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塑性极限分析下限法研究王雪河海大学防灾减灾及防护工程专业，江苏南京（210098）E-mail:funfuncat_snow@hotmail.com摘要：塑性极限分析是一种新兴的结构分析方法。本文大致介绍了一些关于塑性极限分析下限法的定理及其数学描述。并进一步给出了传统下限分析的有限元格式及其数学模型。并在文章最后提出使用等参单元进行有限元下限分析的可能性及建议。关键词：塑性极限分析；下限法；有限元1、引言随着人们生活水平的不断提高，资源短缺问题日益受到重视，在这样的大环境下，人们对结构提出了新的要求。越来越多的设计人员在重视结构安全度的同时，越来越重视材料的利用率，以最少的资源耗损达到最大的安全性是目前结构设计的重要理念。塑性极限分析的理论与方法便是在此基础之上产生并发展起来的。2、塑性极限分析的下限法由Drucker公设和虚功原理可以塑性极限定理，即上、下限定理，他们是结构塑性极限分析的理论基础。2.1、下限定理下限定理认为：在所有与静力容许应力场对应的荷载中，最大的荷载为极限荷载，示任意与静力容许场对应的外荷载是极限荷载的一个下限。]1[下限定理给出了结构不会破坏的必要条件，用它可计算出结构极限荷载的下限，显然，这样计算出的下限可以有无穷多个。但是只有结构不破坏时所能承受的最大荷载与结构的真实极限荷载最为接近，因此，计算时应选择由下限定理求出的极限荷载下限中最大的那个值作为极限荷载下限的近似值。比例加载情况下，用β表示荷载因子，则结构的极限荷载因子crβ是所有满足静力许可条件的荷载因子的上界，即(1)siicrββsup=通常把这种求解极限荷载最大下限的方法称为极限分析的静力法。2.2、数学描述假定作用在结构上的荷载只有表面荷载为可变荷载，并按比例因子iqβ加载，其他荷载均保持不变，则用静力法求极限荷载因子crβ下限的问题可表述为一个约束最优化问题，即maximizeβ(2a)subjectto0,=+ijijpσ(inV)(2b)ijijqn⋅=βσ(on)(2c)σS()0≤ijfσ(2d)利用虚功率原理可将平衡条件和应力边界条件表示为积分形势-1-http://www.paper.edu.cn(3)∫∫∫=−−VVSiiiiijijdSuqdVupdV0&&&βεσ其中（为机动场集合）是任意机动许可的位移速率，即*Uui&&∈*U&)(21,,ijjiijuu&&&+=ε(inV)iiuu&&=(on)uS则下限定理可表示为maximizeβ(4a)subjectto(4b)∫∫∫=−−VVSiiiiijijdSuqdVupdV0&&&βεσ*Uui&&∈∀0)(≤ijfσ(4c)2.3、传统下限分析有限元格式传统的下限分析采用“单纯形”单元对计算区域进行离散。A.V.Lyamin和S.W.Sloan在文献[2]中以平面3节点三角形单元为例，给出了二、三维情况下“单纯形”单元的下限分析有限元格式。一、应力插值设空间4结点四面体单元各节点的6个应力分量为：Tizxiyzixyiziyixi),,,,,(}{τττσσσσ=i=1,2,3,4由于是“单纯形”单元，因此单元内部的应力分量呈线性分布，则单元内任一点的应力分量，可由4个结点应力分量的线性插值确定，即Tzxyzxyzyx),,,,,(}{τττσσσσ=(5)eiiiN}]{[}{}{41σψσσ∑===式中e}{σ为单元节点应力向量；][ψ为单元应力形函数矩阵，其中I为6阶单位矩阵；(i=1,2,3,4)为单元应力插值函数或应力形函数。iN二、平衡条件塑性极限分析的下限定理要求假定的应力场须与外荷载平衡，对于三维问题，直接采用微分形式的平衡方程(2b)，其表达式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫−=∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂zzyzzxyzyyxyxzxxyxpzyxpzyxpzyxστττστττσ将式(5)代入后可得如下的单元平衡方程表达式eeebA}{}{][=σ(6)三、应力边界条件-2-http://www.paper.edu.cn在很多工程问题中，结构边界上通常承受沿边界均布或呈线性变化的分布荷载，对于线性单元来说，如果结构边界上的荷载为线性分布的面荷载，那么只要处于结构边界上的单元面上的3个结点满足应力边界条件，则整个单元面上的应力均满足边界条件。如图1所示，假定l，m，k是边界上的3个结点，同时lmk又是单元的一个面，则可以推知，只要l，m，k满足了应力边界条件，则在边界面lmk上的各点均满足边界条件。设边界单元上某结点的应力为，在结点上作用有面荷载，强度为，则应力边界条件为Tbzxbyzbxybzbybxb),,,,,(}{τττσσσσ=Tzyxbqqqb),,(}{=bbbbA}{}{][=σ(7)图1应力边界条件四、应力连续性条件在有限元塑性极限分析中，相邻单元的公共面即为应力间断面。为了允许单元间的应力间断，对每个单元分别构造应力场，但在相邻单元的交界面上则必须保证法向正应力和两个剪应力的连续性。同样的，由于假定单元应力是呈线性分布的，所以只要满足相邻单元的应力间断面上的对应结点的正应力和剪应力的连续，则可以保证交界面上任一点的应力均满足连续性条件。如图2所示，为了表示单元E1、E2交界面上的应力分量，建立局部坐标系),,(zyx′′′，其中z′轴沿应力间断面的法线方向，指向E1单元，坐标面位于交界面上。