与F分布有关的偏导数之性质

与F分布有关的偏导数之性质 与 F 分布有关的偏导数之性质 刘晓鹏 ,刘坤会 ()北京交通大学 理学院 ,北京 100044 Γ 摘 要 :运用对无穷级数的一些运算组合及 ,并以的对数微商公式作工具 ,深入分析了 Γ 与函数有关的一些特殊函数的性质 ,论证了与 F 分布有关的偏导数之性质 ,揭示了参数变化时 F 分布密度函数的极值先减后增. 本文的和结论在研究许多概率密度函数的性质时有重要作 用 ,比如它可以判断密度曲线高度的变化趋势. 文献标识码 :A :O21113 ;O174 . 1 中图分类号 Γ 关键词 :概率分布 ; F 分布 ;密度函数 ;函数 ;参数 Characters of Partial Derivative Related to F Distribution L I U X i ao- pen g , L I U Ku n- h ui ( )School of Sciences , Beijing J iaoto ng U niversit y , Beijing 100044 ,China Abstract :This paper uses t he operation combinations and analyses of infinite series , and applying logarit hmic Γ Γ derivative formula of f unction , analyses deeply t he characters of some special f unctions about f unction , proves characters of partial derivative about F distribution , and reveals t hat t he extreme value of F distributed density f unction reduces at t he beginning and t hen increases when t he parameter changes. The met hods and conclusions of t his paper are important to research t he characters of some probability density f unctions , for ex2 ample , we can use it to decide t he tendencies about t he changes of height on density f unction. Γ Key words :p ro babilit y dist ributio n ; F dist ributio n ; densit y f unctio n ; f unctio n ; parameter ( ) 对于密度函数 f x , 由于 x ?0 时其值为 m , n 问的提出1 0 , 故我们只须讨论 x > 0 时函数的性质. 另一方面 , ( ) ( ) 当 m ?2 时函数 f x 在 0 , ?上单调下降 , 这 F 分布是一种重要的概率分布类型 ,它在数理 m , n 是一种十分简单 的 函 数 形 态 , 讨 论 的 意 义 不 大. 因 统计的研究中有重要的理论意义及应用价值 . 以往 ( )此 , 我们在本文主要讨论 m > 2 且 n > 0 时 f x m , n 对 F 分布的研究主要侧重于其概率意义 ,而对这种 ( ) 在 0 , ?上之性质 . ) ( m - 2n (显然 f x ) 在区间 上单调增 , 0 , m , n ( )m n + 2 分布密度函数本身的深入研究不多 . 本文则着重研 ( ) m - 2n ( ) 在区间 , ? 上单调减 , 它在 0 , ?上有究 F 分布密度函数自身的性质 ,所以本文作者的工 ( )m n + 2 唯一的极大值 ( ) 作与以往有所不同. 参数为 m , n的 F 分布通常用 ( ) ( ) x = M m , n ƒ sup fm , n x ?( 0 , ?) ) ( ( ) [ m/ 2- 1 ] - m + n/ 2 ( )1 (( ) ) x 1 + m / nx ,x > 0 ; ( ) F m , n 表示 , 可以求得 , 其概率密度函数为 ( )f x =m , n ( ) m - 2n x = 0 , x ?0 )( m n + 2 ( ) f x = m , n Γ() Γ 其中 ,?