP～即EB?EP～ ?EA～EP是平面PAD内的两相交直线～ ?EB?平面PAD. 33(2)取PB中点为H～连接FH～AH～则H(0～～)～ 22 10 ?33?EF,(,1～～)～ 22 ?3333AH,(0～～),(1,0,0),(,1～～)～ 2222?? ?EF?AH～ ?又EF?平面PAB～AH?平面PAB～ ?EF?平面PAB. (3)?y轴?平面PBE～z轴?平面PBE～ ?平面PBE的法向量为n,(1,0,0)～ ?33?EF,(,1～～)～ 22 设直线EF与平面PBE所成角为θ～ ? |EF?n|1015?sinθ,,～?cosθ,～ 55? |EF||n| 15故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为. 511((2013?天津十二区县联考)如图，在三棱柱ABC,ABC中，AB?AC，顶点A在底1111 面ABC上的射影恰为点B，且AB,AC,AB,2. 1 11 (1)证明:平面AAC?平面ABB; 11 (2)求棱AA与BC所成的角的大小; 1 (3)若点P为BC的中点，求二面角P,AB,A的余弦值( 111[解析] (1)证明:?AB?平面ABC～?AB?AC～ 11又AB?AC～AB?AB,B～AB?平面ABB～AB?平面ABB～?AC?平面ABB～ 11111 ?AC?平面AAC～?平面AAC?平面ABB. 111(2)以A为原点～建立如图所示的空间直角坐标系～ 则C(2,0,0)～B(0,2,0)～A(0,2,2)～B(0,4,2)～C(2,2,2)～ 111??? AA,(0,2,2)～BC,BC,(2～,2,0)～ 111 ????,4AA?BC11cos〈AA～BC〉,,,,～ 12??8?8 |AA|?|BC|1 π故AA与棱BC所成的角是. 13 (3)因为P为棱BC的中点～故易求得P(1,3,2)( 11 设平面PAB的法向量为n,(x～y～z)～ 1 12 ??,,,,n?AP,0～AP,，1～3～2，～1则 ?,,?? ,,,,n?AB,0～AB,，0～2～0，～1 ,x，3y，2z,0～,,?令z,1～则n,(,2,0,1)～ 1 ,2y,0～, 而平面ABA的法向量n,(1,0,0)～ 12 ?nn22512则cos〈n～n〉,,,,,. 12|n||n|5125 由图可知二面角P,AB,A为锐角～ 1 25故二面角P,AB,A的平面角的余弦值是. 15 考纲要求 理解直线的方向向量与平面向量的法向量(能用向量语言述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)( 补充材料 1(用向量解决立体几何问题基本思考方向 (1)求两点间距离或某一线段长度，用向量的模解决; (2)解决线线平行、面面平行、线面垂直、共线问题，一般考虑共线向量定理; (3)解决线线垂直、面面垂直、线面平行，可考虑转化为向量的数量积为零( (4)解决线面平行、面面平行可以考虑平面向量基本定理( 2(证明线面平行和垂直问题，可以用综合几何方法，也可以用向量几何方法(用向量法的关键在于选取基向量或建立坐标系，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量平行与垂直的条件，通过向量运算解决( 备选习题 1((2013?山东日照市阶段训练)如图，在直角梯形ABCP中，AP?BC，AP?AB，AB, 1BC,AP,2，D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将?PCD沿CD折2 起，使得PD?平面ABCD. 13 (1)求证:AP?平面EFG; (2)求二面角G,EF,D的大小( [解析] (1)证明:由题意知～在原梯形中CD?AP～?折起后直线DA、DC、DP两两 ??? DA、DP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标垂直(以D为原点～以DC、 系D,xyz～如图所示( 则P(0,0,2)～C(2,0,0)～G(2,1,0)～E(1,0,1)～F(0,0,1)～A(0,2,0)( ??? 所以AP,(0～,2,2)～EF,(,1,0,0)～EG,(1,1～,1)( 设平面EFG的法向量为n,(x～y～z)～ ?,,,,n?EF,0～,x,0～x,0～,,,,??? , ,,?x，y,z,0～y,z.,, ,,n?EG,0～ 取n,(0,1,1)( ?? ?n?AP,0×0，(,2)×1，2×1,0～?n?AP～ 又AP?平面EFG～?AP?平面EFG. (2)由已知底面ABCD是正方形～?AD?DC. 又?PD?平面ABCD～ ?AD?PD.又PD?CD,D～ 14 ?? ?AD?平面PCD～?向量DA是平面PCD的一个法向量～DA,(0,2,0)( 又由(1)知平面EFG的法向量为n,(0,1,1)～ ??DA?n22?cos〈DA～n〉,,,. 2?22 |DA|?|n| 结合图知二面角G,EF,D的平面角为45?. 15