关于反对称矩阵的一些问题 -毕业论文

关于反对称矩阵的一些问题 -毕业论文 【标题】关于反对称矩阵的一些问题 【作者】田辉琴 【关键词】矩阵 反对称矩阵 对称矩阵 次线反对称矩阵 实反次对称矩阵 【指导老师】罗颂 【专业】数学与应用数学 【正文】 1 引 言 反对称矩阵方面的研究在性质方面、计算方面、分解方面都有了一定的成果.研究反对称矩阵的各种形式是很重要的，文[1]给出了次线反对称矩阵的定义并讨论了它的性质，文[2]文[3]研究了反对称矩阵的分解问题，本文在次线反对称矩阵的定义及它的性质的基础上研究反对称矩阵的性质，还针对实反次对称矩阵进行讨论,给出了实反次对称矩阵的次特征值及次特征向量的性质，最后了反对称矩阵的几种分解方法。 2 反对称矩阵的性质 2(1 基本概念 定义1 设A是n阶矩阵，若有 ,则A为反对称矩阵;若 ,则A为对称矩阵。 定义2 设 ,若有 ，则A是关于次对角线反对称的矩阵，称为次线反对称矩阵。 2(2 反对称矩阵性质的一些基本定理及证明 定理1 反对称矩阵的主对角元素为零且 。 证明:设 ,则 ，而 所以 ，显然 时 即:主对角元素为零。 定理2 设A,B均为n阶反对称矩阵，则 也是反对称矩阵。 证明:仅证明 的情形 因为 ，所以 ，而A是反对称矩阵 所以 是反对称矩阵。 定理3 设A是n阶反对称矩阵，则 是对称矩阵。 证明:运用数学归纳法 当k=1时，令 , 则 又因为A是反对称矩阵，所以有 于是就有 所以有 ，由对称矩阵的定义知 是对称矩阵，所以k=1时结论成立。 假设k-1时成立，即 是对称矩阵，则对于k有 由对称矩阵的性质知 是对称矩阵。 由归纳法原理知结论普遍成立。 定理4 若 是n阶反对称矩阵，则当n为偶数时， 的伴随矩阵 是反对称矩阵， 中的元素 ; 当n为奇数时， 的伴随矩阵 是对称矩阵即 证明:当n为偶数时， 是偶数级的反对称矩阵，则 中的元素是奇数级的行列式。由反对称矩阵的性质知主对角元素为零，而且 的主对角元素仍然为零。 而 因为 是反对称矩阵，所以有 所以 于是可以看出 当n为偶数时 即得到n为偶数时 为反对称矩阵。 当为n奇数时有 即得到n为奇数时 为对称矩阵。 还可以这样证明: 所以有当n为偶数时 即 为反对称矩阵。 当为n奇数时 即 为对称矩阵。 举例如下: 例1: A是一个阶数为偶数的反对称矩阵，随便取A的伴随矩阵 的元素 和 ，于是 = 而 = 而 同理 所以有 即A的伴随矩阵 是反对称矩阵。 例2: A是一个阶数为奇数的反对称矩阵，任意取A的伴随矩阵 的元素 和 ，于是有 = 可以看出 于是 (n=4) 所以有 = 即A的伴随矩阵是对称矩阵。 推论 若A是n阶反对称矩阵，当n为奇数时 是对称矩阵，n为偶数时 是反对称矩阵。 证明:由定理4及 直接就可以得到这个结论。 反对称矩阵与次线反对称矩阵之间有着密切的关系，为了讨论方便，我们把形如 的矩阵记作 。 定理5 若 当 为次线反对称矩阵时， 为反对称矩阵;当 为反对称矩阵时， 为次线反对称矩阵。 证明:令 为次线反对称矩阵， 其中 其余为零，则 = = = 所以B为反对称矩阵 同理，若A是反对称矩阵，B为次线反对称矩阵。 推论 奇数级反对称矩阵的行列式为零。 证明:若A为奇数级反对称矩阵，由定理5知存在奇数阶次线反对称矩阵 所以 对称矩阵与反对称矩阵也有着密切的关系，根据定理3知反对称矩阵的平方是对称矩阵，另外还有如下关系: 定理6 任意一 矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 证明:对任意 有 令 则 显然 是对称矩阵， 是反对称矩阵。