巧用单位向量

巧用单位向量 数学篇?思路??技巧?数理化解题研究》2005年第5期 ?重庆市沙坪坝区科协(400030)刘智勇 熟悉单位向量,并用之解题,常常会带来方便. 一 ,向量单位化带来的方便 例1已知Idl=2,/r,=(一2,3),(1)若 则的坐标为;(2)若上b,则a的坐标 为一 分析一般思路是:设的坐标,根据aII(或 上b)及II=2413,运用向量共线(或垂直)的充 要条件及模长公式列方程组,但运算复杂.若能先将 (或与垂直的向量)单位化,再乘以的模长,则非 常简便. 解(1)十击,击), ?I’希,赤)=?(,6)’ . ‘ . =(一4,6)或=(4,一6). (2)因为上6,b=(一2,3). 根据向量垂直的充要条件,先求出与垂直的 向量中两个方向相反的向量=(3,2)或=(一3, 一 2),再将其单位化,并乘以模长,得a/i~c丽at) _(6,4)’枥a/isc亩)=(_-6,_4)? 例2设=(1+cos~,sin~),=(1一o0s,sin~), = (1,0),oc?(0,兀),卢?(兀,2兀),与的夹角为0.,b 与的夹角为0,且一0=-兀2-,求sin的值. u 分析若能将单位化,很容易求出0.,0,代 入0,一02=-2”-即可. U .解’?’(2cos2号,2SiIl号cos号) =2cos号(cos号,sin5-), ? ? ?而a(cos号,Si). ? . ? = 2sin-~(sin导,cos . ? . =而b=(sin导,cos导). (1’0)’?’…黹cos号. ? ? ‘?(0,兀),???0-号. 类似地,ooS02--sin导cosc导一号,. ? . ‘?(兀,2兀),=粤一号. 又一=詈,.?.号一(导一号)=詈, 一兀... 一 1 _产一了,一nT一. 三,构造单位向量,求三角函数值 例3求cos5.+cos77.+cos149.+cos221.+ cos293.的值. 分析所给角度成等差数列,将其均匀放入 单位圆中,用向量的性质即可求之. 解建立平面直角坐标系 (如图1),作单位向量 OA=(cos5.,sin5.), ?--一 OB=(cos77.,sin77.)?--一 OC=(cos149.,sin149.),?-- 一 OD=(cos221.,sin221.),?-- 一 OE=(cos293.,sin293.). J,B ,—.. o V\ E 图1 ————————呻——一 ‘ . ‘OA+D+OC+OD+DE=0(0,0), . ‘ .cos5.+cos77.+cos149.+cos221.+cos293.=0. 例4已知o0s一o0s卢=一了2, siIloc—sin卢=?,求c0s(oc一卢)的值. 解一如图2,作O—A=(cos, sin~),OB=(cos~,sin~),则IBI l 图2 =(COSI~一cos~)+(sin一sin=.又IOAI=IOB JU =1,由余弦定理cos(~-卢)=c0sAOB= IdAI+IoBI一II一 47 2IOAlIOBI 数学篇?教学随笔?《数理化解题研究》2005年第5期 重视多题一解,提高学习效率 ?湖北省潜江市文昌高级中学(433100)阳圣兵? 一 题多解可培养学生的开拓创新能力,而多题 一 解则能锻炼学生归纳总结技巧.下面通过几道排 列组合的不同题目的统一解法,谈谈多题一解给我 们的启示. 题1中日双方各出6名队员按事先排好的顺序 去参加围棋擂台赛,两方先由l号队员比赛,负者被 淘汰,胜者再与负方2号比赛,……一直到有一方被 完全淘汰为止,形成一种比赛过程,问可能有多少种 不同的过程? 题2有一楼梯共有18级,若规定每步只能跨 上一级或二级,必须用l2步走完,共有多少种不同 走法? 题3某条路上有l9盏灯,为了节约用电,又不 影响照明,需熄掉其中6盏,且熄的灯不能相邻也不 能熄掉两端的灯,问有多少不同的熄灯方式? 题4从6×6方格中 的顶点,到顶点B的最短 路线有多少条? 题5某场晚会6个舞 蹈节目己排好,现另添加6 个顺序也固定的歌唱节目,问有多少不同的排法? 乍看起来以上5题为完全不同类型的题,背景 不一样,数据也不尽相同,似乎根本没有相通的地 方,可细细咀嚼逐题分析就会发现,这5道题,竟然 可以建立相同的数学模型,用完全相同的式子对它 们求解. 解析题1如果我们把比赛结束后,中日双方 队员排成一排,其中第一个被淘汰的排在第l号位 置,第2个被淘汰的排在第2号位置,……一直到有 一 方被完全淘汰为止.则本题可转化为横排的l2个 位置上选出6个位置排中方(或者日方)队员,不同 结果数有c种. 解析题2楼梯l8级,每次只能跨一级或二 级,若每次都跨一级则l2步走不完,若每次都跨2 级,不需要l2步.依题意必须l2步跨完则只能6×2 +6×l=l8.l2步中6步跨两级,还有6步每步跨一 级.12步中哪6步跨二级,共有c种不同方法. 解析题319盏灯中熄6盏,且不能熄掉两端, 也不能相邻地熄灯,可看作先亮l3盏灯,在l3盏亮 的灯中的l2个空隙里插入6盏熄掉的灯.故有c 种熄灯方式. 解析题4从到B的最短线路均需l2段,确 定一走法,只须确定l2段中哪6段横向走(或者纵 向走),共有c条不同路线. 解析题5总共12个节目可以先任意排,有A 种不同排法.又6个舞蹈节目与6个歌唱节目顺序 均固定,顺序固定用除法,故不同的节目安排方法应 A12 为lL=c62.(另外本题可以与题l对比,建立 ‘ 题l的模型解答本题.)’ 以上几题的统一结果,在思维上给我们很大启 示.多题一解帮助我们透过不同的问题背景,看到核 心的数学本质,从而培养学生探究,创新,化归,建模 能力.多题一解让学生用相同的知识解决身边不同 的数学问题,大大提高了学生学习数学的兴趣,以及 应用数学的意识,从而提高了学生的学习效率.多题 一 解真正能让我们收到领悟本质,触类旁通的功效. 例5已知simt+sin=1 , cos~+cosfl=了1,求tan(邯)的值 y 0jc