n维向量

n维向量 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 n n : ? n维向量及其线性运算 3.1.1 n 1.1由n个数aaa,,组成的形如 12n注1： a，，数1aaa,,全12n,,a2,, 为实数的实向或 (1.1) aaa,,12n,,量，本书只讨论,,an,,，，实向量； 注2： 的有序数组叫做n维向量，数a叫它的第i个分量（n为分量的个数） i方括号也可改为 圆括号 写成列的叫列向量，写成行的叫行向量n维列向量可看成n，1的列矩 阵，n维行向量可看成1，n的行矩阵，利用矩阵转置符号若,,,表注：显然n维向 量是2维向量及TT示列向量，则,,,,,...,,,(或)表示行向量。 3维向量的形式 推广 分量全为零的向量叫，记为0。记 ,,aaa,,,,, ,,12n 叫,的，若 ,,,,aaabbb,,, ，，,, 1212nn，， 则当且仅当,abin,,,(1,2,,)时才称，记为。 ,,,, ii 3.1.2 n 将2，3维几何向量的加法及数乘运算概念推广到n维向量中来 注：还可以定义 可定义n维向量加法与数乘向量如下： 差，注意只有同 维数的向量才能1.2设,,,,(,,,),(,,,)aaabbb,,，则规定 1212nn相加减 ,,,(,,,)ababab，,，，， (1.2) 1122nn - 1 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 ,叫做 , , (1.3) kkakaka,(,,,),12n 叫做 , 。 k 这两个运算称为向量的线性运算，理由是它们显然如下运算律： 注：结论较明显， ,,,,，,，证明留给学生 ()(),,,,,,，，,，， klklklR()(), ,,,,, kkk(),,,,，,， ()klkl，,，,,, 零向量0及,,,的负向量则满足 ,,,+0=0+= ,,+(-) =0 0,=0，k0=0 若,,0则必有或0 k,,k,0 n全体n维实向量构成的集合叫做记为，（显然，R 它是2维3维几何空间概念的推广。但 n,4 时，已无几何直观可言） n设,,,,,,,,RkkkR,,,,,记 m1212m ,,,,,，，，kkk (1.4) 1122mm 则,,,,,,是的一个。 , 12m 若给定,,,,,,kkkR,,,,和，能找到一组数使得(4),12m12m 成立，则称,,,,,,可以被向量组。 ,12m 记注：eee,,,(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)eee,,...,，那么 12n12n n任一n维向量,,(,,,)aaa都可被这组基本单位向量线性表出，叫的基本单R12n 事实上有 位向量，应十分 熟悉 ,,，，，aeaeae 1122nn 显然表示法是唯一的。因为，若还有表示式 ,,，，，bebebe 1122nn 则由 - 2 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 aeaeaeaaa，，，,(,,,)112212nnn bebebebbb，，，,(,,,)112212nnn 及,,,立得由向量相等的充分必要(,,,)(,,,)aaabbb,1212nn 条件，得故表示法唯一。 abin,,(1,2,,)ii 对于给定的n维向量组及，如何来判定能否被,,,,,,,,12m 线性表示呢？能表示时，其表示式的组合系数如何确定呢？ 设已知 aaab，，，，，，，， 111211m,,,,,,,, aaab212222m,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,12m ,,,,,,,, ,,,,,,,,aaab,,,,,,,,，，，，，，，，nnnmn12 xxx,,,,，，，, (1.5) 1122mm 代入： aaab，，，，，，，，111211m ,,,,,,,,aaab212222m ,,,,,,,,xxx，，，, 12m,,,,,,,, ,,,,,,,, aaab,,,,,,,,，，，，，，，，nnnmn12 整理得 axaxaxb，，， ，，，，11112211mm,,,, axaxaxb，，， 21122222mm,,,,, 注：这里 ,,,,..................................... ,,,,,,,,,,叫12maxaxaxb，，，,,,,，，，，nnnmmn1122 由向量相等定义得 (1.6)的系数列axaxaxb，，，,,向量，11112211mm叫右端,,axaxaxb，，，,, 21122222mm向量 (1.6) , , ,axaxaxb，，，,,nnnmmn1122 以上推导可逆说明式(1.5)与(1.6)等价，即xxx,,,使 12m (1.5)成立等价于xxx,,,是线性方程组(1.6)的解。