浅谈导数在高中数学课程中的应用

浅谈导数在高中数学课程中的应用 盐城师范学院毕业论文() 我最爱豆丁 浅谈导数在高中数学课程中的应用 徐春华 ,数学科学学院～2003,8,班～02212143号, [摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带～高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态～掌握函数思想～搞清曲线的切线问～学好其他学科并发展学生的思维能力(因而在中学数学教学及解题过程中～可以利用导数思想解决诸如函数,解析式、值域、最,极,值、单调区间等,问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题( [关键词]导数 新课程 应用 导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具(本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生问题和解决问题的能力( 一、 导数在高中数学新课程中的地位 《普通高中数学课程(实验)》指出:高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的(必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修(选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成(在系列1和系列2中都选择了导数及其应用(显然，导数的重要性不言而喻( (一)有利于学生更好地理解函数的性态 在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等(我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了( 如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像(但是，如果所 32xy,x,2x，x,1y,e,x,1涉及的函数是非基本初等函数，比如，等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像(但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点;利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、 第 1 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) 拐点;利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像(这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面( (二)有利于学生更好地掌握函数思想 数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性( 其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题( (三)有利于学生弄清曲线的切线问题 学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线(如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道f(x)在点x,xx,x的切线斜率，正是割线斜率在时的极限，即 k00 ()()fx,fx0limk,( x,x0x,x0 ,(x,y)由导数的定义，k,f(x)，所以曲线y,f(x)在点的切线方程是 00 ,y,y,f(x)(x,x)( 000 [1],(x,y)xf(x)这就是说:函数f在点的导数是曲线y,f(x)在点处的切线斜率( 0000 从而，学生就掌握了切线的一般定义:设有曲线及上的一点，在点外另取曲PPCC QPQQPQ线上一点，作割线，当点沿曲线趋向点时，如果割线绕点旋转而趋向PPCC 极限位置，那么直线就称为曲线在点处的切线( PTPTPC (四)有利于学生学好其他学科 高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用(微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础(作为微积分的一个重要的分支——微分学， ,xy,f(x)f(x)主要涉及变量的“变化率”问题，对于，导数可以解释为关于的变化率(在y 学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动 22A(t),dsdtV(t),dsdtS,S(t)方程:，算出物体的瞬时速度:、瞬时加速度:;对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了( 第 2 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) (五)有利于发展学生的思维能力 在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学(这样造成的后果是:不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担( 而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化:即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维 [2]方式，提高学生的思维能力( 再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法:先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个区间上;在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质(这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学 [2]习的( 总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上(在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力( 二、 导数在解题中的应用 导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点(这几年的高考命题趋势表明:导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具(将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义(下面举例探讨导数的应用( (一)利用导数解决函数问题 ?利用导数求函数的解析式 用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了( 32y,ax，bx，cx，d例1 设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方PPy 12x,y,4,0程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式( x,20 第 3 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) 32y,ax，bx，cx，d，，解 因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为0,d，PPy 又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，又切线斜率y,12x,4PPd,,4 2,,,y,3ax，2bx，c，故在处的导数，而，，从而，又k,12x,0y,12y,cc,12x,0x,0 函数在处取得极值，所以 x,20 12a，4b，12,0，, ,8a，4b，20,0(, 32y,2x,9x，12x,4解得，，所以所求函数解析式为( a,2b,,9 ?利用导数求函数的值域 求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握(但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行( f(x),2x，1,x，2例2 求函数的值域( ,分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断f(x)的正负，进而求出函数f(x)的值域( ，,,12，，,解 显然，f(x)定义域为，由于 112x，2,2x，1,f(x),,,， 2x，12x，22x，22x，1 又 2x，72x，2,2x，1,， 2x，2，2x，1 ,f(x),2x，1,x，2，,x,,12,12，，,可见当时，f(x),0(所以在上是增函数(而 ，f(,12),,62f(x),2x，1,x，2，所以函数的值域是( ,，,62，，， ?利用导数求函数的最(极)值 求函数的最(极)值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态( ,,,,a,ba,bf(x)f(x)一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法: ，，a,bf(x)(1) 求函数在上的极值点; 第 4 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) (2) 计算在极值点和端点的函数值; f(x) (3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值( f(x) 3f(x),x,3x,,例3 求函数在,3，32上的最大值和最小值( 分析 先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在f(x) 区间,,上的最大值和最小值( ,3，32 22,f(x),3x,3,3(x,1),3(x，1)(x,1)解 由于，则 ,，，,,,,,,当x,,3,,1或x,1,32时，，所以,3，,1，1，32为函数的单调增区间;f(x),0f(x) ,，，,,当x,,1,1时，，所以,1，1为函数的单调减区间( f(x),0f(x) 又因为，，，f(32),,98，所以，当时，f(,3),,18f(,1),2f(1),,2f(x)x,,3取得最小值;当时，取得最大值( f(x)2,18x,,1 ?