正奇数边形任何三条对角线形内不共点

正奇数边形任何三条对角线形内不共点 2001年第11期数学通讯31 正奇数边形任何三条对角线形内不共点 周永良 (孝感市4404厂子弟学校,湖北432100) 中图分类号:0123文献标识码:A文章编号:0488—7395(2001)l1—0031一O1 文[1]中作者证明了:当为素数时,正1'1边形 的任何三条或三条以上对角线在形内不共点.本文 证明当为奇数时,这一结论仍然成立.从而完全解 决了猜想whc57.本文沿用文[1]记号. 定理正奇数边形任何三条对角线形内不共点. 设为奇数,正整数1,2,…, 证用反证法, 6满足1十2+…6=,且 ?135(鲫2一1)(?4—1)(?玎6—1)+(?l一 1)(3—1)(5,1):0(1) 记f(x)=z1"35(2—1)(.124一1)(,326— 1)+(一1)(3—1)(xn5—1),因,()=0,故 (z)lf(x),因为是奇数,(2,)=1,是次 本元单位根,所以是(z)的根,进而是(z)的 根.即有 ?—1)(?4—1)(?6—1)+ .(nI35)(?2 (?l一1)(w2"3—1)(?.5—1)=0(2) 由(1)式,(2)式左端第一项等于 ?0(t一35)(?n2+1)(4+1)(?6+1)(?2— 1)(?4—1)(?6—1):一?135(?2+1)(?4+ 1)(玎6+1)(鲫1—1)(3—1)(5—1). (2)式中约去非零因式("1—1)(3—1)(605 — 1),得 ?135(c,,2十1)(?4+1)(?6+1):(?1+ 1)(?3+1)(5+1)(3) 又(1)式可写作 135(2—1)(4—1)(?6—1):一(1 — 1)(3—1)(5,1)(4) (3),(4)两式相加,除以2,得 135(246+2+4+6)= (u3n5+(u5j+o)nl"3+1. oPl35(2十4+6):35+51 +Ojnln3. ?2+?4+6=(,,一1+?一3+?一5(5) (3),(4)两式相减,除以2,得 135(46+62+24+1): ?"l35+?l+3+o. ~n5. (135(c46+62+ojn24):?1+ ?3+?5. 46+ojn62+24=一3一5+一5一1' +6013(6) 同时,由Ojn:1,又有 602'"4"6?,1一3"5(7) 由(5),(6),(7)三式可知2,,,6和m1, 603,—是同一个三次方程的三个根.但是显然 602,?4,?6中任何一个与?1=,1,鲫3= …3 ,m5=5中任何一个都不可能相等.因 此,不可能有正整数l,2,…,6满足(1)式.由文 [1]引理2知定理成立.. 由此定理,我们就可以知道,为奇数时,正 边形的对角线交点为 1 D()==(一1)(一2)(一3). 杨之先生着作[2]中的上一个问是我国着名 图论专家张忠辅教授在l986年提出的一个问题. whc56正边形对角线在形内的交点有多少 个?是否存在一个简单的计数? 为了考虑为偶数的情况,作者提出以下猜想, 若能获证,则可望解决正6k?2边形对角线交点的 计数问题. 猜想若2l,3不能整除,则除了四条或四 条以上主对角线共点于中心外,正边形的任何四 条或四条以上对角线在形内不共点. 参考文献: [1]周永良.正素数边形任何三条对角线形内不共点.数 学通讯,2001(3). [2]杨之.初等数学研究的问题与课题.湖南:湖南教育出 版社,1993年5月第一版. 收稿日期:2001—03—27 作者简介:周永良(1941一),男,上海市人,湖北孝感市4414厂子弟学校高级教师