第2章解析函数学习提要函数在一点可导的定义是

第2章解析函数学习提要函数在一点可导的定义是 第2章:解析函数学习提要 函数在一点可导的定义是 Dz,D,(z，,z),D 设函数定义在区域内～～若 w,f(z)00 fz，,z,fz()() lim,z,0,z ,zf(z)存在～则称此极限为函数在点的导数～记为～即 f(z)00 fz，,z,fz()()00,fz,()lim 0,z,0,z,2.1, zz此时～称函数在点可导～否则～称函数在点不可导。 f(z)f(z)00 函数在一点解析的定义是 DDz 设函数定义在区域内～为内某一点～若存在一个邻域w,f(z)0 N(z,p)z～使得函数在该邻域内处处可导～则称函数在点解析。此f(z)f(z)00 zzz时称点为函数的解析点。若函数在点不解析～则称为函数f(z)f(z)f(z)000的奇点。 函数在一点解析～则在该点可导～反之则未必。 例1 试证:函数在复平面上处处不可导。 f(z),Re(z) 分析:导数是一个特定类型的极限～要复变函数在某点的极限不存在～只需要找两条特殊的路径～使自变量沿这两条路径趋于该点时～函数值趋于不同的值。 证 对任意点z～因 f(z，,z),f(z)Re(z，,z),Re(z), ,z,z 令,z,,x，i,y～于是有 f(z，,z),f(z),x, ,z,x，i,y z，,zz 由于上式当沿平行于虚轴的方向趋于点时,即,x,0,,y,0z，,zz,～其极限为,当沿平行于实轴的方向趋于点时,即0 1,y,0,,x,0,～其极限为～所以 1 fz，,z,fz()() lim,z,0,z 不存在～故在点处不可导。 zf(z) 由点的任意性～函数于复平面上处处不可导。 zf(z),Re(z) D 若函数定义在区域内～则函数在区域f(z),u(x,y)，，iv(x,y)f(z) D内为解析函数的充分必要条件是: D ?与在内可微。 u(x,y)v(x,y) D ?在内成立。 u,v,u,,vxyyx 条件?称为柯西——黎曼条件或C.— R.条件。 D函数在区域内为解析函数的充分必要条件是: f(z) D ?在内连续( u,u,v,vxyxy D?在内成立( u,v,u,,vxyyx 例2 试证函数在复平面解析( f(z),z，1 证 令～则 f(z),u，iv,z,x，iy f(z),z，1,x，iy，1 ,x，1，iy ,u，iv 于是 u,x，1 v,y 从而有 u,1,u,0xy v,0,v,1xy 显然～f(z)在复平面上处处连续～且满足C.— R.条件～故函数u,u,v,vxyxy 在复平面解析。 D 函数f(z)Im[f(z)]在区域内为解析函数的充分必要条件是为 Re[f(z)]的共轭调和函数。 22u(x,y),x,2xy,yu(x,y)例3 设～试求以为实部的解析函数 2 ～使得( f(z),u(x,y)，iv(x,y)f(0),i 解 依C.— R.条件有 v,u,2x,2yyx 于是 v,(2x,2y)dy , 2,2xy,y，,(x) 由此得 ,v,2y，,(x) x ,,u y ,2x，2y 从而有 2,(x),x，c 因此 22v(x,y),2xy,y，x，c ,为任意常数, c 故得 2222f(z),x,2xy,y，i(2xy,y，x，c) 2,(1，i)z，ic 将f(0),i代入上式～得 f(0),ic,i 由此得～故得 c,1 2f(z),(1，i)z，i 经验证～所得f(z)既为所求。 3