巧添绝对值符号解非绝对值问题

巧添绝对值符号解非绝对值问题 曾 安 雄 ( )泰顺县第一中学 , 浙江 325500 ( ) 绝对值是高中数学的重要 , 我们?函数 f x 是偶函数. 例 2习惯上是把绝对值问题通过定义法 、分类讨 判断函数 ( )论 、数形结合等手段转化为非绝对值问题来 x 1 - x x > 0 x = 0 的奇偶性. ( ) 解决. 在实际的数学解题过程中可以发现 , 有 f x = 0 ( )x < 0 些非绝对值问题 , 通过添加绝对值符号处理 , x 1 + x ( )( ) 解 原函数等价于 f x = x 1 - | x | 往往能化难为易 , 优化解题过程 , 下面举例说 ( ) x ?R, 则对于仸意的 x ?R 都有 明. ( ) ( ) ( )f - x = - x 1 - | - x | 1 判断函数的奇偶性 ( ) ( ) = - x 1 - | x | = - f x , 对于分段函数的奇偶性 , 除了直接用函 ( ) ?函数 f x 是奇函数. 数奇偶性的定义去判定外 , 用先添加绝对值 2 求偶函数中的参数范围符号 , 再去判定 , 显得更简捷. 对于已知偶函数求参数范围的问题 , 若 ( )例 1判 定 函 数 f x = 2 ( ) ( ) 用添 加 绝 对 值 符 号 , 即 f x = f - x = ( ) ( )x x - 1x ?0 的奇偶性. ( ) ( ) f - | x | = f | x | , 往往能避免分类讨论 ,2 ( ) ( )- x x + 1x < 0 优化解题过程.分析 :利用绝对值 , 原函数可用一个达 例 3已知定义在 [ - 2 , 2 ]上的偶函数 式来表示. ( ) ( )f x 在区间[ 0 , 2 ]上单调递减 , 且 f 1 - m ( )解原 函 数 就 是 f x = ( ) < f m m 的取值范围.2 , 求实数 ( ) ( ) x x - 1x ?0, 2 ( ) 故 可 化 为 f x =x ( ) ( ) 解 由 f x 是偶函数及条件 f 1 - m 2 ( )( ) x - x - 1 x < 0, ( ) < f m , 有( ) ( ) | x | - 1x ?R, 于是 ( ) ( ) f | 1 - m | < f | m | . 2 ( ( ) ( ) ) f - x = - x ?| - x | - 1( ) 又 f x 在 [ 0 , 2 ]上单调递减 , 2 ( ) ( ) = x | x | - 1= f x , ( ) ( ) ? f x 在 R 上单调递增 , ? y = f x 不 y = p 由 y = p - x 和 y = x 联 立 列 方 程 组 , 得 交 点 p p - x 有唯一交点 A . ( ) C , , 2 2 ( ) A 点的横坐标 x 为方程 x + f x = p 的解 , 那 1 - 1 x + x p 1 2( ) 么 y = f x 不 y = p - x 也有唯一交点 B , 其横坐 , 故 x + x = p .? = 1 2 2 2 - 1 ( ) 标 x 为方程 x + f x = p 的解. 2 由于 y = p - x 的图象关于直线 y = x 对称 , 故 ( )收稿日期 :2001 - 07 - 28 A , B 两点关于直线 y = x 对称 , A , B 的中点 C 在 y x + x 1 2. = x 上 , C 点的横坐标为 x = 一 个方 程 的 几 种 解 法 吴 文 广 ( )永康一中 , 浙江 321300 - 1 -5 - 1 + 5 2 + 2 + x 问题 同学们 , 你会解方程 x = x = , x = - 1 , x = , x = 2 .1 2 3 4 2 2 吗 ? 请动笔一试.经检验 , 原方程的根为 x = 2 . ( ) 解法 1 平方法这是一个无理方程 , 早在读 本解法很自然 , 但有一个明显的缺点就是转化 初中的时候 , 同学们就知道无理方程可以通过两边 后所得的多项式方程次数太高 , 不利于求解 , 也于解 平方将原方程转化为多项式方程 , 从而得 : 法的推广不利. 还有别的解法吗 ?2 2 ) ( - 2- 2 - x = 0 x 进高中学了不等式性质和熟悉反证法后 , 我们 解这个四次方程 , 可求得 想到 : ) | 1 - m | > | m | , 2 , n ?N不 y = | x | 的单调性相同 , 利用此性 ? - 2 ?1 - m ?2 , () 质可使一些复合函数 或高次函数获得简解. ( ) - 2 ?m ?2 ,例 5已 知 f x 2 1 = 8 + 2 x - x , 如 果 解得 - 1 ?m < .2 2 ( ) ( ) x = f 2 - x , 那么 g 1 ) ? m ?[ - 1 , . 2 ( )( ) g x 例 4( ) ( ) 已知 f x 是定义在 - 1 , 1上的 ( 在区 间 - 2 , ()A )) ( 2偶函数 , 且在[ 0 , 1上是增函数 , 若 f a - ) 0是增函数.图 1 例 5 图 2 ( ) - f 4 - a< 0 , 试求 a 的取值范围. ( ) ( ) 在区间 0 , 2 是增函数.B 解 由题设 , 得( ) ( ) C在区间 - 1 , 0是减函数. 2 ) ) ( ( f a - 2< f 4 - a, 即( ) D ( ) 在区间 0 , 1 是减函数. 2 ) ) ( ( 2 2 有 f | a - 2| < f | 4 - a| , 又( ) ( ) 由 f x = 8 + 2 x - x = - x - 1解 2 ) 在[ 0 , 1上是增函数 , 故 ( ) ( ) + 9 , 又 g x = f 2 - x , 则 2 | a - 2| < | 4 - a| 2 2 , ( ( ) ) g x = - [ 2 - x - 1 ] + 9 - 1 < a - 2 < 1 , 2 2 ( ) x - 1+ 9 = - 2 2 2 - 1 < 4 - a< 1 , = - | x - 1| + 9 . 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) φa - 2< 4 - a, 由于 g x 不x = - | x - 1 | 具有相 即 2 ( ) ( ) φφ同的单调性 , 而 x 图象如图 1 , 显然x 在 3 < a< 5 . ( ) ( ) ( 解得 3 < a < 5且 a ?2 .- 1 , 0 上 是 减 函 数 , 故 g x 在 区 间 - ( ) ( ) ) ( ) ? a 的取值范围是 3 , 2?2 ,5. 1 , 0上是减函数 , 应选 C. 3 求函数的单调区间 n ( 由幂函数的图象知 , 函数 y = | x | n ? ( )收稿日期 :2001 - 06 - 18