以上结论得以证明。 3 实反次对称矩阵的有关结论 3(1 相关的定义 定义1:设 阶矩阵 则称 阶矩阵 为矩阵 的次转置，记为 。 定义2: 设A为n阶方阵，若 ，则称A是次对称矩阵，若 ，则称A是反次对称矩阵. 定义3: 设n阶方阵A，若存在数 和非零向量X，使得 ，则称 为A 的次特征值， 为A属于 的次特征向量。其中 为(n)阶次单位矩阵即: 3(2 实反次对称矩阵的次特征值及次特征向量的性质 定理1 设A，B为反次对称矩阵，则 也是反次对称矩阵。 定理2 实反对称矩阵的特征值为共轭纯虚数或零。 定理3 设A为n阶实反对称矩阵，则必有正交矩阵Q使得 ，其中 是以A的特征值的虚部为次对角元素的次对角矩阵，即形如: 定理4 实反次对称矩阵的次特征值必为共轭虚数或零。 证明:设 且 ，即A为 阶反次对称矩阵，则 故 为实反对称矩阵，以 左乘式: 的两边有 即 从而A的次特征值就是 的特征值，由定理2得证。 定理 5 设A为 阶实反次对称矩阵，则必存在正交矩阵P使得 ，其中 为以A的次特征值的虚部为对角线上元素的对角矩阵。 证明:由定理4的证明可知 为实反对称矩阵，则由定理3得:存在正交阵Q，使得 即 用 左乘上式两边整理 得 从而 记 ，定理得证。 例:设A= ，求一个正交矩阵P使得 为对角矩阵。 解:由 ，得 为A的次特征值。 对 ，由 得次特征向 量 1 -1 1) 对 ,由 得 ( 1)，于是对 得 ， 令 ( 1) ， ( 0) ， 有 ， 由于 已正交，则 为所求的P，即 于是 . 定理 6 设 为n阶实反次对称矩阵A的两个相异次特征值， 为对应的次特征向量，那么: 1) 若 ，即 ，则 也为A的与 对应的次特征向量; 2) 若 ，则 与 正交。 证明:1)由已知得: 于是 即 亦即 由于 ，故 也为A的与 对应的次特征向量。 2)用 左乘 的两边: 而 又 所以 即 因 且 相异, 所以 故 与 正交。 4 反对称矩阵的几种分解 定理1 任意一 反对称矩阵都可以分解为一个矩阵与一个对称矩阵之差。 证明:由前面的反对称矩阵的性质中的定理6知 : 任意一 矩阵都可以分解为一个反对称矩阵与一个对称矩阵之和，显然反对称矩阵即可分解为一个矩阵与一个对称矩阵的差。 定理2 任意一个 反对称矩阵A，经行列变换后总可以分解为 其中 是胞块下三角阵，其对角胞块为 ; 为对角胞块阵 ， 是纯量。 证明略 定理3 设 是一反对称矩阵，则P可以分解为 ，其中H为对角矩阵，U为仅有元素0，1，-1的矩阵，V为将U中元素-1改为1后构成的矩阵。 证明:令 其中 其中 为对角阵。 令 ,由计算可得 当P为对称矩阵时，令 ，即得对称矩阵的一种特殊分解。 5(总结 本文根据次线反对称矩阵的性质一文把次线反对称矩阵改为反对称矩阵,经过验证次线反对称矩阵的有些性质对于反对称矩阵同样适用,比如:奇数级次线反对称矩阵的行列式为零,则奇数级反对称矩阵的行列式仍然为零,当然也有很多都不适用.验证得出了关于反对称矩阵以及次线反对称的定义以及几个基本性质，得出了反对称矩阵与对称矩阵之间的关系定理，同时还给出了反对称矩阵和次线反对称矩阵之间的关系定理;还对实反次对称矩阵进行了讨论得出了实反次对称矩阵的次特征值及次特征向量的性质;总结了反对称矩阵的几种分解。