利用导数求函数的单调区间 函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质(函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义， ,,,只需考虑f(x)的正负即可，当f(x),0时，f(x)单调递增;当f(x),0时，f(x)单调递减(此方法简单快捷而且适用面广( 3f(x),x，3x例4 求的单调区间( f(x)分析 应先确定函数的定义域，再利用导数讨论其单调区间( ，，，，,,,0,0,，,f(x)解 显然，定义域为，又 23(x，1)(x，1)(x,1)22,f(x),3x,3x,， 2x ,,f(x),0f(x),0f(x)由，得或;又由，得或，所以的增x,,1x,1,1,x,00,x,1 ，，，，，，，，,,，,11，，,,1，00，1区间为和，减区间为和( (二)利用导数解决切线问题 ?求过某一点的切线方程 ,f(x)此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点0 第 5 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) ,P(x,f(x))y,f(x),f(x)(x,x)处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点P00000P(x,f(x))在曲线上，否则易错( y,f(x)00 xy,e例5 求曲线在原点处的切线方程( 分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程( xx,y,ey,e解 显然点不在曲线上，由于，则 (0,0) x0y,eP(x,y)设切点坐标为，所以，则过点的切线方程为 P000 xx00y,e,e(x,x)( 0 xx00,e,e(,x)x,1因为点在切线上，所以，即，所以，故切线方程为(0,0)P(1,e)00 y,e,e(x,1)，即ex,y,0( ?求两曲线切线方程 22C:y,x，2xC:y,,x，aCC例6 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，l2121 CC称是和的公切线，求公切线的方程( ll21 分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线 来建立关系求解( 22,P(x,x，2x)C:y,x，2xC解 由，得y,2x，2，所以曲线在点的切线方程是 11111 2y,(x，2x),(2x，2)(x,x)， 1111 即 2y,(2x，2)x,x( (1) 11 22,Q(x,,x，a)y,,x，aCy,,2x由，得，所以曲线在点的切线方程是 222 2y,(,x，a),,2x(x,x)， 222 即 2y,,2xx，x，a( (2) 22 Q若是过与的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以 Pl 2x，2,,2x，,12 ,22,x,x，a(12, 第 6 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) 消去，得 x2 22x，2x，1，a,0， 11 由题意知，所以，则，即点与重合，此时a,,12x,x,,12,,4,4，2(1，a),0QP12曲线和有且仅有一条公切线，且公切线方程为( CCx,y，14,021 (三)利用导数解决不等式问题 纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来 是高考的难点(利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等 价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数(通过导数运算判断出函数的单调性， 将不等式的证明转化为函数问题( 22xxx,,ln(1，x),x,，，例7 求证:不等式在x,0,，,上成立( 22(1，x) 分析 通过作差，构造函数 2x()ln(1)()fx,，x,x,， 12 和 2xf(x),x,,ln(1，x)， 22(1，x) f(x)f(x)再通过对和求导来判断( 12 2x()ln(1)()fx,，x,x,证明 构造函数，则 12 21x,f(x),,1，x,,0( 11，x1，x ，,y,f(x)0，，,f(x),f(0),0得知在上单调递增，又因为，所以，即x,0111 2xln(1)，x,x,成立( 2 2xf(x),x,,ln(1，x)又构造函数，则 22(1，x) 2224x，4x,2x12x,( f(x),1,,,,02221，x4(1，x)4(1，x) 第 7 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) ，得知在,上单调递增，又因为，所以，即y,f(x)0，，,f(x),f(0),0x,0222 2xx,,ln(1，x)成立( 2(1，x) 综上所述，原命题成立( (四)利用导数解决数列问题 数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法(事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题( 2n,1例8 求和:(其中，)( 1，2x，3x，？，nxx,0x,1 nn,1nn,1n,,,(x),nxxn解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和 nxx nn，1x(1,x)x,x2nx，x，x,,？， 1,x1,x x然后等式两边同时对求导，有 2n,1 1，2x，3x，？，nx 1nn，[1,(n，1)x](1,x)，x,x,2(1,x)( n，1nnx,(n，1)x，1,2(1,x) 123nnC,2C，3C,？,(,1)nC例9 求和:( nnnn n12233nnn(1,x),1,Cx，Cx,Cx，？,(,1)Cx解 因为( nnnn x上式两边对求导，有 n,11232nnn,1,n(1,x),,C，2Cx,Cx，？，(,1)nCx， nnnn 再令，可以得到 x,1 123nnC,2C，3C,？,(,1)nC,0( nnnn (五)利用导数解决实际问题 利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题(学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力(近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便( 第 8 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) 例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边处，乙村位于离河岸A 的处，乙村到河岸的垂足与相距(两村要在岸边合建一个供水站，从BDA40km50kmC供水站到甲村、乙村的水管费用分别为、，问供水站建在何处才3a元/千米5a元/千米C能使水管费用最省,(图1) B分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量 转化成函数关系式(技巧与方法主要有:根据题设条件作出 DCx A图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理 选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函 图1 数关系，随后用导数的知识来解决问题( 解 如图1，设点距点，则 DCxkm 22，，( AC,50,xBD,40BC,x，40 总的水管费用为 22()( f(x),3a(50,x)，5ax，400,x,50 5ax,,f(x),,3a，又，令f(x),0，则( x,3022x，40 ，，0，50在上，f(x)只有一个极值点，根据实际问题的意义，知处取得最小值，x,30此时(所以供水站建在距甲村处才能使水管费用最省( AC,50,x,20C20km 三、 结束语 导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值:既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想(总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础(因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义( [参考文献] [1]华东师范大学数学系(数学分析,,(第三版(北京:高等教育出版社～2001(91 [2]祁丽娟(谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性(甘肃教育～2006,4,(48 [3]李秋凤(导数在函数问题中的应用(中国科技信息～2006,3,(133–153 [4]陈斌(弹好用导数证不等式的前奏(数理化学习,高中版,～2006,4,(13–15 [5]邓亚轩(利用导数巧求和(数理化学习,高中版,～2006,4,(24 第 9 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior School Mathematics Curriculum Xu Chunhua [Abstract]Derivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics. In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve’s tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability. Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving, we may use the derivative thought to solve some problems, such as function problem (algebra, the value territory, (extremely) value, monotonous sector and so on), tangent problem, inequality problem, sequence problem as well as practical application problem, and so on. [Key words]derivative, new curriculum, application 第 10 页 共 11 页 盐城师范学院毕业论文(设计) 第 11 页 共 11 页