22.2_.3一元二次方程的解法-
法
22.2.2一元二次方程的解法—公式法
教
学
案
华坛山中学 温纳新
2012年9月
22.2 .2一元二次方程的解法—公式法
华坛山中学 温纳新
教学目标:
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物广义
观点。
重点难点:
1、重点:掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程;
2、难点:对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
教学过程:
一、问题导入
1、用配方法解下列方程:
123120xx,,,2x,15,10x3 (1) (2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么,
用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评)(
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
2 (4)原方程变形为(x+m)=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解(
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢,
二、互动合作
2axbxca,,,,0(0)活动1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程配方呢? 教师引导学生用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成共识:
aa,0 因为,方程两边都除以,得
bc2xx,,,0aa
移项,得
bc2xx,,,aa
bbbc222 配方,得x+x+()=-+()a2aa2a
2bbac,42()x,,224aa 即
2bac,4
22bac,,40a,04a问题1:当,且时,大于等于零吗,
2bac,4,0222bac,,4040a,a,04a让学生思考、分析,得出结论:当时,因为,所以,从而。 问题2:在研究问题1和问题2中,你能得出什么结论,
2bac,,40 让学生讨论、交流,从中得出结论,当时,一般形式的一元二次方程
22bbac,4,,,bbac4x,,,x,2axbxca,,,,0(0)22aa2a的根为,即。
2axbxca,,,,0(0) 由以上研究的结果,得到了一元二次方程的求根公式:
2,,,bbac4x,22abac,,40 ()
acb 这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的,利用这个公式,我们可
acb以由一元二次方程中系数、、的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
2bac,,40思考:当时,方程有实数根吗,
活动2:
例1、解下列方程:
22 1、; 2、; 2x,x,1,0x,1.5,,3x
1223、; 4、4 x,3x,2,0x,2x,,02
教学要点:(1)对于方程(2),首先要把方程化为一般形式;
acb(2)强调确定、、值时,不要把它们的符号弄错;
2bac,4(3)先计算的值,再代入公式。
2xx,,,10例2、(补充)解方程
22bac,,,,,,,,,4(1)41130a,1b,,1c,1 解:这里,,,
因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。
让学生反思以上解题过程,归纳得出:
2bac,,40当时,方程有两个不相等的实数根;
2bac,,40当时,方程有两个相等的实数根;
2bac,,40当时,方程没有实数根。
三、展示交流
活动3
1、,37练习。
2、阅读,53“阅读与思考”。
四、巩固拓展
2m,2活动4:某
兴趣小组对关于x的方程(m+1)x+(m-2)x-1=0提出了下列问题(
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在,若存在,求出m并解此方程(
(2)若使方程为一元二次方程m是否存在,若存在,请求出(
你能解决这个问题吗,
2 分析:能((1)要使它为一元二次方程,必须满足m+1=2,同时还要满足(m+1)?0(
(2)要使它为一元一次方程,必须满足:
22,,m,,10m,,11m,,10,?或?或? ,,,m,,20m,,20(1)(2)0mm,,,,,,,
2 解:(1)存在(根据题意,得:m+1=2
2 m=1 m=?1
当m=1时,m+1=1+1=2?0
当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)
2 ?当m=1时,方程为2x-1-x=0
a=2,b=-1,c=-1
22 b-4ac=(-1)-4×2×(-1)=1+8=9
,,,,(1)913, x= 224,
1 x=,x=- 122
1 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x=1,x=-( 12222 (2)存在(根据题意,得:?m+1=1,m=0,m=0
因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1?0
所以m=0满足题意(
2 ?当m+1=0,m不存在(
?当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3?0
所以m=-1也满足题意(
当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
解得:x=-1
当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
1 解得x=-
3
因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当
1m=-•1时,其一元一次方程的根为x=-(
3
五、归纳小结:
活动5:根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法,通常你是如
何选择的,和同学交流一下。
六、布置作业:数学作业本第6页22.2.2公式法