中位线综合应用(练习一)难度偏大

中位线综合应用(练习一)难度偏大 中位线综合应用(练习一)难度偏大 中位线综合应用(练习一)难度偏大 一(选择(共11小题) 1(如图，在?ABC中，?ABC=90?，AB=8，BC=6(若DE是?ABC的中位线，延长DE交?ABC的外角?ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( ) A(7 B(8 C(9 D(10 2(如图，在?ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF?BC，垂足为点F，?ADE=30?，DF=4，则BF的长为( ) 8 C( A(4 B( 2 D(4 3(如图，在Rt?ABC中，?A=30?，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( ) A(1 B(2 C( D(1+ 4(如图，矩形ABCD中，AD=10，点P为BC上任意一点，分别连接AP、DP，E、F、G、H分别为AB、AP、DP、DC的中点，则EF+GH的值为( ) ) A(10 B(5 C(2.5 D(无法确定 5(如图，?ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BE平分?ABC，交DE于点F，若AB=10，BC=8，则EF的长是( ) A( B(1 C( D(1.5 ，点M、N分别为线段BC、6(如图，在四边形ABCD中，?A=90?，AB=3，AD= AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为( ) A(2 B(3 C(4 D( 7(如图，在?ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分?BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于( ) A(0.5 B(1 C( D(2 8(如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是( ) A(线段EF的长逐渐增长 ) B(线段EF的长逐渐减小 C(线段EF的长始终不变 D(线段EF的长与点P的位置有关 9(如图，DE是?ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则S?CEF:S?DGF等于( ) A(2:1 B(3:1 C(4:1 D(5:1 10(如图，在等边?ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F (若 边长为( ) =6，则?ABC的 A( B( C( D(1 11(已知:四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是( ) A(1,MN,5 B(1,MN?5 C(,MN, D(,MN? 二(填空题(共3小题) 12(如图，四边形ABCD中，?A=90?，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，) AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ( 13(如图，D是?ABC内一点，BD?CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ( 14(如图，在直角梯形ABCD中，AB?BC，AD?BC，EF为中位线，若AB=2b，EF=a，则阴影部分的面积 三(解答题(共26小题) 15(如图，在四边形ABCD中，?ABC=90?，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN( (1)求证:BM=MN; (2)?BAD=60?，AC平分?BAD，AC=2，求BN的长( ) 16(如图，已知?ABC，AD平分?BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME?AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F( (1)求证:AE=AF; (2)求证: BE=(AB+AC)( 17(如图，已知?ABC中，D为AB的中点( (1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE(保留作图痕迹，不要求写作法); (2)在(1)的条件下，若DE=4，求BC的长( 18(如图，在?ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且 CF=BC，连结CD、EF(求证:CD=EF( 19(如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点( (1)求证:四边形EFGH为平行四边形; (2)当AC、BD满足 时，四边形EFGH为菱形(当AC、BD满足 时，四边形EFGH为矩形(当AC、BD满足 时，四边形EFGH为正方形( ) 20(?ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证:EF?DG，且EF=DG( 21(如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E(F分别是BC(AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则?BME=?CNE(不必证明) (温馨提示:在图(1)中，连接BD，取BD的中点H，连 接HE(HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而?1=?2，再利用平行线的性质，可证明?BME=?CNE) (1)如图(2)，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E(F分别是BC(AD的中点，连接EF，分别交CD(BA于点M(N，判断?OMN的形状，请直接写出结论( (2)如图(3)中，在?ABC中，AC,AB，D点在AC上，AB=CD，E(F分别是BC(AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若?EFC=60?，连接GD，判断?AGD形状并证明( ) 22(如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点( (1)若AB=6，求PM的长; (2)若?PMN=20?，求?MPN的度数( 23(如图，在?ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高( (1)若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为 ( (2)求证:?DHF=?DEF( 24(在?ABC中，AD平分?BAC(BD?AD，垂足为D，过D作DE?AC，交AB于E( (1)求证:AE=DE; (2)若AB=8，求线段DE的长( 25(如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点， G、H分别是对角线BD、AC的中点( (1)求证:四边形EGFH是菱形; (2)若AB=，则当?ABC+?DCB=90?