求n阶实方阵的任意个模最大的特征值及其相应特征向量的规范化幂法

求n阶实方阵的任意个模最大的特征值及其相应特征向量的化幂法 求n阶实方阵的任意个模最大的特征值及 其相应特征向量的规范化幂法 第l7卷第6期 2001年12月 工科数学 JOURNAIOFMATHEMATICSFORTECHNOIOGY Vo1.17.,..6 Dec2001 求咒阶实方阵的任意个模最大的特征值 及其相应特征向量的规范化幂法 侯风波', (1.承德石油高等专科学校,承德067000 汪永高 2华北矿业高等专科学校,北京1016011 [摘要]本文蛤出井论证了当阶实方阵A具有r(1?r?)个模最大的特征值及其相应特征向量的 力法.实施规范化措施,使得行范数等于l,在电子计算机上不会产生溢出停机,这是一种有宴用价值的算法. [美键词]幂法;规范化;行范数;迭代 :中国分类号:()lj1.21[文献标识码:A[文章编号:1007—4120(2001)06004105 l前言 幂法是一种计算实方阵A的模最大的特征值的一种迭代方法 指出:应用迭代公式 +一AX 得出了足够多的向量以后,应当检查是否出现了以下3种情况: 1近似地等于乘以某一常数r; 2近似地等于乘以某一常数5; 3,…2是否线性相关. 它的最大特点是方法简单.文:1]中 只要出现上列任何一种情况,都可根据文:1]中的方法求出方阵A的一个或两个模最大的特征值 及其特征向量.文E23指出:当实方阵A的个特征值满足}一…一}}>一}?…?l,且一^: 一?一 ^时.用幂法可得到A的一个模最大的特征值和其对应的一个特征向量.如果方阵A的特征值 不满足以上几种情况.就得改用其它方法去求方阵A的模最大的特征值及其特征向量. 用幂法求方阵A的特征值时,往往会出现过大或过小的数值,容易溢出.为了避免不应有的溢出, 在计算迭代向量序列{}的每一步中.都用的行范数ll(为书写方便.文中将行范数1.1一律 将其转化为行范数等于1的向量.其迭代式为 简记为0)的倒数乘此向量, Iv一,<一f{f 一0.1,2.….(1) I.一A, 按(1)式求实方阵A的模最大的特征值的方法称为规范化幂法.本文挑实方阵A具有r(1?r? )个模最大的特征值时,给出了1种求A的全部模最大特征值及其相应特征向量的规范化幂法.这就进 一 步完善了求方阵A的模最大的特征值及其相应特征向量的幂法理论. 2定理 定理设阶实方阵A有个线性相关的特征向量?,n".n,且它们所对应的特征值^.,^. [收稿日期]1999—05—06 工科数学第17卷 … ,已按模的大小排列为 -一z_.-?一>?…?II.(2) 如果初始向量.一H.+nH+…+H的选择满足?n.…???o.则由迭代式(1)所得迭代序 列满足: 1当矗充分大时,一.一.线性相关; 2.若".为超定方程组 {一十nl^.l+…+LH+嘶^一0 的晟小二乘解,则A的r个模晟大的特征值.…,分别为一元r次方程 ++…++6,一0 的r个根,其中 6L—ll"l, 6:一I一.II... 6,一I+.1_一I… l一….…II? 3.A的对应于特征值的特征向量 = +?6 (3) (4) (5) 其中 b一一(+2+…+). b:一(一1):(l2一…l^+…+), b一(一1)(?3+l2{…一2一L), ……(5) . 一 (1)(t…,+…+…..一2…),I bL一(1)一(】…1T…^2…),l 一 (一1)…,J 即等于从特征根,.…,中每次取^个(不同的)一切可能乘积之和,若^是偶数则取正号. 若^为 奇数,则取负号. 3定理的证明 定埋分4步让明如: 第一步,假设迭代公式为 }一.k--0,l,2,…, 其中j一一H+H一…_-吼H为定理所设.所以有 一 A一-+z+…+砖%"一l-+:鲁jaz+' 令一奎J,则有 +…+:鲁j"+.J..l.J 等一nJ毗 叉据条件(2)得一0,故当^充分大时,有 等一-H-+等",+…+鲁J.…'.l^.』…l.』"""' (7) (8) 第5期侯风波等:求阶实方阵的任意个模最犬的特征值及其相应特征向量的规范 化幂法43 即当充分大时,有 {一n.?+…+.?. i..一目H..+:_.+…+^H砖... ?…???????…??????-?_???????????????? ?????…? 豆+,一n一啦砖+…+H嚣". 【9) +^.+…+^)一:+…+(一1)^-^2…靠一0.(10) 【b.一(+^一…一^.). 16一(1).(^.^!一…一-^.+…+一), lb一(1).(^.^:^一.