初中数学几何公理定理整理

初中数学几何公理定理整理 一、线与角 1、两点之间，线段最短 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3、对顶角相等;同角的余角(或补角)相等;等角的余角(或补角)相等 4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 5、(1)经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (2)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 6、平行线的判定: (1)同位角相等，两直线平行(2)内错角相等，两直线平行(3)同旁内角互补，两直线平行 7、平行线的特征: (1)两直线平行，同位角相等(2)两直线平行，内错角相等(3)两直线平行，同旁内角互补 8、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 9、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 二、三角形、多边形 10、三角形中的有关公理、定理: (1)三角形外角的性质:?三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和?三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角?三角形的外角和等于360? (2)三角形内角和定理:三角形的内角和等于180? (3)三角形的任何两边的和大于第三边 (4)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 11、多边形中的有关公理、定理: (1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于( n,2)×180? (2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和都为360? (3)欧拉公式:顶点数 + 面数,棱数=2 1 2、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分 13、等腰三角形中的有关公理、定理: (1)等腰三角形的两个底角相等((简写成“等边对等角”) (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等((简写成“等角对等边”) (3)等腰三角形的“三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一” (4)等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60? (5)三边都相等的三角形叫做等边三角形;有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形 14、直角三角形的有关公理、定理: (1)直角三角形的两个锐角互余 2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ( (3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (5)在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半 三、特殊四边形 15、平行四边形的性质: (1)平行四边形的对边平行且相等(2)平行四边形的对角相等(3)平行四边形的对角线互相平分. 16、平行四边形的判定: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形 17、平行线之间的距离处处相等 18、矩形的性质: (1)矩形的四个角都是直角(2)矩形的对角线相等且互相平分 19、矩形的判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形 20、菱形的性质: (1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 21、菱形的判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 22、正方形的性质: (1)正方形的四个角都是直角(2)正方形的四条边都相等 (3)正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 23、正方形的判定: (1)有一个角是直角的菱形是正方形 (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)两条对角线垂直的矩形是正方形 (4)两条对角线相等的菱形是正方形 梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形 24、等腰梯形的判定: (1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 (2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形 25、等腰梯形的性质: (1)等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等 (2)等腰梯形的两条对角线相等 26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半 四、相似形与全等形 27、相似多边形的性质: (1)相似多边形的对应边成比例(2)相似多边形的对应角相等 (3)相似多边形周长的比等于相似比 (4)相似多边形的面积比等于相似比的平方 (5)相似三角形的对应角相等，对应边成比例;相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方 28、相似三角形的判定: (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 29、全等多边形的对应边、对应角分别相等 30、全等三角形的判定: (1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等(S.S.S.) (2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等(S.A.S.) (3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.) (4)有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(A.A.S.) (5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等(H.L.) 五、圆 31、(1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等;(2)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90?(直角); (3)90?的圆周角所对的弦是圆的直径 32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等 33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 34、(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)圆的切线垂直于过切点的半径 35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 36、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角 37、垂径定理及推论:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 六、变换 )关于某条直线对称的两个图形是全等形;如果两个图形关于 37、轴对称:(1 某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(2)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段(或延长线)相交，交点一定在对称轴上;(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段(或延长线)相交，交点一定在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 38、平移:(1)平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等);(2)对应线段平行且相等(或在同一直线上),对应角相等;(3)经过平移,两个对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等. 39、旋转:(1)旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)(3)经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等 40、中心对称:(1)关于中心对称的两个图形是全等形;(2)关于中心对称的 )如果两个图形的对应点连线都经过两个图形，对称点连线都经过对称中心;(3 某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 41、位似:(1)如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比;(2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 ( 即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60? 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60? 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30? 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即 a +b =c 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L= ( a+b ) ?2 S=L×h 83 (1) 比例的基本性质 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc, 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d 84 (2) 合比性质 如果 a , b=c , d, 那么 (a?b) , b=(c?d) , d 85 (3) 等比性质 如果 a , b=c , d=…=m , n(b+d+…+n?0), 那么 (a+c+…+m) , (b+d+…+n)=a , b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似( ASA ) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似( SAS ) 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似( SSS ) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ? 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ? 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ? 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 112 推论 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90? 的圆周角所对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135 ? 两圆外离 d , R+r ? 两圆外切 d=R+r ? 两圆相交 R-r , d , R+r(R , r) ? 两圆138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于( n-2 ) ×180? , n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn , 2 p 示正 n 边形的周长 142 正三角形面积 ? 3a , 4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360? ，因此 k×(n-2)180? , n=360? 化为( n-2 ) (k-2)=4 144 弧长计算公式: L=n 兀 R , 180 145 扇形面积公式: S 扇形 =n 兀 R , 360=LR , 2