时，求四边形EGFH的面积( ) 26(已知如图:在?ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高(求证:?EDG=?EFG( 27(如图，在四边形ABCD中，AC?BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长( 28(如图，M是?ABC的边BC的中点，AN平分?BAC，且BN?AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求?ABC的周长( BE于N，AM?CF于M， 29(如图，BE，CF是?ABC的角平分线，AN? 求证:MN?BC( 30(如图，在?ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF?AB，交BC ) 于点F( (1)求证:四边形DBFE是平行四边形; (2)当?ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形,为什么, 31(D、E分别是不等边三角形ABC(即AB?BC?AC)的边AB、AC的中点(O是?ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E( (1)如图，当点O在?ABC的内部时，求证:四边形DGFE是平行四 边形; (2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系,(直接写出，不需要说明理由() 32(如图，在?ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高( (1)求证:四边形ADEF是平行四边形; (2)求证:?DHF=?DEF( 33((1)如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则?BME=?CNE，求证:AB=CD((提 ) 示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线) (2)如图2，在?ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，?OEC=60?，求OE的长度( 34(如图，在?ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE?CD，垂足是E，F是CB的中点(求证:BD=2EF( 35(如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON( 求证:AC=BD( 36(如图，点D、E是Rt?ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点( (1)求?FGH度数; (2)连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长( ) 37(?ABC中E是AB的中点，CD平分?ACB，AD?CD与点D，求证:DE=(BC,AC)( 38(如图，M是?ABC的边BC的中点，AN平分?BAC，BN?AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 (1)求证:BN=DN; (2)求?ABC的周长( 39(在?ABC中，?ACB=90?，AC= 的中点， 求证:AE?EB( (以BC为底作等腰直角?BCD，E是CD 40(我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形( 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH( (1)这个中点四边形EFGH的形状是 ; (2)请证明你的结论( ) ) 中位线综合应用(练习一)难度偏大 参考答案与试题解析 一(选择题(共11小题) 1((2016?陕西)如图，在?ABC中，?ABC=90?，AB=8，BC=6(若DE是?ABC的中位线，延长DE交?ABC的外角?ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( ) A(7 B(8 C(9 D(10 【】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF?BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题( 【解答】解:在RT?ABC中，??ABC=90?，AB=8，BC=6， ?AC= ==10， ?DE是?ABC的中位线， ?DF?BM，DE=BC=3， ??EFC=?FCM， ??FCE=?FCM， ??EFC=?ECF， ?EC=EF=AC=5， ?DF=DE+EF=3+5=8( 故选B( ) 【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型( 2((2016?葫芦岛)如图，在?ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF?BC，垂足为点F，?ADE=30?，DF=4，则BF的长为( ) A(4 B(8 C( 2 D(4 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT?ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题( 【解答】解:在RT?ABF中，??AFB=90?，AD=DB，DF=4， ?AB=2DF=8， ?AD=DB，AE=EC， ?DE?BC， ??ADE=?ABF=30?， ? AF=AB=4， ? BF= 故选D( ==4( ) 【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型( 3((2016?南充)如图，在Rt?ABC中，?A=30?，BC=1，点D，E分 别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( ) A(1 B(2 C( D(1+ 【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2(然后根据三角形中位线定理求得DE=AB( 【解答】解:如图，?在Rt?ABC中，?C=90?，?A=30?， ?AB=2BC=2( 又?点D、E分别是BC，AC的中点， ?DE是?ACB的中位线， ?DE=AB=1( 故选:A( 【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半( 4((2016?路北区二模)如图，矩形ABCD中，AD=10，点P为BC上任意一点，分别连接AP、DP，E、F、G、H分别为AB、AP、DP、DC的中点，则EF+GH的值为( ) A(10 B(5 C(2.5 D(无法确定 ) 【分析】E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，则EF，GH分别是?ABP，?DCP的中位线，得到EF+GH=BC( 【解答】解:在矩形ABCD中，BC=AD=10( ?E、F、G、H分别为AB、AP、DP、DC的中点， ?EF是?ABP的中位线，GH是?DPC的中位线， ?EF+ GH=BP+PC=BC=5( 故选:B( 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半( 5((2016?