表示函数. m/ 2 (Γ( ( ) ) Γ( )Γ( ) ( ) [ m + n/ 2/ m/ 2n/ 2] m/ n× 收稿日期 :2003205229 ( )基金项目 :国家自然科学基金资助项目 19671004 18 ( ) m - 2/ 2 ( η) ) ( m + n 当 m ?2 ,时 K m , ?为正值严格减连续函数 , ( ) n + 2/ 2 ( )) Γ m m - 2 ( n + 2 2 (η) ( ) m ?, ?时 K m , ?为负值连续函数. 这里符 号( )2 m n ( ) m + n/ 2 ( ) Γ Γ n m + n“ ??表示严格减” “, ??表示严格”增. 2 2 ( ) 下面讨论极值函数 M m , n的一些特性 . 证明 见文献 [ 3 ]定理 2 之证明. ( ) 定理 1 在平面区域{ m , n : m > 2 , n > 0} 上( ) 2 极值函数 M m , n的变化特性 5 Λ( ) ) ( 函数 m , n ƒ ln M m , n 处 处 连 续 可 导 且 5 m Γ 为实现本文作者的研究目标 , 需深入探讨与5 Λ( ) Λ( ) Λ( )m , n> 0 . limm , n= - ?, lim m , n 5 n m ?2 m ?? ( ) Γ 函数有关的函数 M m , n 的性质.函数是一种重 ( Λ( ) ( = 0 , Π n > 0 . Π n ?0 , 2 , m , n 关于 m 在 2 , ) ( Λ) Π n > 2 , 存在唯一的 ?上严格增且 m , n < 0 . 要的特殊函数类型 , 它有许多深刻的性质及广泛的 θ( ) ( η( ) ) (θ( ) ) Λ n?2 ,n 使得 n , n = 0 , 2 < m < 应用 , 许多大数学家如欧拉 、高斯 、罗巴切夫斯基及 θ( ) ( ) θ( ) ( ) ΛΛ n时 m , n< 0 , m > n 时 m , n > 0 . 若 n d ( ) ( ) Λ 为 2 , ?中任一确定的实数 , 则 m , n 当 m 在 勒让德等都对之进行过深入的研究 . ( ) Γ( )ψz = lnz = d z ( (η( ) ) η( ) 2 ,n 中变化时严格增 , 当 m 在 n , Γ 首先需要应用函数的对数微商公式 1 1 1 lim ln k -+ , + ? + ) ( ) η?中变化时严格减 , 其中 n 由引理 1 定义. 此 k ?? z z + 1 z + k θ( ) ( ) ( ) ( θ外 ,′n为 2 , ?上的负值连续函数故而 n 在 2 , ( )( )Π z ? 0 , ? 3 ) ( ) θ?上严格减 , 又 n ?2 时 n ???, n ??时 以上公式的来源可参看文献 [ 1 ] 中第 1 章或文 献[ 2 ]中第 3 章. 本文应用以上公式 , 通过对无穷级 θ( ) ( ) ( ) θθΛ n??, 其中 为 m , ?= 0 在 2 , ?中的 唯一解数的一些特殊的组合及分析方法 , 证明了极值函数 θη且 2 << , 而 ( ) M m , n 的一些特性 . Λ( ) m , ?ƒ 1 1 1 1 2 lim+ ? + + + + 5 N ?? m m + 2 m + 2 N m 1( ) ( ) 引 理 K m , n ƒ ln M m , n 在 25 m 1 1 ) ( ) ( - 2- m + 2 N + 2, 2 < m < ?.ln m( ) { m , n : m > 2 , n > 0} 上处处存在且连续 , 它关于 2 2 ( ) n 为 0 , ?上的严格减函数. 若 0 < n ?2 , 则 Π m > η( ) ( θ) ( )Λ 表示式 5的唯一解 . 且 m ?2 ,时 m , ? 8 (θ) ( )Λ 为负值严格增连续函数 , m ?, ?时 m , ? ( ) ( ) 2 都有 K m , n ? > 0 且 K m , n 关 2 2 ( )m m - 4 ( )为正值连续函数. 又 n ??时对所有的 m ?2 , ? ( ) 于 m 为 2 , ?上的严格减函数. 若 n > 2 , 则存在唯 ( ) ( ) ΛΛ一致地有 m , n??m , ?. η( ) 一的 m = n满足方程 ( ) 证明 由文献 [ 3 ]之式 6知 m > 2 , n > 0 时 ( )( ) 4 K m , n= 0 , 2 < m < ? 