即,能被12m ,,,,,,线性表示的充分必要条件是线性方程组有解，求表示式 12m (1.5)归结为求方程组(1.6)的解。下面举例说明： - 3 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 1 已知三维向量 1121,，，，，，，，， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,1,1,2 123,,,,,,,, ,,,,,,,,,,206t，，，，，，，， 问t为何值时，不能被线性表示；t为何值时能被线性表示， 并求出表示式。 本节基本要求：令 xxx,,,,，，,，得线性方程组 112233１.熟悉n维向量 的概念及其线性 xxx,，,21,123运算； , 2xx,,, ,23２.会讨论给定向,,,,2 6xxt13,量能否被给定向 量组线性表示，消元得 并会求表示式。xx 31，,,,13作业：3-1 , 2xx，,, 23, , 02,,t, 显然，当时，方程组无解，这时不能被,,,,,线性表示。 t,2,本例表明：给定123 一向量组并非所 xx 31，,,xx,,,13有其它向量都能,,1313当时方程组与同解，即 t,2,,被它们线性表xx，,,2xx,,,2,,2323示，能表示时，令表示法也未必是xcxc,,,,,,13,2xccR,,,得 123唯一的。 1，， ,, ,,,,,,,,,，,,，2(13)(2)ccc 123,, ,,2，， 由于c可以取任意实数，故t＝２时表示法不唯一。例如取c＝1时，注：对任m个同 维向量构成的向,,,,,,，,，4(3)1,,,,,,，,，1(2)0，取c＝0时， 123123量组，当 kk,,,0 向量组的线性相关性 1m 时都有（2.1）式 成立。定义2.1 3.2.1 和定义2.2表明 向量组可分为两 类：一类是只有2.1设naaa,,(1)m, 是维向量 ，若存在不全为零 12m kk,...,全为零1m的数kkk,使线性组合 12m时才有（2.1）成 立，叫做线性无kakaka，，，,0 (2.1) 1122mm关的； 则称向量组,,,,, ，否则称之向量组。 12m - 4 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 2.2 若当且仅当 全为零时，才有式（2.1）成 kkk,,12m 另一类是存在不立则称向量组 。 使kkk,aaa,,12m12m全为零的数 （2.1）成立，叫例如依定义容易验证基本单位向量eee,,线性无关。 12n做线性相关 的。 （由上述定义可直接证明，留给学生证明） ? 含零向量的向量组必线性相关； ? 向量组中若有两个向量成比例，则该向量组必线性相关； ? 线性相关的向量组，添加向量或同时去除相应分量（降维）注：这些命题的后仍线性相关； 逆均不成立。为 ? 线性无关的向量组，去掉一些向量或增加相应分量（升维）什么？请说明。 后仍线性无关。 例如 ,,,(1,2,3),,,(2,4,6) ,,,(2,1,0) 是线性相关的。132 因,,,2 31 又如,,,(0,1,0,5),,(0,0,1,8),,(1,0,0,3)，， 231 因 ，，线性无关，故任意加分量后仍线性无关。 (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) 由定义可证明如下定理： 2.1向量组 ,,,,,, 线性相关的充分必要 (2)m,12m 条件是其中至少有一个向量可以被其余向量线性表示。 注1：讨论向量组（必要性）设,,,,,,线性相关，则存在不全为零的数12m时，均表示同维 的，以后不再声kkk,,使 12m明 kkk,,,，，，,0 1122mm 成立，无妨设k,0，则有 1 ,,kk,k注2：由于定理是3m2,，，，,,,, 123mkkk充分必要的，因111 此有（充分性）无妨设,,,,,,,aaa,可以由 线性表示，即存在 m121m,12m 线性无关的充分数kkk,,, 使 121m,必要条件自然是 其中没有一个向 kk,,,，，, 1111mmm,,量可被其余向量 线性表示 成立。