等差数列、等比数列数列通项的求法、数列求和、数列综

，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30日内该病毒新感染者共有8 670人，问11月几日，该市新感染此病毒的人数最多,并求这一天的新感染人数( 20((本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{A}、{B}、{C}，其中A(n，a)、B(n，nnnnnnb)、C(n,1,0)满足:向量AA与共线，且点列{B}在方向向量为(1,6)的直线上，a,a，b,,a. ，nnnn1n11 (1)试用a与n表示a(n?2); n (2)若a与a两项中至少有一项是a的最小值，试求a的取值范围( 67n 21.(本小题满分12分)已知数列{a}，a,1，a,λa，λ,2(n?2)( ,n1nn1 (1)当λ为何值时，数列{a}可以构成公差不为零的等差数列,并求其通项公式; n 1(2)若λ,3，令b,a，，求数列{b}的前n项和S. nnnn2 22((本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{a}满足:a，a，a,28，且a，2是a，a的等差n234324中项( (1)求数列{a}的通项公式; n 1(2)若b,aloga，S,b，b，b，„，b，对任意正整数n，S，(n，m)a,0恒成立，试求m的nnnn123nnn，12 取值范围( 答案: 一、选择题 1(D 2(A 由题意得a,a,6,0～即a,a,6～得数列{a}是等差数列～且首项a,3～公差d,6～,,nn1nn1n1而a,a，a,a,2d,a,a，4d,3，4×6,27. 357751 3(C 由S～S～S成等比数列～ 1242?(2a，d),a(4a，6d)( 111 ?d?0～?d,2a. 1 ，daa3a121?,,,3. aaa111 4(D 由条件可得n?2时～ a,S,S,2n(n,1),2(n,1)(n,2),4(n,1)～ ,nnn1 当n,1时～a,S,0～ 11 代入适合～故a,4(n,1)～ n 故数列{a}表示公差为4的等差数列( n 5(C 设每一秒钟通过的路程依次为a～a～a～„～a～则数列{a}是首项a,2～公差d,2的等123nn1 n，n,1，d差数列～由求和公式有na，,240～ 12 即2n，n(n,1),240～ 解得n,15～故选C. ,nn16(C 数列{a}的前n项和S,3,c～且c,1～则a,2×3(n?1)～从而可知c,1是数列{a}为nnnn等比数列的充要条件～故选C项( 7(B 因为a是a与a的等比中项～ k12k22则a,aa～[9d，(k,1)d],9d?[9d，(2k,1)d]～ k12k2又d?0～则k,2k,8,0～k,4或k,,2(舍去)( 8(B 由条件可得:a,,2～ 1 11a,,～a,～ 2332 a,3～a,,2～„～ 45 即{a}是以4为周期的周期数列～ n 1所以a,a,,～故选B. 2 01023 33x,,,,9(D 结合选项～对于函数f(x),上的点列{x～y}～有y,x.由于{x}是等差数列～所以x，nnnnnn,4,,4, 3,,x，n1,4,33y，n1d,,,,,x,d～因此,,xn，,x,～这是一个与n无关的常数～故{y}是等比数列( 1n1nn,4,,4,y3n,,xn4,, 23*10(C 由函数f(n),1，(n?N)的单调性知～a,a,a～且a,a,a,„,0～又a,～a1234561252n,71,～a,,1～a,3～故a为最小项～a为最大项～x，y的值为7. 34343 11(C ?等差数列{a}的前n项和S有最大值～ nn a11?a,0～且d,0～由,,1得a,0～a,,a～ 1101110a10 即a，a,0～ 1011 ?S,10(a，a),0～ 20120 S,19a,0～ 1910 又由题意知当n?11时～ a,0～ n ?n?11时～S递减～故S是最小的正数( n1912(C 由题意可知～ lga,b～lga,b. 3366218512又?b,18～b,12～则aq,10～aq,10～ 3611,36?q,10. ,222即q,10～?a,10. 1 又?{a}为正项等比数列～ n ?{b}为等差数列～ n 且d,,2～b,22. 1 故b,22，(n,1)×(,2),,2n，24. n n，n,1，?S,22n，×(,2) n2 2352922*,,n,,,n，23n,,，.又?n?N～故n,11或12时～(S),132. nmax,2,4二、填空题 13(【解析】 设等比数列的公比为q～则由S,4S知q?1～ 6363，1,q4，1,q?S,. ,61,q1,q33?q,3.?aq,3. 1 【答案】 3 14(【解析】 |a|，|a|，„，|a|,5，3，1，1，3，5，„，23,153. 1215【答案】 153 1*15(【解析】 因为数列{}为“调和数列”～所以x,x,d(n?N～d为常数)～即数列{x}为等差，n1nnxn ，x，20，x，x，20，x120318数列～由x，x，„，x,200得,,200～即x，x,20～易知x、x都为正数时～122031831822 x，x3182xx取得最大值～所以xx?(,100～即xx的最大值为100. )3183183182【答案】 100 16(【解析】 解答本题要灵活应用等差数列性质(由已知条件 S,S?S,S，a?a,0676677,,S,S?S，a，a,S?a，a,0，, 75567567 ,,S,S?S，a,S?a,0655656即a,0～a,0～a，a,0～ 6767因此d,0～?