两个正整数互质的概率。

两个正整数互质的概率。 任取两个正整数～它们互素的概率为6/π? 6题 构造适当的概率模型证明:从正整数中随机地取两个数，它们互素的概率为 。 2, p,p,p,？p,2p,3p,5证 设 是从小到大排列的全体素数，即 ，，，„ 。 121233 1p从正整数中任意取一个数，它能被某一素数 整除的概率为 。 ipi pp从正整数中任意取两个数，它们同时都能被素数 整除、即它们有素数公因子 ii 1111p的概率为 ，因此，它们没有素数公因子 的概率为 。 ,,,1i22ppppiiii 所以，任取两个正整数，它们没有任何素数公因子、即这两个正整数互素的概率为 ,,,111,,1,, ,,2,,,,1p,,,111i1i,,,,？，，，，1,,246,,1,i1pppi1,iii,,1,2pi 1, 11111111(1，，，？)(1，，，？)(1，，，？)(1，，，？)？2424242422335577 1, 1111111111，，，，，，，，，，？2242222642223252372325,, 1, 1111111111，，，，，，，，，，？2222222222345678910 1160.60792710？,,,? 。 ,221,,,2n6n,1 2是6/π 。这里π就是圆周率3.1415926........ 解: 设任意两个自然数为a、b，它们互素的概率为p，设一自然数k，则k为a、b2的公因子的概率为1/k (即a、b同时是k的倍数的概率)。 令a=m*k ，b=n*k ，则“m、n互素”的充分必要条件为“k是a、b的最大公因子”。由于在k是a、b的公因子的前提下，m、n也等价于两个任意自然数，所 以它们互素的概率也为p，即在k是a、b公因子的前提下，k是a、b最大公因 子的概率为p。由于k不是a、b公因子的情况下，k是最大公因子的概率为零。 所以k是a、b最大公因子的总概率就为P{k是a、b公因子}*P{k是a、b最大2公因子|k是a、b公因子}=p/k 。 2对于k取全部自然数，上述概率之和为必然概率1。所以有1=Σ(p/k ) ，k=1，222，3......，上式右端为p*π /6，所以求得p=6/π 。