散射截面及核阻止本领

散射截面及核阻止本领 第三章 散射截面及核阻止本领 在上一章我们采用经典动力学的描述了二体弹性碰撞过程和散射过程。可以看出，一旦确定了固体中原子之间的相互作用势及入射粒子的能量，原则上说就可以计算出在单个碰撞事件中入射粒子传给靶原子的能量。然而，我们在描述二体散射时曾引入了碰撞参数这个物理量，见方程(2.2-6)，这是一个随机量。人们无法精确地确定带电粒子在固体p 中发生的单个碰撞事件，而只能给出发生这个碰撞事件的几率。同时，在等离子体表面改性及合成新型薄膜材料工艺中，将有大量的带电粒子同时辐照到固体的表面。实验上也不可能确定单个入射粒子在固体中的碰撞过程以及测量在每次碰撞中的能量损失。因此，有必要对带电粒子在固体中的碰撞过程进行统计性的描述。 本章首先引入微分散射截面的概念，它是描述一个入射粒子散射到单位空间立体角d,,2,sin,d,中的几率，并在小角散射近似条件下给出微分散射截面的约化表示式。cc 其次，借助于这种微分散射截面，我们确定带电粒子在固体中穿行单位长度内用于靶原子核反冲运动所损失的能量，即核阻止本领。 3.1 微分散射截面 在研究带电粒子与固体相互作用过程时，通常引入微分散射截面这个概念来描述入射粒子散射进单位空间立体角中的粒子数。如图3.1所示，设所有入射粒子穿过一个半径为、p ,，d,,dp宽度为的圆环，散射到从到的角度间隔内。那么散射截面的定义为 ccc d,,2,pdp (3.1-1) ,它具有面积的量纲。由上一章的 (2.2-6) 可以看出，散射角是碰撞参数的函数，反过pc ,,来我们也可以认为碰撞参数是散射角的函数，即=()。这样散射截面又可以表pppcc 示成 ,,pdp()()cc, d,d, (3.1-2) ,,dsincc d,d,就是所谓的微分散射截面。在 (3.1-2) 式中我们使用了的绝对值，主要是dpd,c d,为了保证散射截面的值为正的缘故，因为当碰撞参数的值减小时，散射角的值则p,c增加。 图3.1 微分散射截面示意图 可见微分散射截面是直接与散射角相关的。原则上讲，可以由方程 (2.2-6) 确定出碰撞 ,参数与散射角之间的关系。但对于一般形式的相互作用势，必须通过数值求解才可以pc 2得到这种关系。对库仑势，碰撞参数与散射角之间的关系已由上一章中的 V(r),ZZer12 (2.2-8) 给出。那么利用方程(3.1-2)很容易得到微分散射截面为: 22,,,ZZed112,,, (3.1-3) 4,,dE,4sin(,2)cc,, 这就是所谓的Rutherford 微分散射截面。显然，这种微分散射截面随散射角的增加而减小， 2,,0且在处发散。对于反比平方势(其中C为常数)，可以得到碰撞参数与V(r),Crc 散射角之间的关系为 ,,,,(,)dCc, (3.1-4) 22dE,,(2,,,)sin,cccc 同库仑势一样，由这种相互作用势得到的微分散射截面在处也发散。 ,,0c (3.1-2)式给出的是散射截面随散射角的变化关系，即这种散射截面是一种角散射截面。在某些情况下，给出散射截面随入射粒子能量损失(即反冲粒子的能量)的变化关系也是 Em很重要的。在第二章的讨论中我们已经知道:一个初始能量为、质量为的入射粒子01 m在与一个质量为的静止靶原子碰撞时，其能量损失为 2 ,T,,2cmax (3.1-5) ,sin,(1,cos,)TT,,maxc22,, 4mm12T,E其中为反冲原子获得的最大能量。利用(3.1-5)式，则由(3.1-2)给出max02(m，m)12 的散射截面可以写成 ,,,,()d44pdpc,() dT,dT,dT (3.1-6) sin,,Td,Tdmaxmaxcc 这个表示式是很重要的，因为一旦我们知道了微分散射截面随散射角的变化关系，利用该式就可以求出它随反冲粒子能量变化的关系。 3.2 小角散射近似 由上节的讨论可以看出:要计算微分散射截面，关键问是对于给定的相互作用势 ,V(r)，如何找出散射角与碰撞参数之间的解析关系。在一般情况下，很难得到这种解pc 析关系。然而对于小角散射过程，可以使散射角的计算大大地简化。 根据牛顿力学，我们可以将有心力相互作用的二体运动约化为单体运动。入射粒子相对散射粒子的运动方程为 ,dV(r)du ,, (3.2-1) ,,dtdr ,,,,其中 为约化能量，见(2.2-1)式;是相对速度，在初始时，有， 是入射粒u,vu,v00 ,子的初始速度。