椭圆的画法

椭圆的画法 几何画板简明教程 第九章 椭圆的画法和性质 一(椭圆的定义: 1(在平面内，到两个定点F、F的距离的12y和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆。这12 M两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 焦距。 x 2(椭圆的方程: FOF设M(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距21为2c (c>0)，则如图建立直角坐标系，又F、F12 (c, 0)，若M点与F、的坐标分别是F(,c, 0), F121 F两点的距离的和等于2a (a>c>0)，则 |MF|，21 |MF|,2a, 2 2222? , 图9,1 (x，c)，y，(x,c)，y,2a 222整理化简，并且设b,a,c得椭圆的标准方程 y22yxl. ，,122abMD3(椭圆的第二定义: x设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直 2FOacF2l线: x,的距离的比是常数(a>c>0)，则点M的1ac l轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线是椭圆 c中对应于焦点F的准线。常数e, (0b>0)为半径作两个 圆，点A是大圆上的一个点，点B是OA与小圆的交点，A过点A作AN?Ox，垂足为N，过点B作BM?AN，垂 足为M，当点A在大圆上运动时，M点的轨迹是椭圆。 MB设点M的坐标是(x, y)，φ是以Ox为始边，OA为x?Õ终边的正角，取φ为参数，那么 ONx,|ON|,|OA|cosφ,acosφ, y,|NM|,|OB|sinφ,bsinφ, x,acos,,? 椭圆的参数方程是 (φ是参数). ,y,bsin,, 图9,3 43 第九章 椭圆的画法和性质 二(椭圆的画法: 画法1: y DCM PP41 x AAO1F2F12 PP32 图9,4 1(在x轴上取两点F、F，使|OF|,|OF|，用它们作为两个焦点; 1212 2(在图形外作一条线段CD，使|CD|,2a，(|CD|>|FF|); 12 3(以O为中心，在x轴上取两点A、A，使|AA|,|CD|; 1212 4(在CD上分别取C'、D'，使|CC'|,|AF|,|DD'|;作线段C'D'，并用“作图”菜单中的11 “对象上的点”功能在C'D'上作点M; 5(分别以F、F为圆心，用|CM|、|MD|为半径作圆，两圆相交于P、P两点;同样方法1212 分别以F、F为圆心，用|DM|、|CD|为半径作圆，两圆相交于P、P两点;并将这四个点定1234义为“追踪点”; 6(依次选中点M、点P (或点M、点P)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。 12 理论根据: 2ay点P是两圆的交点，? 点P到11 F与F的距离的和等于两圆的半径12 P和, 即 |PF|，|PF|,|CM|，|MD|,12 |CD|,2a. D说明: M M点不要直接在CD上取，那样x画出来的椭圆将在x轴附近断开一OFF21段，因为计算机画的曲线实际上是由 若干条小线段形成的，这些线段的端 点是由符合条件的若干个点中随机选 取的，当我们使点M在CD上运动时， 一般情况点C '、D'都取不到，于是画 出来的图形就不好看了。 图9,5 44 几何画板简明教程 画法2: 1(在x轴上取两点F、F，使|OF|,|OF|，用它们作为两个焦点; 1212 (在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a>|FF|); 212 3(以F为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P; 1 4(连接PF、PF，作PF的中垂线与PF交于点M，连接MF; 12212 5(将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。 理论根据: 点M在PF的中垂线上，? |MP|,|MF|, ? |MF|，|MF|,|MF|，|MP|,|FP|,2a. 即221211点M到两个定点F和F的距离的和等于定长。点M的轨迹是一个椭圆。 12 画法3: a cMD1la=3.483 cm c=1.990 cm ABFPCce== 0.571a 2a-c= 4.105 cmMc2 图9,6 ll1(在平面中作两条直线，使直线为准线，另一条直线AB与直线垂直;两条直线的交点为C; 2(在图形外取两条线段a和c，使a>c; 22aa3(计算，在直线AB上取一点F，使|CF|,,点F作为椭圆的焦点; ,c,ccc 4(在线段FC上，取点A，使|AF|,a,c, 在CF的延长线上，取点B，使|FB|,a，c，作线段AB，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P; cc5(计算e,，度量|CP|的长，计算|CP|×; yaa c6(以点F为圆心，|CP|×为半径作圆，此圆与过点aAP且垂直于AB的直线相交于M，M两点; 12 7(分别选中点M和点P(或点M和点)，用“作图”M12B菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 x?Õ 理论根据: ON cl点M到点F的距离是|CP|×，点M到准线的距11a 离|MD|,|CP|, 1图9,7 45 第九章 椭圆的画法和性质 点M到F的距离c1? ,,e. ? 点M在椭圆上。 1点M到直线l的距离a1 画法4: 1(以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆; 2(在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B; 3(过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N;作BM垂直于AN，垂足为M; 4(分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据: acosφ, |NM|,bsinφ, 根据椭|ON|, 圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭Pa=2.802 cm圆。 