碑林区校级一模)如图，?ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BE平分?ABC，交DE于点F，若AB=10，BC=8，则EF的长是( ) A( B(1 C( D(1.5 【分析】根据三角形中位线定理得到DE?AB，DE=AB=5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可( 【解答】解:?D、E分别是BC、AC的中点， ?DE?AB，DE=AB=5，BD=BC=4， ??ABF=?BFD， ?BE平分?ABC， ??ABF=?DBF， ??DBF=?BFD， ?DF=DB=4， ?EF=DE,DF=1， ) 故选:B( 【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键( 6((2016?碑林区校级一模)如图，在四边形ABCD中，?A=90?，AB=3，AD=，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为( ) A(2 B(3 C(4 D( 【分析】根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理解答即可( 【解答】解:连接BD、ND， 由勾股定理得，BD==4， ?点E、F分别为DM、MN的中点， ? EF=DN， 当DN最长时，EF长度的最大， ?当点N与点B重合时，DN最长， ?EF长度的最大值为BD=2， 故选:A( 【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键( ) 7((2016?定州市一模)如图，在?ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分?BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于( ) A(0.5 B(1 C( D(2 【分析】过点M作MG?AB交AD于点G，根据AD?BC，AB?MG 可得出四边形ABMG是菱形，故可得出BM的长，再由三角形中位线定理 即可得出结论( 【解答】解:过点M作MG?AB交AD于点G， ?AD?BC，AB?MG， ?四边形ABMG是平行四边形， ??AGM=?ABM( ?AM平分?BAD， ??GAM=?MAB， ??AMB=?AMG( 在?AGM与?ABM中， ， ??AGM??ABM， ?AB=AG=3， ?四边形ABMG是菱形， ?MC=5,3=2( ?EF?BC，点E，F分别是AB，CD的中点， ?NF是?DCM的中位线， ?NF=MC=1( 故选B( ) 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，构 造出全等三角形是解答此题的关键( 8((2016秋?衡阳期末)如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是( ) A(线段EF的长逐渐增长 B(线段EF的长逐渐减小 C(线段EF的长始终不变 D(线段EF的长与点P的位置有关 【分析】连接AR，根据勾股定理得出AR的长不变，根据三角形的中位线定理得出 EF=AR，即可得出答案( 【解答】解:连接AR， ?矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变， ?AD和DR不变， ?由勾股定理得:AR= ?AR的长不变， ?E、F分别为AP、RP的中点， ? EF=AR， 即线段EF的长始终不变， 故选C( ， ) 【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理，三角形的中位线等， 关键是推出AR的长不变和得出 EF=AR( 9((2012?河南模拟)如图，DE是?ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则S?CEF:S?DGF等于( ) A(2:1 B(3:1 C(4:1 D(5:1 【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH?AD，再根据两直线平行，内错角相等可得?GDF=?HEF，然后利用“角边角”证明?DFG和?EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S?EFH=S?DGF，再求出FC=3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解( 【解答】解:如图，取CG的中点H，连接EH， ?E是AC的中点， ?EH是?ACG的中位线， ?EH?AD， ??GDF=?HEF， ?F是DE的中点， ?DF=EF， 在?DFG和?EFH中，， ) ??DFG??EFH(ASA)， ?FG=FH，S?EFH=S?DGF， 又?FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH， ?S?EFC=3S?EFH， ?S?EFC=3S?DGF， 因此，S?CEF:S?DGF=3:1( 故选B( 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线进行解题是解题的关键( 10((2005?湖州)如图，在等边?ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F(若 则?ABC的边长为( ) =6， A( B( C( D(1 【分析】过点A作直线PQ?BC，延长BE交PQ于点P;延长CF，交PQ于点Q(证明?BCE??PAE，?CBF??QAF， 构造+与BC的关系求解( 【解答】解:过点A作直线PQ?BC，延长BD交PQ于点P;延长CD，交PQ于点Q( ?PQ?BC， ) ??PQD??BCD， ?点D在?ABC的中位线上， ??PQD与?BCD的高相等， ??PQD??BCD， ?PQ=BC， ?AE=AC,CE，AF=AB,BF， 在?BCE与?PAE中，?PAE=?ACB，?APE=?CBE， ??BCE??PAE，=„? = =„? ( 同理:?CBF??QAF，?+?，得:?又?+=3， =6，AC=AB， +??ABC的边长 =( 故选C( 【点评】本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系( 11((2002?无锡)已知:四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是( ) ) A(1,MN,5 B(1,MN?5 C(,MN, D(,MN? 【分析】当AB?CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围( 【解答】解:连接BD，过M作MG?AB，连接NG( ?M是边AD的中点，AB=2，MG?AB， ?MG是?ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1; ?N是BC的中点，BG=GD，CD=3， ?NG是?BCD的中位线，NG=CD=×3=， 在?MNG中，由三角形三边关系可知NG,MG,MN,MG+NG，即,1,MN,+1， ?,MN,， 当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是,MN?( 故选D( 【点评】解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答( 二(填空题(共3小题) 12((2015?广州)如图，四边形ABCD中，?A=90?，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( ) 【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3( 【解答】解:?ED=EM，MF=FN， ? EF=DN， ?DN最大时，EF最大， ?N与B重合时DN最大， 此时 DN=DB= ?EF的最大值为3( 故答案为3( 【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键( 13((2013?鞍山)如图，D是?ABC内一点，BD?CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 =6， 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解( 【解答】解:?BD?CD，BD=4，CD=3， ) ? BC===5， ?E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ? EH=FG=AD，EF=GH=BC， ?四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又?AD=6， ?四边形EFGH的周长=6+5=11( 故答案为:11( 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键( 14((2013?宁波模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB?BC，AD?BC，EF为中位线，若AB=2b，EF=a，则阴影部分的面积 ab ( 【分析】根据阴影部分的面积等于?DEF和?CEF两个三角形的面积列式计算即可得解( 【解答】解:?AB?BC， ?AB为梯形ABCD的高， ?阴影部分的面积=S?DEF+S?CEF=EF?AB=×2b?a=ab( 故答案为:ab( 【点评】本题考查了梯形的中位线，直角梯形，三角形的面积，把阴影部分分成两个三角形的面求解是解题的关键( 三(解答题(共26小题) 15((2016?北京)如图，在四边形ABCD中，?ABC=90?，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN( ) (1)求证:BM=MN; (2)?BAD=60?，AC平分?BAD，AC=2，求BN的长( 【分析】(1)根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得 BM=AC，由此即可证明( (2)首先证明?BMN=90?，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题( 【解答】(1)证明:在?CAD中，?M、N分别是AC、CD的中点， ?MN?AD，MN=AD， 在RT?ABC中，?M是AC中点， ? BM=AC， ?AC=AD， ?MN=BM( (2)解:??BAD=60?，AC平分?BAD， ??BAC=?DAC=30?， 由(1)可知，BM=AC=AM=MC， BAM+?ABM=2?BAM=60?， ??BMC=? ?MN?AD， ??NMC=?DAC=30?， ??BMN=?BMC+?NMC=90?， ?BN2=BM2+MN2， 由(1)可知MN=BM=AC=1， ? BN= 【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾 股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考 题型( ) 16((2016?淄博)如图，已知?ABC，AD平分?BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME?AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F( (1)求证:AE=AF; (2)求证: BE=(AB+AC)( 【分析】(1)欲证明AE=AF，只要证明?AEF=?AFE即可( (2)作CG?EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题( 【解答】证明:(1)?DA平分?BAC， ??BAD=?CAD， ?AD?EM， AEF，?CAD=?AFE， ??BAD=? ??AEF=?AFE， ?AE=AF( (2)作CG?EM，交BA的延长线于G( ?EF?CG， ??G=?AEF，?ACG=?AFE， ??AEF=?AFE， ??G=?ACG， ?AG=AC， ?EM?CG， ?=，?BM=CM， ?BE=EG， ? BE=BG=(BA+AG) =(AB+AC)( ) 【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型( 17((2016?广东)如图，已知?ABC中，D为AB的中点( (1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE(保留作图痕迹，不要求写作法); (2)在(1)的条件下，若DE=4，求BC的长( 【分析】(1)作线段AC的垂直平分线即可( (2)根据三角形中位线定理即可解决( 【解答】解:(1)作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点( (2)?AD=DB，AE=EC， ?DE?BC，DE=BC， ?DE=4， ?BC=8( 【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型( ) 18((2016?长春模拟)如图，在?ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF=BC，连结CD、EF(求证:CD=EF( 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE?BC，DE=BC，然后求出四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明即可( 【解答】证明:?D、E分别是边AB、AC的中点， ?DE?BC，DE=BC， ? CF=BC， ?DE=CF， ?四边形DEFC是平行四边形， ?CD=EF( 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并确定出平行四边形是解题的关键( 19((2016春?