正确, S,11a,0?正确, 116 ，a，12，a112S, 122 12，a，a，67,,0～故?错误, 2 ，a，12，a113S,,12a,0～ 1372 故?错误～ 故真命题的序号是??. 【答案】 ?? 三、解答题 17(【解析】 (1)设数列{a}的公差为d～由题意得 n,a，d,9,, a，4d,21～,,1 解得a,5～d,4～ 1 ?{a}的通项公式为a,4n，1. nn(2)由a,4n，1得 n，4n1b,2～ n54?{b}是首项为b,2～公比q,2的等比数列( n154n，2,21，?S, 4n2,14n32×，2,1，,. 15 18(【解析】 (1)证明:?a ，n1 ,S,S ，n1n 1122,(a，2),(a，2)～ ，n1n8822?8a,(a，2),(a，2)～ ，，n1n1n22?(a,2),(a，2),0～(a，a)(a,a,4),0. ，，，n1nn1nn1n*?a?N～?a，a?0～ ，nn1n?a,a,4,0. ，n1n 即a,a,4～?数列{a}是等差数列( ，n1nn 1(2)由(1)知a,S,(a，2)～解得a,2.?a,4n,2～ 1111n8 1b,a,30,2n,31～ nn2 ,2n,31?0,,由得 2，n，1，,31?0,, 2931*?n,.?n?N～?n,15～ 22 ?{a}前15项为负值～以后各项均 为正值( n ?S又b,,29～ 最小(51 15，,29，2×15,31，?S,,,225 152 19(【解析】 设第n天新感染人数最多～则从第n，1天起该市医疗部门采取措施～于是～前n天流 n，n,1，感病毒新感染者的人数～构成一个首项为20～公差为50的等差数列～其前n项和S,20n，×50n22,25n,5n(1?n,30～n?N)～而后30,n天的流感病毒新感染者的人数～构成一个首项为20，(n,1)× 50,30,50n,60～公差为,30～项数为30,n的等差数列～其前30,n项的和T,(30,n)(50n,60),30n，30,n，，29,n，22，×(,30),,65n，2 445n,14 850～依题设构建方程有～S，T,8 670～?25n,5n,n30n222，(,65n，2 445n,14 850),8 670～化简得n,61n，588,0～?n,12或n,49(舍去)～第12天的新感 染人数为20，(12,1)?50,570人(故11月12日～该市新感染此病毒的人数最多～新感染人数为570人( 20(【解析】 (1)AA ，nn1 ,(1～a,a)～ ，n1n ,(,1～,b)( n 因为向量AA与向量共线～ ，nn1 a,a，1n1n则,～ ,b,1n 即a,a,b. ，n1nn {B}在方向向量为(1,6)的直线上～ 又n b,b，n1n有,6～ n，1,n 即b,b,6. ，n1n 所以b,,a，6(n,1)～ n a,a，(a,a)，(a,a)，„，(a,a) ,n12132nn1 ,a，b，b，„，b ,112n1 ,a，3(n,1)(n,2),a(n,1) 2,3n,(9，a)n，6，2a(n?2)( a，92(2)二次函数f(x),3x,(9，a)x，6，2a的图象是开口向上～对称轴为x,拋物线( 6 1115a，9,,～又?在a内～ 与a两项中至少有一项是a的最小值～故对称轴x,在67n,22,6 a，91115即,,～ 262 ?24,a,36. 21(【解析】 (1)a,λa，λ,2,2λ,2～ 2122a,λa，λ,2,2λ,2λ，λ,2,2λ,λ,2～ 32 ?a，a,2a～ 1322?1，2λ,λ,2,2(2λ,2)～ 2得2λ,5λ，3,0～ 3解得λ,1或λ,. 2 3当λ,时～ 2 3a,2×,2,1～a,a～ 2122 3故λ,不合题意舍去, 2 当λ,1时～代入a,λa，λ,2可得a,a,,1～ ,,nn1nn1 ?数列{a}构成首项为a,1～公差为,1的等差数列～ n1 ?a,,n，2. n (2)由λ,3可得～a,3a，3,2～即a,3a，1. ,,nn1nn1 13?a，,3a，～ ,nn122 11,,a，?a，,3,～ n1n,2,2 13即b,3b(n?2)～又b,a，,～ ,nn11122 3?数列{b}构成首项为b,～公比为3的等比数列～ n12n33,n1?b,×3,～ n22 3n，，1,32?S, n1,3 3n,(3,1)( 4 22(【解析】 (1)设等比数列{a}的首项为a～公比为q. n1 依题意～ 有2(a，2),a，a～ 324 代入a，a，a,28～ 234 得a,8. 3 ?a，a,20. 243,aq，aq,20～11,,? 2 a,aq,8～,,31 1,q,2q,～,,2解之得,～或, a,2 1 ,,,a,32.1又{a}单调递增～ nn?q,2～a,2～?a,2～ 1n 1nnn(2)b,2?log2,,n?2～ n223n?,S,1×2，2×2，3×2，„，n×2? n，23nn1,2S,1×2，2×2，„，(n,1)2，n?2? n，23nn1?,?得～S,2，2，2，„，2,n?2 nn2，1,2，，n1,,n?2 1,2，，n1n1,2,2,n?2 由S，(n，m)a,0～ ，nn1，，，，n1n1n1n1即2,2,n?2，n?2，m?2,0对任意正整数n恒成立～ ，，n1n1?m?2,2,2. 对任意正整数n～ 1m,,1恒成立( n2 1?,1,,1～?m?,1. n2 即m的取值范围是(,?～,1](