1 1 1 Λ( )= lim + ? + + - m , n ( ) ( ) η而且 n 为 2 , ?上的连续可导致严格减函数 , k ?? m m + 2 m + 2 k ( ) ( ) η实际 上 还 可 证 得 Π n ?2 , ?皆 有 ′n < 0 . m < 1 1 1 + ? + + + m + n m + n + 2 m + n + 2 kη( ) ( ) n 时 K m , n 为 m 的 正 值 严 格 减 函 数 , m > 1 1 1 η( ) ( ) n 时 K m , n保持取负值 . ( ) ( )()+ ln m - 2- ln m + n6 m 2 2 证明 见文献 [ 3 ]定理 1 之证明. ( ) 在式 6中 , Π m > 2 , n > 0 显然连续且由引理 1 知 η( ) ( ) 引理 2 n , n ?2 , ?的定义由引理 1 给 5 Λ( ) ( ) ( ) m , n= K m , n 6m存在连续 . 由式 知 Π 出 . 再定义 5 m 1 11 )= ( - - K m , ? > 2 , n > 0 有 2 2 m - 2 m 2 5 5 ( ) ln M m , n= Λ( ) 1 1 = m , n5 n 5 m 5 n ? + +, Π m > 2 . 2 2 ( ) m m + 2 1 1 1 1 + + ?( )- 7 ( )( ) K m , n 则 n ??时对所有 m ?2 , ?一致地有 2 2 2 m + n ( ) ( ) m + n m + n + 2) ( ?? K m , ?. 5 Λ( ) ( ) ( ) m , n 在{ m , n : m > 2 , n > 由式 7知η此外存在唯一的 m = > 2 满足方程 5 n ( ) Λ0} 上处处连续 , 即 m , n 在该区域上处处连续可 ( )5 ) ( K m , ?= 0 , 2 < m < ? ( ) 导 . 此外 , 由式 7知 ( ( η) ηη) 而且 n ??时 n ??且 n ?2 时 n ???. 19 ( θ( ) ( ) (θ( ) )) Λ5 1 ?2 ,n时有 m , n < 0 , m ?n , ? m Λ( )m , n > + )( ) ( 5 n m + nm + n + 2 ( ) Λ时则有 m , n> 0 . 1 1 1 ( ( ) θ) + ? - 再证n 在 2 , ?上连续可导且严格减 . 事实 = ( ) ( )m + n + 2m + n + 4 2 m + n 5 Λ ( ) ( ) 1 知 , K m , n = m , n 在 上 , 由 引 理 1 1 1 1 5 m 0 . = - 2 2 m + n m + n 5 ( η( ) ) ( ) ( η( ) ) θΛ2 ,n上取正值且 n?2 ,n, 故有 5 5 m Λ( ) ( )即 8 m , n> 0 , Π m> 2 , n > 0 5 n 5 (θ( ) ) ( ) Λ ( ) n , n > 0 , 又 K m , n = m , n 及 另外 , Π n 为常数 , 且 n > 0 时 , 5 m 5 5 1 1 1 Λ( ) ( ) m , n在{ m , n: m > 2 , n > 0 } 上连续且 ( ( ))+ ln m- ln m lim - 2 + n?, = - 5 n 5 n m ?2 m 2 2 Λ( ) ( ( ) θ) m , n> 0 , 由隐函数定理推知 n 在 2 , ?连 又 m > 2 时 续可导且 1 1 1 0 < lim+ ? + + - m k ?? + 2 k + 2 m m 5 Λ(θ( )) n , n 5 n 1 1 1 θ( )′n = - < 0 , + ? + + < 5 2 m + n + 2 k + n + m + n m Λ(θ( ) )n, n 5 m 1 1 1 ++ + ?0 . > n 2 22( ) ( ) θ由此又可推知 n在 2 , ?上为严格减函数. 462 θ( ) ( Λ 再证limn= ?. 实际上 , Π m > 2 有 m ,由此推知 n ?2 ( ) Λ( ) 9 ) ( ) ( ) Λlimm , n= - ?, Π n > 02< 0 , 又 m , 2在 2 , ?