有关椭圆焦点弦的高考题的探究
上海市育才中学 龚新平 201801
(发
在《中学生数学》杂志2007-9上)
刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题,给我留下了深刻的印象和许多思考,本文将对该问题加以分析和探究。
问题:中心在原点的椭圆的右焦点为,右准线的方程为:。 F(30),Ox,12l
???PFPPFPPFP,,PPP(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三点,,,使,122331123
111,,证明:为定值,并求此定值。 y lFPFPFP123P 1P Q 2122xyx FO A,,1解:(I)易得所求椭圆方程为; 3627P 3
,,AFP,(2)记椭圆的右顶点为,并设(1,2,3), Ai,ii
2,2,4,不失一般性,假设,且,。 ,,,,,0?,,,,,12131333
c1PQ又设点在上的射影为,因椭圆的离心率,从而有e,,liia2
2,,1a,,FP,PQ,e,,c,FPcos,,e(123)i,,,,,FP,。 (9cos)iiiiiii,,c2,,
33121121,,,,1cos,?,,变形得: (123)i,,,。, ,,,,,1cosi,,i,,92FP,,FP92i,,i,1i,1i
3,,1212,4,,,?,3,cos,cos(,),cos(,),而 ,,,,,,,111,9233FP,,,,ii,1
,,,,,24222cos,cos(,),cos(,),2cos(,)cos,cos(,),0, ,,,,,1111133333
1112,,,故为定值( FPFPFP3123
探究一: 对于一般的椭圆方程,是否也有类似的定值呢,由上述证明,不难得到:
22yx???PFPPFPPFP,,PPP(1)焦点为F的椭圆,,1上三点,,,且,12233112322ab
1113a,,则有=。 2FPFPFPb123
证明:这里也可以采用极坐标的方法来证明。(由椭圆的对称性知:不妨设点F为左焦点)
1,ecos,ep1i,,由圆锥曲线的极坐标方程,得。 ,(i,1,2,3)1,ecos,ep,i
,2,4,2,,,,,,0不失一般性,设,且,,则有: ,,,,,12131333
24,,1ecos()1ecos(),,,,,,111ecos,111,331,,,,,epepep,,,123
24,,3,e(cos,cos(,),cos(,)),,,11111133,,, ep,,,123
111111333a3a3a,,,即:=。 ?,,,,,,22222,,,epFPFPFPbcaa,cb123123(,c)ac22yx???PFPPFPPFP,,(2)焦点为F的双曲线同支上三点,且,,,1P,P,P12312233122ab
3aFP,FP,FP则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值,证明同(1)) ,1232b
2???PFPPFPPFP,,y,2px(3)焦点为F的抛物线上三点,且,则有P,P,P1231223311113,,=。(证明同(1)) pFPFPFP123
n探究二:前面的问题均限于三点,能否推广到个点呢,由上面的证明,我们不难得到:
22yxn(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同的点,,122ab
,且满足,则有P,P,?P,PFP,,PFP,?,,PFP12n1223n1111na,,?,=。 2FPFPFPb12n
1,ecos,ep1i,,证明:由圆锥曲线极坐标方程,得,(i,1,2,?n)。 1,ecos,ep,i
2(,1),n2,,20,,,,,?,,不失一般性,设,且,,则有: ,,,,,121n1nnn
n2(,1),,2ee1cos()1cos(),,,,,,11e1cos,111,nn1,,?,,,,?,epepep,,,n12
n2(,1),,2ne(coscos()cos()),,,,?,,,,,111111nn,,?,, ep,,,n12
,2(n,1),2cos,cos(,),?,cos(,),0n由复数次单位根的知识,易得: ,,,111nn111nnnana?,,?,,,,,。 2222ep,,,caacb,n12(c),ac
特别的,当及时,就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 n,2n,4
22yx(2)焦点为F的双曲线同支上有个不同点,且满足n,,1P,P,?P12n22ab
3a,则有FP,FP,?FP倒数的代数和为定值。(允许,PFP,,PFP,?,,PFP12n1223n12b
极径为负值,证明同(1)) ,
2(3)焦点为F的抛物线y,2px上顺次有n个不同点,且满足P,P,?P12n
111n,则有=。 ,,?,,PFP,,PFP,?,,PFP1223n1pFPFPFP12n
特别的,当及时,就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。 n,2n,4
OP(i,1,2,?n)探究三:如果研究对象不是焦点弦,而是中心距,是否也有类似的结论呢, i
22yx中心为O的椭圆上依次有n个不同点,且满足 ,,1P,P,?P,PFP,,PFP12n122322ab
22n(a,b)111,,?,,则有=。 ,?,,PFPn1222222abOPOPOP12n
2,P(rcos,,rsin,),i,1,2,?n0,,证明:设,不失一般性,设,且,1iiiiin
2222(rcos)(rsin),,2(,1),ny,2xiiii,,,?,,,,1,,代入方程,得,,,1,,,,21n12222nnabab
nnn2222,,cos,sin,cos,sin,1cos2,1cos2,11iiiiii,,()(),,,,,所以 ,,,22222222ababab22rr,,,111iiiii
nn2222,,1cos21cos2,,n(ab)n(ab),,11ii()()cos2,,,,,,,。从而有: i,,222222222a2b2ab2a2b2ab,,10ii
22n(a,b)111,,?,=。 222222abOPOPOP12n
n探究四:如果我们将椭圆的长轴分成等份,结果会怎样呢, 于是有: 22yxxn将椭圆,,1的长轴分成等份,过每个分点作轴AB22ab
P,P,?P的垂线交椭圆的上半部分于共个点,是Fn,112n,1
FP,FP,?,FP,(n,1)a椭圆的一个焦点,则。 12n,1
n,1n,1ccFP,FP,?,FP,(a,x),(n,1)a,xP(x,y),i,1,2,?n证明:设,, 12n,1iiiii,,aai,1i,1
n,1
x,0FP,FP,?,FP,(n,1)a由椭圆的对称性可知:,所以。 i12n,1,i,1
特别地,当时,即是2006年四川省高考题: n,8
22xy,,1x将椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于AB82516
七个点,是椭圆的一个焦点,则FP,FP,?,FP, 35 。 P,P,?PF127127
FP,FP,?FP,0探究五:若变换成条件,是否有类似结论呢,我们继续如下探究: 12n
22yx(1)焦点为F的椭圆上依次有n个不同点,若满足,,1P,P,?P12n22ab
2nbFP,FP,?FP,0FP,FP,?,FP,则有=。 12n12na
n
FP,FP,?FP,0(x,c),0,由得,得: 证明:设P(x,y),i,1,2,?n12niiii,i,1nnn22,,cccnb,,x,nc,从而:。 FPFPFPaxnaxna,,?,,(,),,,(,),i,12nii,,,,aaaai,1,,i1i1,,同理,双曲线也有与(1)几乎完全一样的结论~
2y,2pxn(2)焦点为F的抛物线上依次有个不同点,若满足P,P,?P12n
FP,FP,?FP,0FP,FP,?,FP,则有=。 np12n12n
npFP,FP,?FP,0x(,),0证明:设P(x,y),i,1,2,?n,由得,得: 12niiii,2i,1nnnnppnpx,FP,FP,?,FP,(x,),,x,np,从而:。 i12nii,,,222i,1,1,1ii
2yx,4特别地,当时,即为2007年全国高考题:设为抛物线的焦点,FABC,,n,3
FAFBFC,,,0为该抛物线上三点,若,则 6 。 FAFBFC,,,
参考文献:
2007年重庆市高考试卷(理科)