莘县期中)如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点( (1)求证:四边形EFGH为平行四边形; (2)当AC、BD满足 AC=BD 时，四边形EFGH为菱形(当AC、BD满足 AC?BD 时，四边形EFGH为矩形(当AC、BD满足 AC=BD且AC?BD 时，四边形EFGH为正方形( ) 【分析】(1)连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH?BD且EH=BD，FG?BD且FG=BD，从而得到EH?FG且EH=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可; (2)连接AC，同理可得EF?AC且EF=AC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答( 【解答】(1)证明:如图，连接BD， ?E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ?EH是?ABD的中位线，FG是?BCD的中位线， ?EH?BD且EH=BD，FG?BD且FG=BD， ?EH?FG且EH=FG， ?四边形EFGH为平行四边形; (2)解:连接AC， 同理可得EF?AC且 EF=AC， 所以，AC=BD时，四边形EFGH为菱形; AC?BD时，四边形EFGH为矩形; AC=BD且AC?BD时，四边形EFGH为正方形( 故答案为:AC=BD;AC?BD;AC=BD且AC?BD( ) 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 一半，矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系，(1)作辅助线构造出三角形是解题的关键， (2)熟练掌握矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形是解题的关键( 20((2016春?滦县期中)?ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证:EF?DG，且EF=DG( 【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE?GF，且DE=GF=BC;然后由平行四边形的判定,,对边平行且相等的四边形是平行四边形，继而证得结论( 【解答】证明: 连接DE，FG， ?BD、CE是?ABC的中线， ?D，E是AB，AC边中点， ?DE?BC，DE=BC， 同理:FG?BC， FG=BC， ?DE?FG，DE=FG， ?四边形DEFG是平行四边形， ?EF?DG，EF=DG( ) 【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定(平行四边形的判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形;一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 21((2016春?姜堰区校级月考)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E(F分别是BC(AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则?BME=?CNE(不必证明) (温馨提示:在图(1)中，连接BD，取BD的中点H，连接HE(HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而?1=?2，再利用平行线的性质，可证明?BME=?CNE) (1)如图(2)，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E(F分别是BC(AD的中点，连接EF，分别交CD(BA于点M(N，判断?OMN的形状，请直接写出结论( AB，D点在AC上，AB=CD，E(F (2)如图(3)中，在?ABC中，AC, 分别是BC(AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若?EFC=60?，连接GD，判断?AGD形状并证明( 【分析】(1)作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状( (2)利用平行线和中位线定理，可以证得三角形?FAG是等边三角形，再进一 ) 步确定?FGD=?FDG=30?，进而求出?AGD=90?，故?AGD的形状可证( 【解答】解:(1)取AC中点P，连接PF，PE， 可知PE= PE?AB， ??PEF=?ANF， 同理PF= PF?CD， ??PFE=?CME， 又PE=PF， ??PFE=?PEF， ??OMN=?ONM， ??OMN为等腰三角形( ， ， (2)判断出?AGD是直角三角形( 证明:如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ?F是AD的中点， ?HF?AB， HF=AB， 同理，HE?CD， HE=CD， ?AB=CD ?HF=HE， ??HEF=?HFE， ??EFC=60?， ??HEF=60?， ??HEF=?HFE=60?， ??EHF是等边三角形， ??3=?EFC=?AFG=60?， ??AGF是等边三角形( ?AF=FD， ) ?GF=FD， ??FGD=?FDG=30? ??AGD=90? 即?AGD是直角三角形( 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形(此题结构精巧，考查范围广，综合性强( 22((2016春?梅河口市校级月考)如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点( (1)若AB=6，求PM的长; (2)若?PMN=20?，求?MPN的度数( 【分析】(1)由题意可知PM是?ADC的中位线，进而可求出MP的长; (2)易证?PMN是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出?MPN的度数( 【解答】解:(1)?AB=DC，AB=6， ?DC=6， ?点P是AC的中点，点M是AD的中点， ?PM=DC=×6=3; (2)?点P是AC的中点，点N是BC的中点， ?PN=BC， ?AB=DC， ?PM=PN， ) ??PNM=?PMN=20?， ??MPN=180?,?PMN,?PNM=140?( 【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键( 23((2015?福州校级模拟)如图，在?ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高( (1)若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为 20 ( (2)求证:?DHF=?DEF( 【分析】(1)由三角形面积公式可知:?BDE、?EFC的面积都等于?ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积( (2)首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得?DEF=?DAF，再利用三角形的中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，可得到?DAF=?DEF，即可证出?DHF=?DEF( 【解答】(1)解:?BC=10，AH=8， ?S?ABC=×8×10=40， ?点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， ??BDE、?EFC的面积都等于?ABC 面积的， ?四边形ADEF的面积=40,20=20， 故答案为:20; (2)证明: ?D、E、F分别是?ABC各边中点， ?DE?AC，EF?AB， ?四边形ADEF是平行四边形， ) ??DEF=?DAF， ?AH是?ABC的高 ??ABH、?ACH是直角三角形， ?点D、点F是斜边AB、AC中点， ?DH=DA，HF=AF， ??DAH=?DHA，?FAH=?FHA， ??DAH+?FAH=?FHA+?DHA， 即?DAF=?DHF， ??DEF=?DHF( 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线 定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明?DHF=?DAF与?DAF=?DEF( 24((2015?靖江市校级二模)在?ABC中，AD平分?BAC(BD?AD，垂足为D，过D作DE?AC，交AB于E( (1)求证:AE=DE; (2)若AB=8，求线段DE的长( 【分析】(1)欲证明AE=DE，只需推知?EAD=?EDA( (2)证明DE为直角?ABD斜边的中线，即可解决问题( 【解答】解:(1)?AD平分?BAC，DE?AC， ??EAD=?CAD，?EDA=?CAD， ??EAD=?EDA， ?AE=DE; (2)由(1)知，?EAD=?EDA( ?BD?AD， ) ??EBD+?EAD=?BDE+?EDA ??EBD=?BDE， ?DE=BE( 又由(1)知，DE=BE， ?DE=AB=×8=4( 【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题;灵活运用有关定理来分析、 判断是解题的关键( 25((2015?巴东县模拟)如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点( (1)求证:四边形EGFH是菱形; (2)若AB=，则当?ABC+?DCB=90?时，求四边形EGFH的面积( 【分析】(1)利用三角形中位线定理可以证得四边形EGFH是平行四边形;然后由菱形的判定定理进行解答( (2)根据平行线的性质可以证得?GFH=90?，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得( 【解答】(1)证明:?在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点， ?EG?AB， EG=AB，HF?AB，HF=AB， ) ?EG?HE，EG=HE， ?四边形EGFH是平行四边形( 又EH=CD，AB=CD， ?EG=EH， ?平行四边形EGFH是菱形; (2)解:?四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点， ?GF?DC，HF?AB( ??GFB=?DCB，?HFC=?ABC( ??HFC+?GFB=?ABC+?DCB=90?( ??GFH=90?( ?菱形EGFH是正方形( ? AB=， ?EG= AB=( ?正方形EGFH的面积=()2=( 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的 判定，理解三角形的中位线定理是关键( 26((2015春?临清市期中)已知如图:在?ABC中，AB、BC、CA的 中点分别是E、F、G，AD是高(求证:?EDG=?EFG( 【分析】先连接EG，作出三角形的中位线，利用中位线的性质求三角 形全等即?EFG??GDE即可( 【解答】证明:连接EG， ?E、F、G分别是AB、BC、CA的中点， ) ?EF为?ABC的中位线， EF=AC( (三角形的中位线等于第三边的一半) 又?AD?BC， ??ADC=90?，DG为直角?ADC斜边上的中线， ?DG=AC( (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ?DG=EF( 同理DE=FG，EG=GE， ??EFG??GDE(SSS)( ??EDG=?EFG( 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件( 27((2015春?宜春期末)如图，在四边形ABCD中，AC?BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长( 【分析】如图，取BC边的中点G，连接EG、FG(根据三角形中位线定理易求EG、FG的长度，并且?EGF=90?，所以在直角?EGF中，利用勾股定理来求EF的长度( 【解答】解:如图，取BC边的中点G，连接EG、FG( ?E，F分别为AB，CD的中点， ) ?EG是?ABC的中位线，FG是?BCD的中位线， ? EGAC， FGBD( 又BD=12，AC=16，AC?BD， ?EG=8，FG=6，EG?FG， ?在直角?EGF中，由用勾股定理，得 EF===10，即EF的长度是10( 【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理(根据已知条件推知?EGF是直角三角形是解题的关键( 28((2015秋?太康县期中)如图，M是?ABC的边BC的中点，AN平分?BAC，且BN?AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求?ABC的周长( 【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，(?ABN??AEN)，进而证明MN是中位线，从而求出CE的长( 【解答】解:延长线段BN交AC于E( ?AN平分?BAC， 在?ABN和?AEN中， ??ABN??AEN(ASA)， ?AE=AB=6，BN=NE， 又?M是?ABC的边BC的中点， ) ?CE=2MN=2×1.5=3， ??ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25( 【点评】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定(解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题( 29((2015春?泗洪县校级期中)如图，BE，CF是?ABC的角平分线， AN?BE于N，AM?CF于M，求证:MN?BC( 【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为?ABC的角平分线，BE?AG可知?BAN=?BGN故?ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AM=GN(同理AM=DM，根据三角形中位线定理即可得出结论( 【解答】证明:延长AN、AM分别交BC于点D、G( ?BE为?ABC的角平分线，BE?AG， ??BAG=?BGA， ??ABG为等腰三角形， ?BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN( 同理AM=DM， ?MN为?ADG的中位线， ?MN?BC( ) 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键( 30((2014?南京)如图，在?ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF?AB，交BC于点F( (1)求证:四边形DBFE是平行四边形; (2)当?ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形,为什么, 【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE?BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明; (2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明( 【解答】(1)证明:?D、E分别是AB、AC的中点， ?DE是?ABC的中位线， ?DE?BC， 又?EF?AB， ?四边形DBFE是平行四边形; (2)解:当AB=BC时，四边形DBFE是菱形( 理由如下:?D是AB的中点， ?BD=AB， ) ?DE是?ABC的中位线， ?DE=BC， ?AB=BC， ?BD=DE， 又?四边形DBFE是平行四边形， ?四边形DBFE是菱形( 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键( 31((2014?白银)D、E分别是不等边三角形ABC(即AB?BC?AC)的边AB、AC的中点(O是?ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E( (1)如图，当点O在?ABC的内部时，求证:四边形DGFE是平行四边形; (2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系,(直接写出答案，不需要说明理由() 【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE?BC且DE=BC，GF?BC且 GF=BC，从而得到DE?GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可; (2)根据邻边相等的平行四边形是菱形解答( 【解答】(1)证明:?D、E分别是AB、AC边的中点， ?DE?BC，且DE=BC， 同理，GF?BC，且 GF=BC， ) ?DE?GF且DE=GF， ?四边形DEFG是平行四边形; (2)解:当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形( 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键( 32((2014?宿迁)如图，在?ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高( (1)求证:四边形ADEF是平行四边形; (2)求证:?DHF=?DEF( 【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF?AB，DE?AC，再根据平行四边形的定义证明即可; (2)根据平行四边形的对角相等可得?DEF=?BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得?DAH=?DHA，?FAH=?FHA，然后求出?DHF=?BAC，等量代换即可得到?DHF=?DEF( 【解答】证明:(1)?点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ?DE、EF都是?ABC的中位线， DE?AC， ?EF?AB， ?四边形ADEF是平行四边形; (2)?四边形ADEF是平行四边形， ??DEF=?BAC， ?D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ) ?DH=AD，FH=AF， ??DAH=?DHA，?FAH=?FHA， ??DAH+?FAH=?BAC， ?DHA+?FHA=?DHF， ??DHF=?BAC， ??DHF=?DEF( 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键( 33((2014?鞍山一模)(1)如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则?BME=?CNE，求证:AB=CD((提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线) (2)如图2，在?ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，?OEC=60?，求OE的长度( 【分析】(1)连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH?AB，EH=AB，FH?CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD; (2)连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出?OEH是等边三角形，进而求出OE=( 【解答】(1)证明:连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH( ?E、F分别是BC、AD的中点， ?EH?AB， EH=AB，FH?CD，FH=CD， ??BME=?CNE， ?HE=HF， ) ?AB=CD; (2)解:连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH， ?AB=CD， ?HO=HE， ??HOE=?OEC， ??OEC=60?， ??HEO=?AGO=60?， ??OEH是等边三角形， ?AB=DC=5， ? OE=( 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度( 34((2014?山东模拟)如图，在?ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE?CD，垂足是E，F是CB的中点(求证:BD=2EF( 【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为?BCD的中位线( 【解答】证明:在?ACD中，因为AD=AC 且 AE?CD， 所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明: E为CD的中点，又因为F是CB的中点， 所以，EF?BD，且EF为?BCD的中位线， ) 因此 EF=BD，即BD=2EF( 【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理( 35((2014春?