b=1.345 cm画法5: M 1(以坐标原点O为圆心，分别以a、 b(a>b>0)为半径画两个圆; OADFF22(在大圆上取一点P，过点P作PN1 b?Ox轴，垂足为N; = 0.480ba3(计算两圆半径的比k,，定义a 为“标记比”，选中点N，定义为“缩放 中心”; 4(选中点P，用“变换”菜单 图9,8 中的“缩放”功能，将点P用标记比缩放得到点M; 5(分别选中点M和点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据: ay设点M的坐标是(x, y)，则点P的横坐标为x，纵坐标y,, 0b 2222ayyx22222x，? 点P在圆x，y,a上，? ,a, 整理得 . ，,1222bab 结论: 只要动点P在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD，所得到的点M的轨迹都是椭圆。 46 几何画板简明教程 三(椭圆中动弦的画法 (一)(椭圆焦点弦的画法: P M a=3.116 cm b=2.592 cm OFF21c=1.729 cmN Q 图9,9 1(用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a, b, c的值，在长轴上画出两个焦点F、1F(使|OF|,c); 21 2(在大圆上任取一点P，相应作出它在椭圆上的对应点M; 3(连接PF延长与大圆交于点Q; 1 4(作出点Q在椭圆上的对应点N; 5(连接MN，则线段MN一定过焦点F，且点M、N都在椭圆上; 1 6(保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在椭圆上拖动它，则点N相应在椭圆上移动，且MN始终经过点F. 1 理论根据: 椭圆上的点M、N是由大圆上的点P、 Q'Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点 F，则相应的线段MN在椭圆上也经过定1 点F. 1QM'(二) 椭圆中过定点M的弦的画法: 1(用参数方程的画法画出一个椭圆，M a标出定点M;计算两圆半径的比k,，bOD 定义为“标记比”; P2(作MD?Ox轴，垂足是D，以D 为缩放中心，把点M用标记比缩放，得P'到点M'; 3(在大圆上取一点P'，作出它在椭 圆上的相应点P; 4(连接P'M'，延长与大圆交于Q'， 作出点Q'在椭圆上的对应点Q; 图9,10 5(连接PQ，则PQ始终经过点M，且P、Q都在椭圆上; 47 第九章 椭圆的画法和性质 6(保留坐标系、椭圆、定点M和过定点M的弦PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在椭圆上拖动它，则点Q相应在椭圆上移动，且PQ始终经过点M. 理论根据: 椭圆上的点P、Q是由大圆上的点P'、Q'得到的，线段P'Q'在大圆上经过定点M'，则相应的线段PQ在椭圆上也经过定点M.。问题的关键是怎样由点M得到点M'，我们看到，只要在 a纵坐标是以定比缩放点M，就得到了对应点M'. b (三) 椭圆中平行弦的画法的画法: P' P B C OQAD Q' 图9,11 a1(用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k,，定义为“标记比”; b 2(在图形外画一条线段AC，过点A作水平线AD，过C作CD?AD; 3(选中点D作为“缩放中心”，再选中点C，用“标记比”缩放，得到点B，连接AB; 4(在大圆上任取一点P'，过P'作AB的平行线角大圆于Q'; 5(用参数方程的作法，分别作出P'、Q'在椭圆上的对应点P、Q; 6(连接PQ，则PQ就是与AC平行的椭圆中的弦; 7(保留坐标系、椭圆、AC和PQ，隐藏其它的内容;选中点P在椭圆上拖动点P，则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在椭圆上; 8(作PQ的中点，标记为“追踪点”，则点P运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。 理论根据: 在大圆上，P'Q'//AB，这个关系保持不变，相应的点P、Q是点P'、Q'在椭圆上的对应点，? 线段PQ的斜率保持不变。那么我们只要找到线段AC与AB的关系就可以了。在这个作法中，改变已知条件AC的倾斜角，那么相应的PQ的斜率也发生同样的变化。 48 几何画板简明教程 四(椭圆切线的画法 (一) 过椭圆上一个定点M的切线: (在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两1 个焦点F、F; 12y2(在椭圆上标出定点M; NM3(以F为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆; 1D4(连接FM延长交大圆于点N; 1x O5(连接FN，作FN的中垂线，这条中垂线过点FF2221 M，并且是椭圆的切线。 理论根据: ? 点M在椭圆上， ? |MF|，|MF|,2a, 12 又|FN|,2a，? |MF|,|MN|, 12图9,12 点M在FN的中垂线上，直线MD经过点M且与椭圆有且仅有一个2 交点，所以直线MD是椭圆过点M的切线。 (二) 过椭圆外一点作椭圆的切线: yP MDT x OFFN21 Q 图9,13 1(在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F、F; 122(在椭圆外标出定点T; 3(以点F为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆; 1 4(以点T为圆心，|TF|为半径作圆，交圆F于点P、Q; 21 5(连接PF，作PF的中垂线MT，同样连接QF，作QF的中垂线NT; 2222 6(直线MT、NT都是过点T的椭圆的切线。 理论根据: 点P、Q在以点T为圆心，|TF|为半径作圆上，? |TF|,|TP|,|TQ|，PF的中垂线一定222 经过定点T，且中垂线上一定有一点M，满足|MF|，|MF|,|MF|，|MP|,2a, 点M在椭圆上，121 ? MT是椭圆的切线且MT经过点T;同理NT也是椭圆的切线且NT经过点T。 49