上严格增 , 故 Π M 为常 m ?2 Λ( ) ( ) ( Λ数 > 2 , m , 2?M , 2为常数 < 0 , Π m ?2 , 又 Π n 为常数 , 且 n > 0 时 , 1 ( 1 1 ) M . 再由式 7 , 8知 ( ) ( 2- 〗ln m)- lim + ln m= + n m ?? m 2 2 1 1 1 5 Λ( ) C = + + + ? , 0 < m , n<2 2 2 5 n 4 6 8 1 1 m + n - lnlim = 0 , m ?? m 2 m - 2 Π m > 2 , n ?2 . Π m > 2 , δΛ( ) δ取 = co nstant > 0 使之满足 C< - M , 2, 则 1 1 1 ( Λ( ) Π m ? 2 , M , m , n< 0 < lim+ ? + + - k ?? m m + 2 m + 2 k Λ( ) ) Λ( ) δ ( m , 2+ C n - 2< M , 2+ C< 0 , 1 1 1 + ? + + = ( δ) Π n ?2 , 2 + . + n + 2 2 k n + m + n m m + ( δ) ( ) θ不难看出 , n ?2 , 2 + 时 n> M . 由此证得 1 1 + ? n + < θ( ) ( )n ???, n ?2 12 ( )) ( )( m m + n m + 2m + n + 2 再证 m > 2 时 1 1 n + ? + = .n ( ) ( )( )m - 2m m m + 2 2 m - 2 Λ( ) m , ?= 由此又可推知 1 1 1 lim + ? + + + N ?? m + 2 m + 2 N m Λ( )= 0 , Π n ( )lim m , n> 0 10 m ?? 1 1 1 ( ) ( + ln m- 2- ln m + 2 N + 2再由引理 1 , 0 < n ?2 时 Π m > 2 有 m 2 2 5 有意义且为连续函数 . 首先注意 ( ) = K m , n > 0 , Λ( )m , n 5 m 1 1 1 1 ++ + + ? + ( ( ) Λ) 由此即知 m , n 关于 m 在 2 , ?上严格增 , 再 m + 2 m + 2 N m m ( ) 由式 10推知 1 1 ( ) ( ) + 2= ln m - 2-m + 2 Nln 2 2 Λ( ) ( ( )m , n < 0 , Π n ? 0 , 2 , m > 2 11 1 1 ( Λ) n > 2 . 则由引理 1 易知 m , n 关于 m 再设 ( )[ ln m- 2 - ln m ] + + m 2 (η ( ) ) ( ) 在 n , ?中 严 格 减 , 由 式 10 可 知 Π m ? 1 1 η( ) ) ( ) ( ) Λ + ? + [n, ?皆 有 m , n > 0 . 同 样 由 引 理 1 知 [ ln m- ln m + 2] + 2 m Λ( ) ( η( ) ) m , n 在 2 ,n 中为 m 的严格增函数 , 再由 式 1 1 ( ) ( ) [ln m + 2 N- ln m + 2 N + 2+ .] ( ) (η( ( Λ ) ) θ) 9及 n , n > 0 推知 , 有唯一的 n ? 2 m + 2 N ( η( (θ( ) ) ) Λ ) 2 ,n使得 n , n = 0 . 由 上 分 析 且 易 见 又 Π m > 2 , j ?N ?{ 0} , 有 20 Λ( ) 1 m , 2 N+ 2= ( ) 0 < [ ln m + 2 j -2 1 1 1 + + +? + 1 m + 2 mm + 2 N ( ) l n m + 2 j + 2] + = m + 2 j 1 1 1 2 2 ( ) ( ) m + 2 N + 2ln + m - 2-ln , 1 d t 1 d t 2 2 m + < - 2?m 2?m + 2 j + t + 2 j 0 0 () ( ) ΛN ??时它对所有 m ?2 , ?一致收敛到 m , ?. 1 .2 () ( Λ) 又由式 8可以看出 m , n关于 n 单调增加 ,综合以 ( ) m + 2 j 不难得知 N ??时 ( () Λ) 上分析推知 n ??时 m , n对所有 m ?2 , ?一致 地 1 1 1 (Λ( ) θεθε)ε收敛于函数 m , ?. 再设为满足 - ,+ ? + + + + m m + 2 m + 2 N () < 2 , ?