整理得： kk,,,，，，,,(1)0 1111mmm,, 显然 kkkk,,,1,,aa,不全为零，故线性相关。 121mm,1m - 5 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 两个向量线性相关它们成比例； , 两个向量线性无关 它们不成比例。 , 显然只有在特殊情况下可用上述结论或定理，通过观察来判断向 量组是否线性相关。 “”表示“充 , 那么对于一个给定的向量组如何来判定它线性相关还是线性无分必要” 关呢？ 与上节类似地，由于当n维向量组 aaa，，，，，，1m1111 ,,,,,,aaa2m2122,,,,,, ,m,,, ,,12,,,,,, ,,,,,,anm,,，， aa,,,,，，，，12nn 已知时 xxx,,,，，，,0 (2.2) 1122mm 与m元齐次线性方程组 注：这里 ,,,xxx，，，,0是,,,,,,,1111221mm12m (2.3) ,,,,xxx，，，,0,nnnmm1122方程(2.3)的系数是等价的(它们是同一种关系的不同表现形式)从而有 列向量 ,,,,,,线性相关齐次线性方程有非零解；反,12m 之,,,,,,线性无关齐次线性方程组(2.3)只有零解。 ,12m 这个定理告诉我们判定向量组,,,,,,是否线性相关可化归12m 为判定以,,,,,,为系数列向量的齐次线性方程组(2.3)是否有非 12m 零解. TTT3 设 ,,,,,,,,,(1,2,2),(4,2,2),(1,3,1)判定它们是123 否线性相关？ 令xxx,,,，，,0,得 112233 xxx，，,40,123 ,2230xxx,,, 123, ,123220xxx，,, , 消元得 xxx，，,40, 123, ,,,1050xx ,23 , 420xx，,23, - 6 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 即 xxx，，,40,123 ,20xx，,,23 由于方程个数小于未知数个数,故该齐次线性方程组有非零解.如 ，，就是一个非零解.即有220,,,,，,，故x,2x,,1x,2 123123 线性相关。 ,,,,,123 4 设ac，，， 不全为零 db TTT ,,,,(,,,)cdab,,(,,,)abcd,,,,(,,,)badc，，， 123 T,,,,(,,,)dcba 4 证明：,,,,,,, 线性无关。 1234 令 xxxx,,,,，，，,0 证矩阵 11223344 abcd，， ,,badc,, ,,A,,,, ,,,,1234 ,,cdab,, ,, dcba,,，， 由上一章知方程组可写成矩阵形式 x，，1 ,,x2,, X,AX,0其中 ,,x3 ,,x,, ，，4 由于 T2222AAabcdE,，，，() 故 2T22224 AAAabcd,,，，，,()0 ,1 从而,,,XA00xxxx,,,,0,,,,,,,可逆。即，从而A12341234 线性无关。 有的时候向量组比较有规律，可依定义用观察法直接判别线性相 关与否。 - 7 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 5 设线形无关，则下列向量组线形无关的是（ ） ,,,,,,,1234 （A）； ,,,,,,,,，，，，,,,12233441 （B）,,,,,,,,,,,,,,, 12233441 （C） ,,,,,,,,，,，,,,, 12233441 （D） ,,,,,,,,，,,，,,, 12233441 3.2.3 2.3 设有两个n维向量组 （?）,,,,,,,,,,,,，（?） 12s12m 若（?）的每一个向量都可以被向量组（?）线形表示，则称 ；若向量组（?）又可以被（?） 线形表示，则；若向量组（?）与 （?）能互相线形表示，则称，记作 , 显然由等价的定义易证如下三性质： 1. （?）,（?）（自身性） 2. 若（?）（?）则有（?）（?）（对称性） ,, 3. 若（?）（?），（?）（?）则有（?）（?）