将方程(3.2-1)沿垂直于的方向(即横向方向)投影，见图3.2，可 v0 以得到 dudV(r), (3.2-2) ,,,dtdp u,,1其中为相对速度的垂直分量。在小角散射情况下，即，我们可以做如下近似: ,c ,,z uc0 r p o 图3.2 小角散射示意图 222，，。这样由方程(3.2-2)可以得到散,t,,zu,,zvu,u,,v,r,p，z||0,c0c 射角为 ,1,22,,,dzV(p，z) (3.2-3) c,,,2E,pc 2其中为质心的动能。方程(3.2-3)通常被称为小角散射近似下的散射积分。 E,,v/2c0 2ZZe12,(r/a)设相互作用势可以表示成为屏蔽的库仑势，即 ，其中V(r),,(ra)r为屏蔽函数，为屏蔽长度。这样(3.2-3)式可以约化成 a a (3.2-4) ,,,g(p/a)cp Eacg(p/a)p/a其中,,为无量纲的能量，仅是宗变量的函数， 2ZZe12 ,/2，，,,ppp,,,,,,,,g(p/a)dcos' (3.2-5) ,,,,,,,,,0acos,aacos,,,,,，， p(acos,)其中,' 表示屏蔽函数对宗变量的求导。很显然，对于无屏蔽的库仑势，即 , g(p/a),1,,1，有。这时散射角与碰撞参数的关系为 ,,,a/p (3.2-6) c 如果对上章中的(2.2-8)式做关于散射角的泰勒展开，并保留到一阶小量，也可以得到类似于(3.2-6)式的结果。 现在我们设屏蔽函数可以写成如下形式 s,1ka,,s (3.2-7) ra,(/),,,sr,, ss,1,2,3,？k其中，是屏蔽长度。这样的屏蔽库仑势可以写成，其中常V(r),Crass 2s,1数，这就是(2.3-2)式所给出的负幂指数势。将这种形式的屏蔽函C,ZZeksas12s 数代入(3.2-5)式并完成积分，可以得到如下关系 s (3.2-8) ,,,k,(ap)css 1/2,/211，113,1sss,,,,,,,,s,cos,1，,,,,,,,d,(s)其中为常数，为伽玛,,,,,,,,s,022222s,,,,,,,,函数。 我们是在小角散射近似条件下得到(3.2-8)式的。为了考虑大角散射情况，我们可以 222引入所谓的“大角外推”方法。很显然，如果我们用代替，则散射截面p，pp0 222=的值保持不变，其中为常数。实际上，这种替换意味d,,2,pdp,,dpp,d(p，p)00 221/2~着有效碰撞参数 变大，这样可以产生大角散射。因此我们在计算散射截p,(p，p)0 ~p面时，可以进行如下“大角外推用”:即将(3.2-8)式中的和分别用和p2sin(,/2),cc 来代替，这样可以得到如下关系 2/s22222,1/s (3.2-9) ，，p，p,ak,2[,sin(,/2)]0ssc 1/sp,,,p,0对于对头碰撞，应有，，这样由上式可以确定出常数为 。 ，，ak,2,c0ss ,在上面我们使用负幂指数势得到了碰撞参数随散射角变化的解析表达式。对于一pc 2ZZe12般形式的相互作用势V(r),,(r/a)，根据(3.2-4)式，在进行大角外推后，散r ,射角与碰撞参数之间的关系为 pc 1/2222,,,,pp，1a0,,,, sin(/2),g (3.2-10) ,,c222,,,,2ppa，0,,,, 222,,虽然对于一般形式的相互作用势，我们得不到函数g(pp)a的解析表达式，但根，,,0,, 22,sin(,/2)据(3.2-5)式和方程(3.2-10)，可以采用数值计算的方法列出与的一p，pc0一对应的数值关系，即 222 (3.2-11) p，p,aG[,sin(,/2)]0c G[,sin(,2)],sin(,/2)其中函数仅是变量的函数。 cc 4.3 约化散射截面 如上节所示，我们采用小角散射近似和大角外推的方法，可以简化散射角的计算，直 22,sin(,/2)接给出了与 的函数关系，进而可以计算散射截面。在一般的情况下，p，pc0 mEZZm散射截面是入射粒子的特征参量( ，，)、靶原子的特征参量(，)及散11022,射角的函数，即。