用向量组的极大无关组表示其余向量的简便方法

用向量组的极大无关组示其余向量的简便方法 第,,卷总第,,期 广东广播电视大学学报 ,,,,年第,期 ,,(,, ,,,?(,, (,。，聍,,,,, , ,，,,,,,, ,,,，,,丁, ,？，,,,,，,, ,,(,(,,,, 用向量组的极大无关组表示其余向量的简便方法 郑英伟 (湛江广播电视大学，广东湛江，,,,,,,) 【摘要】本文给出了用矩阵的初等行变换求向量组的极大无关组以及其余向量由极大无关组线性表出的简便 方法的定理证明。 、 【关键词】阶梯形矩阵;行简化阶梯形矩阵;主元 ’ 【中图分类号】,,,,(,, 【文献标识码】, 【文章编号】,,,,—,,,,(,,,,),,—,,,,—,, 定义 如果矩阵满足下列条件 定理 设咒维列向量组,,，口,，…，,组成的 (,)各非,行(元素不全为,的行)的首非, 咒×愚阶矩阵,,〔口,，,,，…，,〕经过有限次初元素的列标随着行标的递增而严格递增; 等行变换化为阶梯形矩阵,,〔卢,，,，…，像〕， (,)如果矩阵有,行(元素全为,的行)，,行 则在矩阵的下方;则称此矩阵为阶梯形矩阵。阶梯形 (,),中主元所在的列向量卢, ,，应,，…，佛,对矩阵的首非,元素称为该行的主元。如果还满足 应,中原来的部分(或全部)向量组,, ,，,, ,，…，条件: ,，,为极大无关组。 (,)各主元都是,且主元所在列的其他元素 (,)存在数,,，,,，…，,，使都为,; ,,口,,，,,口,,，…，,‖,,,,, ,的充要条 则称此矩阵为行简化阶梯形矩阵。 件是: 设口,，,,，…，冁是,,维列量组，列向量矩阵 ,,,, ,，,,应,，…，,属,,屈,,,〔,,，,,，…，吼〕在【, ,?,(,中，用矩阵的初等 其中,，,，忌是自然数且,,,，,，,，,，…，行变换把,化为阶梯形矩阵,,〔卢,，卢,，…， 忌， ,??,??忌依〕，如果,中的主元所在的列的顺序依次为,,， 当,为行简化阶梯形矩阵，即卢, ,，,,，…，,,，…，,，则对应原来向量组中的口,，，,,，，…，,,(, ,,为,个单位列向量时，,,为屈,的第歹个分量(歹?,,,,,…,,，?忌)即为原向量组的极大无关 ,,，,，…，，()。组且其余向量口, ,,，…，口,。,?,，，,,…,如? 定理(,)的证明忌，其中(,,，,,，…，如)是(,，,，…，忌)的一个置 因为矩阵,是阶梯形矩阵卢, ,，应,，…，房,是换，由极大无关组线性表出的表示式可解忌一,个 首非零元对应的列向量，显然由卢, ,，皮,，…，佛,方程组。 组成的,阶子式是非零的上三角行列式，所以向 ,,,,,，,,,,,，…，,‖, ,,,,,(,,,，,， 量组卢,,，应,，…，,,线性无关。于是由〔,〕?,(,…，忌)得到。事实上并不需解这些方程组，而只需 的定理,、定理,知,,,，,,,，…，,，,线性无关及向把,化为行简化阶梯形矩阵便可直接写出。下面 量组口,，口,，…，,女的秩为,，即,, ,，,, ,，…，,，,为给出相应定理及其证明。 向量组的极大无关组。定理(,)证完。 【收稿日期】,,,,—,—,, 【作者简介】郑英伟(,,,,一)，男，广东湛江人，湛江广播电视大学副教授。 万 方数据 ,, 广东广播电视大学学报(第,,卷 总,,期) ,,,,年,月,,日 定理(,)的证明 设,, ,，,,,，…，口，,是向量组口,，,,，…，,的极大无关组，由〔,〕?,(,知存在咒阶可逆矩阵, ,,,…,,,,(即有限次初等行变换)把矩阵,,,〔口,,，,,,，…，,，,，口，，, ,，…，,,〕化为阶梯形矩阵,,,〔,, ,，,,，…，房,，屏，, ,，…，厥,〕即 饿七, ,,,,,,及,, , ,晟, , , , , , , , 其中,,,，,，…，忌 , , , , , , , 若存在数,,，,,，…，,，使 ,, , , , , ,刎 , ,,,, ,，,,,,,，…，,‖,, ,口, , 贝?有,(,,口, ,，,,口, ,，…，,‖，,),,,, , ,,,,, ,，,,,,,,，…，,乒,，,,,,, 即,,卢, ,，,,,,，…，,属,,危, 反之，当存在数,,，,,，…，,，使,,(,,,,，,,,,，…，,属,,屈, , ,旦,,?三:;蚓 ,, ,, , ,?, , , 贝,有,,,,, ,，,,,,,,，…，,,,,，,,尸,, ,(,,口, ,，,,口, ,，…，,‖,,),,,, 由于,是竹阶可逆矩阵，上式左乘,,,得,,,, ,，,,口,,，…，,‖,,,,, ,定理(,)证完。 当,为行简化阶梯形矩阵时 ,:〔卢, ,，,,，…，屏,，房，, ,，…，像,〕 … , , , , ,,,，, ,…,,门 , … , … , ,,，，,, ,,，, … , … , , , ,，，, ,施, 【参考文献】 … , … , , , , 〔,〕施光燕(线性代数〔,〕(中央广播电视大学出版 社，,,,,( , , … , … … , , ,,,,,, ,,, ,, ,,,,,,, ,,,,, ,,;,,,, ,,,, ,,,,,,, ，,,,,,,,,,, ,,;,;, ,,,,,, ,矗,咒,?咒,砌炙 (,,肌,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,，,,删,,,,，,,,,,,,,,，,,,,,,) ,,,,,,;,:，, ,,,, ,,,,,，,,, ,,,,,, ,,,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,, ,, ,,协, ,,, ,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,;,,,,(,,, ,,,,,);,,, ,,,,, , ,,,,,, ,,, ,, ,印,,,,,,、佗;,,,, ,,,, ,,,,, ,,,,,(,,,, ,,,,,,,,,锄,,,,,, ,, ,,,, ,印,, ,, ,,,,,, ,,,?,,,,,,,,( ，(,, ,,,,,:,;,,,,, ,,,,,,;,,,,—,,,,;,, ,;,,,,, ,,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,,,( 万 方数据