（传递性） ,,, （证明留给学生） 课外作业： 必做题：练习3－1题1，2，3(1)(3)(5)，4 练习3－2题1，2，3(2)(3)，4 思考题：练习3－2题5 练习三1，2，5 - 8 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 : 重点：1,2 难点：1 . . ?3.3 向量组的秩 3.3.1 ,,,,3.1设n维向量组(?)中有r 个向量 rm,，，12,m注：应熟记这个 定义并会用定义,,,,,满足两点： iii12r确定比较简单的 向量组的一个极1. 它们线性无关； 2. (?)中任一个向量均可被它们线性表示 大线性无关组 则称,,,,,为向量组(?)的一个。 iiir12 一个给定的极大线性无关组总是存在的；但一般说来不是唯一 的。 1 设 ,,,,,,,,,,,1,0,1,1,2,1,1,2,3,2,4,2，试用 ，，，，，，，， 1234 定义求出极大线性无关组。 因 ,,,,,,不成比例，故线性无关，只须说明向量都可被1212 ,,,,,,,,,，2,02,,,线性表示，事实上，故由定义3.1知31241212 ,,,是一个极大线性无关组。不难看出，也线性无关，且13 ,,,,,,,,,,2,42,,, 故也是一个极大线性无关组；但21341313 ,,,,,,2,,,就不是极大线性无关组，因，从而线性相关。 244224 若把极大线性无关组的概念推广到无限多个n维向量组成的向 n量集合eee,,, 中去，那么n维基本向量就是全体n维向量构成R12n n 的n维向量空间的一个极大线性无关组。这是因为它们线性无关，R 而且任一个n维向量均可被它们线性表示。今后，我们称eee,,,为12n n的一组。 R 一个向量组的极大线性无关组虽然不是唯一的，但下面的定理和 推论将证明它们所含向量的个数是确定的。 - 9 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 注：这是向量组3.1 如果s个n维向量可以被t个n维向量 ,,,,,,12s线性相关的一个 重要的充分条线性表示，且，则这s个向量必线性相,,,,,,,,,,,,st,12t12s件，应喜于灵活 运用 关。 设 ,,,,,，，aaa,11111221tt , , ,,，，aaasssstt1122,,,,, 令 xxx,,,，，，,0 (3.1) 1122ss 代入整理得 ()()xaxaxaxaxaxa，，，，，，，,,1112211111222222ssss ，，，，，,()0xaxaxa,1122ttsstt 令 axaxax，，,0,1112121ss ,axaxax，，,0,1212222ss (3.2) , , ,axaxax，，,0 ,1122ttsts 由于齐次线性方程组(3.2)的未知数个数s大于方程的个数t，故 000(3.2)必有非零解xxx,,,，显然，它们使得(3.1)成立，依定义2.1 12s 知 ,,,,,,线性相关。 12s 由此不难证明下面推论： 1 若向量组,,,,,,线性无关，且每一个向量均可被12s注：推论2、3、 4应作为知识点,,,,,, 线性表示，则必有。（依定理3.1用st,12t加以了解 反证法即可） 2 两个等价的线性无关向量组所含向量的个数相同。（用 等价定义和推论１） 3 一个向量组的极大线性无关组所含向量个数是唯一 的。（这是推论2的直接结果） 4 n＋1个n维向量必线性相关。 （以上推论的证明留给学生完成） 3.3.2 由推论3知，既然给定向量组的极大线性无关组所含向量的个数 是唯一的（虽然极大线性无关组不唯一），故可给出如下秩的概念： 3.2 向量组的极大线性无关组所含向量的个数叫该向量组的秩。 - 10 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 例１的向量组的秩为2，因为它的极大线性 ,,,,,,,1234 无关组只有2个线性无关向量。 n又如：n维向量空间 的秩为n，因为是它的一个极eee,,,R12n nn大线性无关组。n维向量空间的秩为的。 RR 借助向量组秩的概念，由上述定理不难证明下列命题成立： 注：命题1和2命题1 若向量组(?)可被向量组(?)线性表示，则秩(?)?秩(?) 