为了进一步简化散射截面的计算，d,,f(Z，Z，E，m，m，,)c12012c Lindhard，Nielsen和Scharff 引入了一个约化变量 ,,,222c t,,sin,,T/T (3.3-1) ,,max2,, 22这样，可以将散射截面写成如下形式 d,,,d(p，p)0 1/2()ft2() d,t,,,adt (3.3-2) 3/22t 1/21/2t其中仅是约化变量的函数。对于负幂指数势，由(3.2-9)式可以得到 f(t) 2mk,,,,1/21/212mmm (3.3-3) (),(),,2,,fttm,,2,, 1/2(m,1/s)。而对于一般形式的相互作用势，由(3.2-11)式可以发现函数的形式为 f(t) 1/21/2, (3.3-4) f(t),,tG(t) 1/2,tG其中表示对宗量的求导。 ,(r/a) 剩下的问题是:对于给定的一般形式的屏蔽函数，如何通过数值方法给出函 1/2数的具体形式。采用Thomas-Fermi模型下的几种形式的屏蔽函数，Winterbon 、f(t) 1/2Sigmund及 Sander等人给出了的数值拟合形式为 f(t) ,1/q1/21/2,m1,mq,,f(t),,t1，(2,t) (3.3-5) 其中，及均为常数，对于不同形式的屏蔽函数，它们的取值不同，如表3.1所示。可,qm 1/21/2(1,2m)以看出当较小时，(3.3-4)式可以近似地表示成，这与用负幂指数势tf(t),,(t) 得到的结果(3.3-5)相同。从图3.3 可以看出:在取较大值时，由Sommerfeld 近似、t Lenz,Jensen近似及Moliere近似给出的结果趋于一致;而当t,1时，三种近似给出的结果 差别较大。 表3.1 参数 、及的值 ,qm ,(r/a) ,qm Sommerfeld 0.331 0.588 1.70 Lenz-Jensen 0.191 0.512 2.92 Moliere 0.216 0.530 3.07 0.6 Moliere Lenz-Jensen Sommerfold0.4 )1/2 f(t 0.2 0.0-3-2-1012 10 10 10 10 1010 1/2 t 1/2 图3.3 函数随无量纲变量的变化情况 tf(t) 1/2 Kalbitzer等人(987年)给出了形式与(3.3-5)形式相同的函数，但参数，qf(t)m m,0.25,q,0.475及的取值分别为和,,2.5。用具有这种参数的散射截面算得结果, (离子的射程)与实验结果符合得较好。 3.4 核阻止本领 在第一章里我们已经提到:当一个载能粒子在固体中穿行时，其能量损失可以分为两 (,dE/dx)部分，一部分是用于靶原子核做反冲运动的能量，可以用核阻止本领来表示;n (,dE/dx)另一部分是用来激发或电离靶原子核外电子的能量，可以用电子阻止本领来表e示。通常可以近似地认为这两种能量损失过程是独立的，即入射粒子在单位路径上的总能量损失(即总阻止本领)为 (,dE/dx),(,dE/dx)，(,dE/dx) (3.4-1) ne 对于核碰撞过程，入射粒子的能量损失是不连续的，而且其运动轨迹具有明显的角偏转，由此可以造成原子的移位运动;而对于电子的激发或电离过程，入射粒子的能量损失是连 续的，几乎不会引起入射粒子的角偏转。随着入射粒子能量的不同，两种能量损失机制显示出的重要性是不同的。一般地，在低能情况下，核阻止本领是主要的;而在高能情况下，电子阻止本领是主要的。本节将介绍核阻止本领的计算，关于电子阻止本领的计算将在以后章节中讨论。 E 我们考虑一能量为的入射粒子(离子或反冲原子)在原子密度为的固体中穿行。N0 由上章的讨论可以知道，入射粒子同靶原子核每发生一次碰撞，其能量损失为 22，其中为传输的最大能量。那么，当该粒T,Tsin(,/2)T,4mmE(m，m)maxcmax12012 子在固体中穿行长度为,x时，其能量损失应为 Tmax(,,E),N,xTd,(T) (3.4-2) ,n0 d,(T)其中散射截面的表示式已在上节给出。当,x很小时，即可以得到核阻止本领的表示式 Tmax(,dE/dx),NTd,(T),NS(E) (3.4-3) ,nn00 2S(E)其中被称为核阻止截面。