向量组的秩和最大线性无关组

向量组的秩和最大线性无关组 引例:对于方程组 ?2x1?x2?x3??1? ?x1?22?2x3?1 ?x?3?3x??2 23?1 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到(或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合); 由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”(或者也可以说成等价有效)的最少的向量是2个。 因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”(或者也可以说成等价有效)的最少的向量应该有多少个呢,在此我们提出最大线性无关组的概念: 最大线性无关组:在?1,?2,?,?s中，存在?i1,?i2,?,?ip满足: (1)?i1,?i2,?,?ip线性无关; (2)在?i1,?i2,?,?ip中再添加一个向量就线性相关。 则称?i1,?i2,?,?ip是?1,?2,?,?s的一个最大线性无关组， 注: ?、不难看出条件(2)等价的说法还有?1,?2,?,?s中任一向量均可由 ?i1,?i2,?,?ip 线性示;或者亦可以说成?1,?2,?,?s中任意p?1个向量均线性 相关; ?、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的(即 有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的); ?、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成(因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和)，因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的; ?、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念: 向量组的秩:称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中?i1,?i2,?,?ip是?1,?2,?,?s的一个最大线性无关组，则称 ?1,?2,?,?s的秩为p，记为R(?1,?2,?,?s)?p。 1例:求向量组? ?4?(1,2,?1,3,1)T?(3,6,?4,2,1),?2?(?2,?4,3,1,0),?3?(?1,?2,1,2,3),TTT 的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无 关组表示。 分析:容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高 阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出: 定理:矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩. 略证:设A的秩为r，则在A中存在r阶子式Dr?0，从而Dr所在的r列 线性无关，又A中的所有的r?1阶子式Dr?1?0，因此A中的任意r?1个列向量 都线性相关，因此Dr所在的r列是A的列向量组的最大线性无关组，所以列向量组的秩等于r。 类似可证矩阵A的行向量组的秩等于r。 同时从证明的过程可以发现:若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大线性无关组;同时Dr所在的r行即是A的行向量组的一个最大线性无关组。 我们现在求解上面的问题，把上面的4个向量看成某矩阵A的4列进行求解。 解: ?3 ?6????4??2?1? ?2?4310 ?1?2123 1??1??26???1????4??3??2 ?31??? 0?431?2 3?212?1 1??1 ??20???1???0??3??0 ?01??? 01000 3?4100 1? ?1?0? ?0?0?? A???1,?2,?3,?4? 所以R(?1,?2,?3,?4)?R(A)?3， ?1,?2,?3是?1,?2,?3,?4的一个最大线性无关组。(当然易 见?1,?2,??1,?2,?3,?4的一个最大线性无关组) 4 亦是 为了把?4用?1,?2,?3线性表示，把A再变成行最简形矩阵 ?1 ?0?A??0 ??0?0? 01000 00100 1??1?0? ?0?0?? 易见?4 ??1??2 。 (初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的) 同时 可以验证上面的线性表示的结果是正确的。