2.3一元二次方程的应用教案

2.3一元二次方程的应用 2,3一元二次方程的应用,1,教案 一、教材 1、教材地位和作用 本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。 2、教学目标 数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求， 本课时教学目标制定如下: 知识目标:会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题; 能力目标:联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力; 情感目标:结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦. 3、教学重点和难点 由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所 以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。要列出一元二次方程的关键是找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。 二、教学方法与手段: 本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。根据教材内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生的积极性和主动性。 三、学法指导: “素质教育”要求学生由“学会”转为“会学”，正确的学法指导是实现这一转化的重要手段，根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导新课程的自主探究、合作交流的学习方法。通过创设丰富的实际背景，使数学回到生活，鼓励学生积极思考，勇于钻研，敢于创新，产生强烈的求知欲。 四、教学程序: 1.创设情境，提出问题 创设学生感兴趣的问题情境，使学生能够置身于问题情境中，在生动活 泼的环境下积极思考，解决问题: 古时候，一个农夫拿者一根竹竿进城，可是竖着拿，竹竿比城门高3尺，横 着拿，竹竿比城门宽6尺，进不去，结果沿着城门的两个对角斜着拿，刚好进 去，聪明的同学，你知道竹竿有多长吗, 为了让学生能更清楚地理解题意，创设了以下几个阶梯性小问题: 设竹竿为x尺，则(1)城门高________尺; (2)城门宽________尺; (3)城门的高、宽、两个对角之间的长度满足什么关系, 通过引例，引导学生回顾总结列方程解应用题的基本步骤，在新旧知识之 间 构建桥梁，让学生明确应用方程、不等式或函数解决实际应用问题时关键 是以下三个步骤:?设元;?用字母表示相关的量;?列关系式 2.例练应用，解决问题 列一元二次方程解应用题在现实生活中有着广泛的应用，学生普遍认 为列方程解应用题难，其原因之一是题目阅读量大，数量多，关系比较复 杂且隐蔽，所以在教学时首先应让学生消除畏难情绪，说明题目的一部分 是背景材料，最后的一部分往往和设元有关，核心部分就是数量之间的关 系。 接着出示例1: 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株 盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株? 为了让学生能比较清楚地理解题目中的数量关系，设置以下问题: (1)若每盆增加1株，此时每盆花苗有(3+____)株，平均单株盈利为(3,0.5×____)元 (2)若每盆增加2株，此时每盆花苗有(3+____)株，平均单株盈利为(3,0.5×____)元 (3)若每盆增加x株，此时每盆花苗有(3+____)株，平均单株盈利为(3,0.5×____)元 (4)每盆盈利=____________×________________ 然后引导学生完成例1 为了开阔学生的思路，遇到问题能举一反三、触类旁通，又将例1进行适当改编，组织学生以学习小组为单位，分组合作、交流讨论: 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加2株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到11元,每盆应该植多少株? 设置以下问题: (1)若每盆增加2株，此时每盆花苗有(3+___)株，平均单株盈利为(3,0.5×___)元 (2)若每盆增加4株，此时每盆花苗有(3+___)株，平均单株盈利为(3,0.5×___)元 (3)若每盆增加x株，此时每盆花苗有(3+___)株，平均单株盈利为(3,0.5×___)元 为了及时巩固知识，促使学生对知识的理解，在例1的基础上改变问题的实际背景，出示如下练习: 春节期间，杭州某旅行社为吸引市民组团去风景区旅游，推出如下收费: 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元;如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游, 通过例1、练习几个不同背景却同一模型的问题学习，使学生掌握了怎 样列一元二次方程解决生活中这一类问题，知识结构的形成不是依赖于教 师的概括、抽象、灌输，不是“回忆”教师的解题套路，而是依靠学生感 性认识的积累，让学生自己去分析，从而变“学会”为“会学”，使学生 真正成为学习的主人，而不是知识的奴隶。通过对比，学生对于列方程解 应用题的一般步骤中的“检验”也有了更深刻的理解，同时让学生感受到知 识源于实践又作用于实践，体验到了数学的价值，同时也突出了课题的重 点。 沿着数学知识结构的逐步攀升，引导学生搜索现实生活中与增长率有关的 问题，并设置了下列问题，引起学生的积极思维: (1)春节过后，许多服装都降价处理，一件皮衣原售价2000元，第一次下降10%，下降后售价__________________元，由于天气逐渐转暖，为了减少库存，第二次又下降了20%，此时售价_________________________ 元。(只需写出算式) (2)近几年，丽水的社会经济发展迅速，据抽样调查统计显示，2000年城镇居民可支配收入为a元，以后逐年上升，每年增长的百分率约为8%，那么 2001年城镇居民可支配收入为 _________________元; 2002年城镇居民可支配收入为__________________元; 2003年城镇居民可支配收入为__________________元; „„ 2010年城镇居民可支配收入为__________________元; 经过n年后城镇居民可支配收入为__________________元; (给出原始量、增长率(降低率)、变化次数、后来量之间的关系，让学生自己归纳并给出公式，只有他们自己发现的才是最有用的，也让学生体验成功的喜悦，进一步激发学习兴趣) (3)某药品原售价10元/盒，经两次降价后为5元/盒，已知两次降低的百分率一样都为x，则可列方程得_____________( 学生的错误可能会是:10(1,2x)=5 ) 上述三个问题分别从数、式、方程三个不同的方面对增长率(降低率)进 行了理解，也使学生明确了要解决增长率(降低率)问题，必须弄清楚基准，第二个问题中得出的一般式为高中的后继学习作好准备。 有了上述三个问题作铺垫，接着讲解例 2， 截止到2000年12月31日，我国的上网计算 机总数为892万台;截止到2002年12月31日， 我国的上网计算机总数以达2083万台. (1)求2000年12月31日至2002年12月 31日我国的上网计算机台数的年平均增长率(精 确到0.1%). (2)上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率与 2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大, 确定例2是本节的一个教学难点，是因为 (1)对题意理解的困难。需将实际问题数学化，这是数学建模思想的体现; 2)信息转化的困难。要将统计图的信息转化为数量，(这是数形结合的思想; (3)关系式确定的困难。要正确理解年平均增长率的含义。 (4)解方程的困难。本例的方程用直接开平方法解才是最简便易行的。 基于上述原因，本例采用低起点、小步子的办法分散难点，问题由易到难，循序渐进，学生就比较容易理解，例2(1)设置以下问题: (1)若设年平均增长率为x,你能用含x的代数式表示2001年的台数吗?2002年呢, (2)已知2002年的台数是多少? (3)据此,你能列出方程吗? 例2(2)让学生思考: (1)已知哪段时间的年平均增长率? (2)需要求哪个时间段的年平均增长率? 师生共同完成例2，进一步突出课题重点，深层次激发学生的学习积极性。 五、设计说明: 列方程解应用题是初中数学的一大难点，关键是通过问题情境建立模型，然后在问题的广度、深度上下工夫。本节课我首先创设学生感兴趣的问题情 法。例1是典型境，激发学生学习积极性，引出用方程解决问题的基本思想和方的市场营销问题，我通过三个不同背景却同一模型的例子(即多题一解)让学生学会如何分析、解决这一类问题;对于例2的处理，我首先设置相对简单的、学生能解决的问题，然后由浅入深，逐步深入，从数、式、方程三个不同层面让学生理解了增长率(降低率)问题，达到教学目的。