^.^+…+一!一). < b一一(一1)..(^.+…+^…^), b一(1)}…^. 则有 .十+.+…+一0; 第二步,若迭代公式为(1),则有 =Y--A(xH/fff)一?--A%(ff一-『fff1."fff.), 由于--A,所以 一/(I.I?I…III). .一./(II?I1."I). _????????_???????????_…?????????…??? ??_??…??????_…?' 【+一./(I?扎一:1.??I). 当充分大时,幽(12)式中解出;,代人(11)式后,两边再同除以JJ一一,Jj一1.?'llJ得 一"J一1+"2+…+,一0, 其中 (6) (12) (3) L--b】/I一I. -- b:(I一11一), ??????????_…??????????…????……?????? ???'_…??? (13) d,一b./(.1."I一.11). n一/(1—l?l+.1.??l) 将(13)式变形即得定理中(4)式. 第三步,由,元r次方程根与系数的关系及(6)式,便知:A的特征值^-,^,…,^为一元 次方程 +:+.+…+一2^+一^+6一0 的"个根. 第四步,证明I中定理的第3条结论.即证A的对应于特征值的特征向量确为 +; 毒=_l1. 首先,对(6)式中的b,6:..…,b容易验证,其满足如下关系式 (--b.+一.)=^'一1,(14) 其中b.=1,由于 + + 卜 绥 直争 44I科数学第l7卷 =.+ 》J一…一. +6,l....T_二==__|I, 又由(3)式变形有 %奎…(16) 将(16)式代人(1j)式,并注意—l,得 . 一,,+Eb,_'r一1_Il 一 I+ 一 (+' 一 : 南+ —『_不 显然,?O,否则由文献E23:m,A的模最大的特征值低于r个,这与定理假设矛盾. 因此确为A的对府于特征佰,的特征向量. 4计算步骤 定理l中的算法,应按下述步骤宴现 第一步:输人方阵A: 第二步:按迭代公式{一靠.I扎il计算方阵A的迭代向量同时判断超定方程组f扎1L—A X+"l1l+…+d—J靠.1+?,一0 是否有满足精度要求的最小二乘解(即判断X一,n一",是否线性相关)?若是,则按式(4)计算出 …b…,6;否则,继续按迭代公式(1)求新迭代向量,并判断之,直至得到相邻的r个线性相关的迭代 向量后.再进行下一步; 第三步:解一元r次方程 ^+b_.+b,4-…+6.^0+6一0 得A的r个模最大的特征值^,^.,…,; 第四步:按式(5)计算A的对应于特征值^,的特征向量r(7=l,2,…,r). [参考文献 :1]张德荣王新民.高安民.计算方法与算法语言(2】[M2.北京高等教育出版社,l998,187l95. [2李庆扬.王能超,易大义.数值分析[M].武汉:华中理工大学出版社,1986,320—330 [31侯风渡.一种求方阵特征值的三按模幂法规范化方法33工科数学,1996,l2(2);42—4j. 243侯风渡.求阶实方阵A的垒部模最大的特征值及其相血特征向量的幂法【j]. 工科数学2000.16(2):5g一62 第5期侯风波等:求"阶实方阵的任意个模最大的特征值厦其相应特征向量的规范 化幂法45 StandardPowerMethodinEvaluatingAlltheMaximum ModulusEigenvaluesofSquareMatrixandAssociatedEigenvectors HOUFeng一17o, (1.ChengdePetroleumCo1]ege?HebeiChengde WANGYong—gao. 067000~2.NorthChinaMining.Beijing101601) Abstract:Thispapergivesandproves,whenaorderrealmatrixhasanyeigenvaluesofthett)axi tt)utt)modulus.the standardpowermethodevaluedallthe[Tlaxinlummoduluseigenvaluesandassociatedeigenveetors.Fhismethodhas widenedthepowermethod.|rhisisapracticalmethodinapp]ication. Keywords:power— method;moduls;standardization;rownoiTt~;dgenvalue;eigenveetoraiteration