的逆命题不成立 命题2 等价向量组的秩相等 命题3 若一向量组的秩为r，则该向量组中任意r个线性无关向量 都是它的极大线性无关组 （以上命题的证明由学生完成） 3.3.3 注：本定理的结 论很重要，在推设Ａ是m×n矩阵，则Ａ的m个n维行向量组的秩叫Ａ的行秩， 理论证中经常会Ａ的n个m维列向量组的秩叫Ａ的列秩。我们有如下重要定理： 用到 3.2 矩阵的秩＝Ａ的行秩＝Ａ的列秩。 （证明见书，留给学生自己看） 依据这个定理及矩阵初等变换求秩，可得到求向量组的秩及极大 线性无关组的一种简单易行的方法：先将给定的向量作为列向量构造 矩阵Ａ，对Ａ作初等行变换化阶梯形，则阶梯形的非零台阶数就是Ａ 的列秩，即该向量组的秩，阶梯形各非零行的左起第一个非零元（叫 ）所在原r个列向量即为该向量组的一个极大线性无关组。 2 TTT,,,,,,,,,,(1,2,1,0),(1,2,3,1),(2,1,0,3), 123 T,,,(1,1,3,4) 4注：应熟练掌握求这个向量组的秩及它的一个极大线性无关组。 用初等变换求给 定向量组的秩和 极大线性无关组1121,,,的方法 ,,,,2211,,A,,( ),,,, 1234,,1303,,,, ,,0134,, 11211121,,,,,, ,,,,00330134,,,, ,, ,,,,02240011,,, ,,,,,,,,01340000 ,,,, 由此得秩＝3， ,,,,,就是一个极大线性无关组。 123 - 11 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 3.3.4 利用矩阵秩与其行列向量组秩的关系及上述理论不难证明关于 矩阵运算的秩的几个重要不等式： mn，(1) 对 ,,ABR,，有 rABrArB()()(),,，注：这里的k是A 的列数即B的行 (2) 设AB,，则有 mkkn，，数 rArBkrABrArB()()()min{(),()}，,,, 3 设A，E是n阶单位矩阵,证明 nn，注：类似可证 rArAEn()()，,, rArAEn()()，，, 由(1). ,，，,,，,,,rArAErAAErEn()()[()]() 24 设A是n阶方阵，证明 AA, rArAEn()()，,, 22 AAAAAAE,,,,,,,0()0 ,,,rAAE(())0 再由(2)有， rArAEnrAAErArAE()()(())min{(),()}，,,,,,, ,，,,,,，,,rArAEnrArAEn()()0()() 再由例3的“注”,，,,,rArAEn()()结论成立． * 5 设A是nn(2),阶方阵，是A的伴随矩阵,证明 A nrAn, ()当 ,, , *rArAn()1, ()1,,,当． , ,0, ()1当rAn,,, n,1*** 当rAnAAAArAn()0. 0(),,,,,,,, ** 当rAnAAAAEAA()10,0,,,,,,, **,，,,,rArAnrAA()()()0 *,,,,,,,rAnrAnn()()(1)1 - 12 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 * 另外rAnA()1,,,中至少有一个非零元 ** ,,,,rArA()1()1 ** 当时 rAn()1,,AArA,,,,,00()0ij 课外作业： 必做题：练习３－３ 题１， ３， ４， ６， ７ 思考题：练习３－３ 题２， ５ 练习三 题８， １１， １２ - 13 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 n维向量的内积、正交性 为了后面及实际应用，这是先从形式上把2，3维几何向量的内 积概念推广到n维向量来得到如下定义： 3.4.1 n TTn,,,,(,,,),(,,,)aaabbb4.1 设是中任两个 Rnn1212 n维向量，定义,与的为： , ,,,，，，,,,ababab 1122nn注：这个式子与n ＝2，3时的向量符号 ,表示向量与的内积，由定义4.1立得关于内积,,,,,,的内积的坐标计 算公式是一致的 的几个简单性质： n ,,,,,,,,,RkR有 ? （交换律） ,,,,,,,,,,, ? （结合律） ,,,,,,,,kkk,,,,,,,,, ? ,，,,,,，,,,,,,,,,,,,（分配律） ? ,,,,,,0,当且仅当,,0时,,,,,,0（非负性） 由?可以定义向量的模，记为,， 222,,,,,,,，，，,aaa n12 当,,,1时，称为。 