§2 牛顿一莱布尼茨公式

?2 牛顿一莱布尼茨公式 教学目的:熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式的使用 重点难点:重点为牛顿一莱布尼茨公式的使用,难点为牛顿一莱布尼茨公式的证明 教学方法:讲练结合 从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的(下面要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来( ,,,,,，，，， 定理9(1 若函数f在a,b上连续，且存在原函数，即Fx,fx,x,a,b，F b，，，，，，,,fxdx,Fb,Fa.则f在a,b上可积，且 这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常,a bb写成 ，，，，fxdx,Fx.a,a 证 由定积分定义，任给，要证存在，当时，有T,,,,0,,0n ( ，，，，，，,,f,,x,Fa,Fb,,,iii,1 ,,,,T,,,a,x,x,？,x,bx,xa,b 事实上，对于的任一分割，在每个小区间01ni,1i ,,，，x,x,i,1,2,？,n，，Fx上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使得 ii,1i n ,,，，，，，，，，Fb,Fa,FxFx,,1ii,1i nn , (2) ，，，，,F,,x,f,,x,,iiii ,1,1ii ,,,fa,b因为在上连续，从而一致连续，所以对上述，存在，当、x,,0,,0,,,,,时，有 ,,x,a,b且x,x,, ,,,,fx,fx,，，，， b,a ,,,,x,x于是，当时，任取，便有，这就证得 ,x,T,,,,,,,ii,1iiii n ，，，，，，,,f,,x,Fa,Fb,ii,1i n = ，，，，,,f,,f,,x,iii,1i 第九章第二节第1页 n ，，，，,f,,f,,x ,iiii,1 n,,,,x,, . ,ib,ai,1 ,,所以f在a,b上可积，且有公式(1)成立( ，， 注1 在应用牛顿一莱布尼茨公式时，Fx可由积分法求得( 注2 定理条件尚可适当减弱，例如: ，，,, 1)对的要求可减弱为:在a,b上连续，在a,b内可导，且F ,，，，，，，Fx,fx,x,a,b(这不影响定理的证明( ,,,,a,ba,b 2)对f的要求可减弱为:在上可积(不一定连续)(这时(2)式仍成立，且由f在 b，，上可积，(2)式右边当时的极限就是fxdx，而左边恒为一常数( T,0,a 例1 利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分: bn，，xdxn为正整数 1); ,a bbdxx，， 2)edx; 3); 0,a,b,2,aax ,22sinxdxx4,xdx 4); 5)( ,,00 解 其中1)一3)即为?1中的例题和习题，现在用牛顿—莱布尼茨公式来计算就十分方 便: n，1bx1nbn，1n，1，，xdx,,b,a.1) a,an，1n，1 bxxbbaedx,e,e,e.2) a,a bdx111b3),,,,. a2,axabx ,,sinxdx,,cosx,24) 0,0 25)先用不定积分法求出的任一原函，，fx,x4,x 数，然后完成定积分计算: 3112222，，，， x4,xdx,,4,xd4,x,,4,x，C ,,23 218322244，，x,xdx,,,x, 0,033 第九章第二节第2页 例2 利用定积分求极限: 111,,lim，，？，,J ,,n,,122n，n，n,, 解: 把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分(为此作如下变形: n11 J,,lim,n,,in,1i，1n 1,,不难看出,其中的和式是函数f，，x,在区间0,1上的一个积分和(这里所取的是等分1，x 1ii,1i，，,x,,,,,,,i,1,2,？,n分割，)所以 ii,,nnnn，， 1dx1，， J,,ln1，x,ln20,01，x 1,,，，1,2 当然,也可把看作fx,在上的定积分,同样有 Jx 23dxdx J,,,？,ln2,,12xx,1 作业:1(2),(7),2(2) 第九章第二节第3页