椭圆周长公式的推导

椭圆周长 椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。 在平面坐标系内 椭圆的标准方程为 ， 参数方程为 当时，椭圆图像为 微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。 若某条光滑曲线，能用参数方程表示 ， 当时，该段曲线的长度可表示为 下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则 ………………… 其中，椭圆的离心率。 这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公式把展开。 …… 当时，可得 在此式中令可得 …………… 其中 把式代入式周长L的计算试中后，那个复杂的定积分便能迎刃而解了，所以 …………… 这个式子还是很复杂，需要把中括号部分进行化简变换一下。先求出 ……………… 把式代入式，周长L就能很快得出来了。于是     这就是椭圆周长的公式，既著名的“项名达公式”，相当的复杂，这应该是最精确的了，另外还有很多的近似公式，不过误差太大，但可以满足工程上的应用。现在科技如此发达，有一些数学软件可以计算出椭圆周长，而且结果相当的准确。计算原理就是定积分的应用，但这个积分不容易求出来，需要有一定的数学能力，有一定的耐心，以及对泰勒公式的应用要求较高。对周长级数形式L进行展开得 …………… 其中为半长轴，为椭圆的离心率。 例如,当椭圆方程为时，，， 则周长为 另外有些近似公式作的也很好，例如 其实它是根据式近似计算来的，计算精度还行，推导过程有点复杂。 椭圆周长的计算方法有很多，这只是其中一种而已，但得到的结果都不“完美”，任然需要科学爱好者努力攻克这个小小的问题。 当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值， 这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。