依据Cauchy-Schwarz不等式 222222abababaaabbb，，，,，，，，，，（证明略） 11221212nnnn ,,,,, 得,,,,,11,(0,0),,,,,,,,,,,，进而有． , ,, 据此可定义两非零n维向量,,,与的夹角如下： 注：这与几何向 量夹角余弦公式,,,,,cos,(0),,,,,,是一致的但n>3 ,,,时已无几何直观 可言。, 当,(),,,,,,,,0,,,,时，这时则称与正交（即垂直），简记． 2 - 14 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 3.4.2 4.2 设是n维非零向量，若它们两两正交， ,,,,,,12m 则称为。再若，则称之,,,,,,,,,1,(1,2,,)in12mi 为。 4.1 正交向量组必线性无关。 设是正交向量组。令 ,,,,,,12m kkk,,,，，，,0 1122mm 由于它们是非零向量且两两正交，即 ,,,,0, iji,,,,, ,ij 0, ij,, 两边与,作内积有 i kkin,,,,,00 (1,2,,)iii ？,,,,,,线性无关。 12m n 中的正交向量组至多含有n个线性无关向量。 R n4.2 ,,,,,,中任一线性无关向量组都可被正交 R12m 化成正交向量组。（此证明留给学生完成） 这里介绍一种有效的正交化方法——Gram-Schmidt正交化方法， 这个方法的正交化公式是 ,,, ,11注：这个结论很,,,,,,21重要，应记住 ,221,,,,, 11,,,,,, ,3132,,,,,,,,,, ,3312,,,,,,, 1122,,,,,,,,,,,注：若要生成一,个正交向量,1,m,组,,,,,,,,,..., mi1,12m,,,,, mmi,,i,,,ii,,,,只须令 , i,,,1,2,...,im,i,i011，，，，，， ,,,,,,,,,,,,,1,0,1 123,,,,,, ,,,,,,222,，，，，，， - 15 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 ?证明线性无关； ?用正交化方法化成标准正交向量组。 注：这种方法必 须熟练掌握 011 ?因 ,,, 10150,,,,, 123 122, 秩=3线性无关； ,aaa,,,,,,,,,123123 0，， ,,? 正交化： 令,,,a1， 11,, ,,1，， 101，，，，，，2,,,,,,,,,,,21 ,,11,,,,,a0 221,,,,,,2,,,,,11 ,,,,11,,,，，，，,2，， 5，， ,,3 101，，，，，，,,,,,,,,,,,,125,,,,,,3132,, ,,,,,,,,,,，,,1113312,,,,,,,,,,,,,,236,,,, 1122,,,,,,211,,,，，，，，，5 ,, ,,6，， 单位化 ，，，，36，， ,,,,,,033,,,, ,,,,,,1316 12 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22331136,, ,,,,,,,2231,,,,,,36 2,,,,,,,36 ,,,,，，，，,,，，2 则,,,,,就是所求标准正交向量组。 123 3.4.3 T 4.3 n阶矩阵A若满足，则称A是。 AAE, 1 A是正交矩阵A的n个列（行）向量是标准正交的。 , ,1T2 A是正交矩阵A可逆，且。 ,AA, 3 若A是正交矩阵，则A,,1 - 16 - 鞍山科技大学理学院——线性代数教案 第三章 n维向量 ,,,1 豆丁致力于构,,T1. 记,,A 是的第列向量，则，只A,,,,jA，，j12n,,建全球领先的文,,n,,,档发布与销售平 台，面向世界范围T须证 AAc,，，ij提供便捷、安全、 专业、有效的文档1ij,,,TT ijn,1,2,AAEc,,,,营销服务。包括中,,,iji0ij,,,国、日本、韩国、 北美、欧洲等在内1ij,,,即 ,,,,,,标准ijn,1,2,,,,,,,j的豆丁全球分站，,,,,12ni0ij,,,将面向全球各地 正交。 的文档拥有者和 代理商提供服务，课外作业： 帮助他们把文档必做题：练习３－４ 题１， ２， ３， ４， ５ 发行到世界的每 一个角落。豆丁正 在全球各地建立 便捷、安全、高效 的支付与兑换渠 道，为每一位用户 提供优质的文档 交易和账务服务。 - 17 -