无锡期末)如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON( 求证:AC=BD( 【分析】取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，推出EH?AC，EH=AC，HF?BD，FH=BD，根据平行线性质求出?3=?2，?1=?4，根据OM=ON推出?4=?3=?1=?2，同理?EFH=?GFE=?1=?2，推出?4=?EFH，得出EH=HF即可( 【解答】证明: 取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH， 则EH?AC，EH=AC，HF?BD，FH=BD， ??3=?2，?1=?4， ?OM=ON， ??1=?2， ??4=?3=?1=?2， ) 同理?EFH=?GFE=?1=?2， ??4=?EFH， ?EH=HF， ?EH=AC，FH=BD， ?AC=BD( 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线的性质等知识点，关键是正确作辅助线后得出EH=HF，题目比较典型，有一定的难度( 36((2014春?张家港市校级期末)如图，点D、E是Rt?ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点( (1)求?FGH度数; (2)连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长( 【分析】(1)首先证明FG?DB，GH?EC，由平行线的性质可知?DBE=?FGE，?EHG=?AEG，从而可证明?FGH=90?; (2)连接FM、HM(首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可( 【解答】解:(1)?F、G、H分别是DE、BE、BC的中点， ?FG?DB，GH?EC( ??DBE=?FGE，?EHG=?AEG( ?FGH=?FGE+?EGH=?ABE+?BEA=180?,?A=180?,90?=90?( (2)如图所示:连接FM、HM( ) ?M、H分别是BC和DC的中点， ?MN?BD，MN= 同理:GF?BD， GF=( ( ?四边形FGHM为平行四边形( ?G、H、M分别是BE、BC、DC的中点， ?GH==3，， 由(1)可知:?FGH=90?， ?四边形FGHM为矩形( ??GHM=90?( ?GM==5( 【点评】本题主要考查的是三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、平行线的性质的综合应用，证得四边形FGHM是矩形是解题的关键( 37((2014春?太仓市期中)?ABC中E是AB的中点，CD平分?ACB，AD?CD与点D，求证:DE=(BC,AC) ( 【分析】延长AD交BC于F，证明AC=CF，DE是?ABF的中位线，即可求证( 【解答】解:延长AD交BC于F，说明AC=CF，DE是?ABF的中位线( ?CD平分?ACB，AD?CD， ??ACD=?BCD，CD是公共边，?ADC=?FDC=90?， ??ADC??FDC(ASA) ?AC=CF，AD=FD 又??ABC中E是AB的中点， ?DE是?ABF的中位线， ) ?DE=BF=(BC,CF) =(BC,AC)( 【点评】此题主要考查三角形的中位线定理，综合利用了三角形全等的知识，证出DE是?ABF的中位线是关键( 38((2013?永州)如图，M是?ABC的边BC的中点，AN平分?BAC，BN?AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 (1)求证:BN=DN; (2)求?ABC的周长( 【分析】(1)证明?ABN??ADN，即可得出结论; (2)先判断MN是?BDC的中位线，从而得出CD，由(1)可得AD=AB=10，从而计算周长即可( 【解答】(1)证明:在?ABN和?ADN中， ?， ??ABN??ADN(ASA)， ?BN=DN( (2)解:??ABN??ADN， ?AD=AB=10， 又?点M是BC中点， ) ?MN是?BDC的中位线， ?CD=2MN=6， 故?ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41( 【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形( 39((2013?涪城区校级自主招生)在?ABC中，?ACB=90?，AC= 底作等腰直角?BCD，E是CD的中点， 求证:AE?EB( (以BC为 【分析】要证明AE?BE，只要证明?AEB是直角即可，当?AEB=90?时，?AEC+?DEB=90?(又因为?DBE+?DEB=90?，那么要证明AE?EB，只要证明?AEC=?DBE即可(那么我们可通过构建全等三角形来实现(过E作EF?BC交BD于F，?DEF=?DCB=45?(根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么 EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现?ACE=?BFE=90?+45?=135?，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了(?AEC=?DBE( 【解答】证明:过E作EF?BC交BD于F( ??ACE=?ACB+?BCE=135?，?DFE=?DBC=45?， ??EFB=135?( 又 EF=BC，EF?BC，AC=BC， ?EF=AC，CE=FB( ??EFB??ACE( ??CEA=?DBE( 又??DBE+?DEB=90?， ) ??DEB+?CEA=90?( 故?AEB=90?( ?AE?EB( 【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段和角相等是解此类题的关键( 40((2012?孝感)我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形( 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH( (1)这个中点四边形EFGH的形状是 平行四边形 ; (2)请证明你的结论( 【分析】(1)根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形; (2)连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF?GH，继而可判断出四边形EFGH的形状; 【解答】解:(1)平行四边形( (2)证明:连接AC， ?E是AB的中点，F是BC的中点， ?EF?AC， EF=AC， ) 同理HG?AC， HG=AC， 综上可得:EF?HG，EF=HG， 故四边形EFGH是平行四边形( 【点评】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，本题 还可证明EF=HG，EH=FG，然后得出四边形EFGH是平行四边形，难度一般( )