、、分别表示yox′′′),,(111nml),,(222nml),,(333nml),,(zyx′′′轴在整体坐标系中的方向矢量。则由整体坐标系（x,y,z）到局部坐标系的坐标转换关系式为),,(zyx′′′图2应力间断面(8)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧′′′zyxLzyxnmlnmlnmlzyx][333222111若在E1单元的间断面上，某点在整体坐标系中的应力为，则该点在交界面上的法向正应力和剪应力，即局部坐标系中的应力分量可由整体坐标转换得到，即TEzxEyzExyEzEyExE),,,,,(}{1111111τττσσσσ=TExzEzyEzE),,(}{1111′′′′′=′ττσσ11}]{[}{EETσσ=′(9)其中为坐标转换矩阵。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++=133113311331313131233223322332323232333333232323222][nlnlnmnmmlmlnnmmllnlnlnmnmmlmlnnmmllnlnmmlnmlT同样的，在E2单元中的相对应结点在交界面上的法向正应力和剪应力为22}]{[}{EETσσ=′(10)由连续性条件可知21}{}{EE′=′σσ，即21}]{[}]{[EETTσσ=，亦即-3-http://www.paper.edu.cn0}]{[}]{[21=−EETTσσ(11)现令，，[]TTAd−=][()TTETEd21}{}{}{σσσ=}0{}{=db，则交界面上相邻结点的连续性条件可表示为dddbA}{}{][=σ(12)五、屈服条件由于是线性分布的应力场，且单元内的材料均一，那么只要单元的全部结点满足应力屈服条件，则可以断定单元内部的任一点均满足屈服条件。所以，我们只需要对结点应力建立约束条件即可，可用公式表示为0)}({≤eifσ(i=1,2,3,4；e=1,2,…,NE)(13)六、数学模型综上所述，集合所有的约束条件后，我们可以得到下限分析有限元的数学模型，其模型可以表述成如下的最优化问题maximize(14)}{}{XCTsubjectto}{}]{[bXA=(15)0)}({≤ifσi=1,2,…,NP(16)其中为目标函数，且，[A]是集合后的m个等式约束的系数矩阵，。}{}{XCT}1}0{{}{=TC)933(NDNBNEm×+×+×=3、与展望本文介绍了塑性极限定理及其下限定理的数学描述格式，并对传统下限分析的有限元格式做了比较细致的介绍，给出了用有限元法进行塑性极限的下限分析所需的数学模型的构建原理及建模过程。此外，钱向东老师在其博士论文[6]中进一步提出了用等参单元建构塑性极限的下限分析模型的方法，此模型虽不能直接应用传统平衡方程进行计算，但可减少所需单元数量并达到更好的拟和效果，从而大大减少计算量，使问题得以实际化、应用化。如此一来即可避免由屈服条件线性化过程中所带来的一系列问题，同时又能提高问题的可解性与解的准确性。这一方法或许更加实际有效。-4-http://www.paper.edu.cn参考文献[1]A.V.LyaminandS.W.Sloan.Lowerboundlimitanalysisusingnon-linearprogramming.InternationalJournalforNumericalandAnalyticalMethodsinEngineering,2002,55:573~611．[2]徐秉业．结构塑性极限分析[M]．中国建筑工业出版社，1985．[3]范金星．拱坝三维有限元塑性极限分析．硕士论文，武汉水利电力大学，1991.12．[4]鄢玉英．塑性极限分析优化法在重力坝中的应用．硕士论文，武汉水利电力大学，1989．[5]郑颖人，龚晓楠．岩土塑性力学基础[M]．中国建筑工业出版社，1989.8．[6]钱向东．混凝土拱坝的强度计算与极限荷载分析．河海大学．博士论文，2005.3．[7]刘尔烈．有限单元法及程序设计[M]．天津大学出版社，1999.7．StudyOfLowerBoundLimitAnalysisWangXueDepartmentOfDisasterPreventionandMitigationEngineering,HohaiUniversity,Nanjing,China(210098)AbstractThelimitanalysisisakindofnewlyarisenstructureanalysismethod.Andthispapermostlyintroducesometheoremsoflowerboundlimitanalysisandgiveoutitsmathematicalexpressions.Forthermore,thispaperalsointroduceatraditionalgeneralnon-linearoptimizationalgorithmforlowerboundlimitanalysis.Finally,amethodoflowerboundlimitanalysisbyusingisoparametricelementinfiniteelementissuggusted.Keywords:plasticlimitanalysis;lowerboundmethod;finiteelementmethod作者简介：王雪，女，1982年生，硕士研究生，主要研究方向为：结构抗震，塑性极限分析方法-5-http://www.paper.edu.cn