利用约化变量及散射截面的一般表示式t,,T/Tn0max S(E)(3.3-2)，可以将阻止截面写成 n0 2 (3.4-4) S(E),(,aT,)S(,)nmaxn 其中 211,,1/21/2 (3.4-5) S(,),f(t)dt,f(,)d,,,n00,, 为约化的核阻止截面。如果采用 Lindhard形式的屏蔽长度，见(2.3-15)式，又可以将(3.4-4)式表示成 15,8.462，10ZZ212 (3.4-6) S(E),S(,)[eV,cm/atom]nn01/21/22/3(1，m/m)(Z，Z)2112 a如果采用普适屏蔽长度，见 (2.3-23)式，则有可以将(3.4-4)式表示成 U 15,8.462，10ZZ212 (3.4-7) S(E),S(,)[eV,cm/atom]nn00.230.23(1，m/m)(Z，Z)2112 S(,)可以看出:约化核阻止截面不显含入射粒子的质量和原子序数、靶原子质量和原子序n 数及固体的原子密度，它仅是无量纲的约化能量的函数，具有普适性，这可以大大地简, S(E)S(,)化计算阻止截面的计算。在实际计算中，可以预先计算出约化核阻止截面随n0n无量纲能量的变化关系，对于具体的入射粒子-靶原子的结合，仅需改变(3.4-6)式前面的, 系数就可以了。 对于负幂指数势的散射截面(3.3-3)式，很容易由(3.4-5)式得到约化核阻止截面为 ,1,2mm S(), (3.4-8) ,,n2(1,m) m,1/2可以看出:当时，对应于反比平方势，约化阻止截面随的增加而变大;当m,1/2, m,1/2时，约化阻止截面为常数;当时，约化阻止截面随的增加而变小。对于Moliere, 1/2势、Lenz,Jensen势和Sommerfeld势，将(3.3-5)式给出的散射函数代入(3.4-5)f(t)式并采用数值积分的方法，可以给出约化核阻止截面随的变化关系，如图3.4所示。可以, (,,10)看出:在高能情况下，由上述三种势给出的约化核阻止截面的值基本上是趋于一致 (,,10)的;而在中等能量范围以下，它们给出的结果差别较大。 0.5 Moliere Lenz-Jensen0.4Sommerfeld 0.3 (,，nS0.2 0.1 0.0 -3-2-1012 10 10 10 10 1010 , MoliereLenz,JensenSommerfeld 图3.4 势、势和势给出的约化核阻 止截面与约化能量的关系。 Ziegler(ZBL) 利用普适势(2.3-2)及“散射三角法”，，及(1985)BiersackLittmark在较大的约化能量范围内，获得了较精确的核阻止截面。在ZBL的计算中， 约化核阻止截面的表示式为 ,22S(,),,sin(,2)dB (3.4-9) ,nc0 B,p/aa其中是约化的碰撞参数，是普适屏蔽长度，由(2.3-3)式给出。利用普适屏UU relgeZi蔽函数(2.3-2)式及第三章给出的散射三角公式(3.4-7)，等人完成了(3.4-9)式的数值积分，并给出了如下拟合公式 ,0.5ln(1，1.1383),,(,30),0.212260.5,,,，0.0132，0.19593,,S(),,n (3.4-10) ,ln(),,(,30),2,, (,,30)在高能情况下，上式给出的约化核阻止截面即为所谓的无屏蔽的Rutherfold核阻止截面。 Kalbizter等人曾根据大量的实验结果提出了一个简单的经验公式，其形式为 ,,,,1.593(,0.01), ,,ln(，2.718281),,,,(),1.7(0.01,,10) (3.4-11) S,n1.5,,1，6.8，3.4, ,,ln(0.47),(,,10),2,, 图3.5显示了由ZBL公式(3.4-10)和(3.4-11)式算得的约化核阻止截面，并与用Moliere势算得的结果进行了比较。可以发现:在高能情况下，ZBL的结果同Moliere的结果符合得较好，而在中等能量和低能情况下，两者有着明显的差别;Kalbizter的结果仅在低能范围内与ZBL的结果符合得较好。 0.5 ZBL 0.4Kalbizter Moliere 0.3 (,)n0.2 S 0.1 0.0-3-2-1012 10 10 10 10 1010 , Ziegler 图3.5 约化核阻止截面与约化能量的关系。实线是由等 人的结果得到的， 虚线是由Moliere势计算得到的，而点划线是由Kalbizter的经验公式得到的。