的任一正常数 ,则由前面分析易知 1 1 1 ( ( )) + ln m- ln m- 2 + 2 N + 2, Λ(θ ε) Λ(θ ε) ( )- , ?< 0 , + , ?> 0 17 m 2 2 由收敛性知有 N 为常数 , N > 0 使得 Π n ?N 有 ( ) 对所有 m ?2 , ?一致收敛到 Λ(θ εΛ(θ ε)) - , n< 0 , + , n> 0 .1 1 ( )- 2 - ln m ] + + [ ln m(θ( ) (θ( ) ( Λ) ) Λ注意 n , n = 0 且 m ?n , ?时 m , 2 m ) ( ) ε( ) θεθθθn > 0 , 故知 n /?- , 即 n > - , 同理有 1 1 ( ) [ln m- ln m + 2] + + 2 m θ( ) θε( ) (θεθε) θn<+, 即 n?- ,+. 由此推出 θ( ) ( )θn ??, n ?? 18 1 1 ( ) ( ) + ?, [ ln m + 2- ln m + 4] + 2 m + 2 定理证毕 . ( ) ( ) Λ故知 m , ?在 2 , ?上有意义且为连续函数 , ( θΛ1推论 Π m , n :2 < m ?, n > 0 , 皆有 m , 同时 θ) n < 0 . Π m >, 方程 1 1 Λ( ) m , n= 0 , n > 0 , Λ( )( m , ? [ ln m) = + - 2- ln m ] + 2 m μ( μ( ( (θ) ) μ) 存在唯一解 n = m 且 2 < m < ?, 又 ′m 为 , 1 1 ( ) ln m + 2] + + - [ ln m) ( ) (θ) μ?上的负值连续函数故而 m 在 , ?上严格减. 2 m μ( ) ( ) μ( ) Λ 当 0 < n < m 时 m , n < 0 , n > m 时 1 1 ( ) ( ) [ ln m + 2- ln m + 4++ ?, ] 2 m + 2 Λ( ) μ( ) θ( ) m , n> 0 . 又 n = m 与 m = n 互为反函数 . ( )13 ( )m ? 2 , ? ( ) θΛ证明 先假定 2 < m ?, 易知 m , ??0 , ( ) 由式 13不难求得 5 d 1 1 1 Λ( ) ( ) Λ再注意 m , n> 0 故 m , n 关于 n 严格增 , Λ( ) m , ?=- - 2 5 n d m 2 m - 2 m 故 Π n 皆有 1 1 ? + +) ( = K m , ?, 2 2 Λ( ) Λ( ) Λ( ) m , n < lim m , n= m , ??0 .( ) m m + 2n ?? ( )( )m ? 2 , ? 14 θ( ) ( ) θ再设 m >. 注意 n 为 2 , ?上的严格减函 ( ) ) ( 式 14中 K m , ?由引理 2 定义. 此外可知 ( ) (θ) θ数 , 连续可导且 ′n < 0 , 其值域为 , ?, 故知存 Λ( )limm , ? = - ?, (θ) ( μ) 在 , ?上的连续可导严格减函数 m 为其反函 m ?2 ( )15 1 Λ( ) lim m , ?= 0 ( ) μ( ) 数且其值域为 2 , ?,′m = < 0 . 再 m ?? θ(μ( ) )′m ( ) ( η) ( ) θ又由文献 [ 3 ]之式 20可以看出 , m ?2 ,时 由 n的定义可知 ) (η) ( ) ( K m , ?> 0 , m ?, ?时 Λ( μ( ) ) Λ(θ(μ( ) ) μ( ) ) ?< 0 , 故由 K m , m ,m = m m = 0 . ,( ) (η)( ) Λ Λ 式 14 , 15可以看出 , ? > 0 且 m , ?在 ( ) Λ再由 m , n 关于 n 严格增这一事实可知 Π n ? (η) Λ( ) (η) 2 ,中严格增 ,m , ?在 , ?中取正值且严 (μ( ( (μ( ) ) ) ) Λ) 0 ,m 有 m , n < 0 , 而 Π n ?m , ?有 格减 , 故知方程 Λ( ) μ( ) ( )Λm , n > 0 , 这也推知 n = m 为方程 m , n ( )Λ( ) 16 m , ?= 0 , 2 < m < ? ( ) ( ) μ= 0 在 n ?0 , ?中之唯一解 , 因 m 的值域为 θ θ η( θ) 有唯 一 解 m = 且 2 < < , 又 m ?2 , 时 ( ) θμ( ) 2 , ?, 故 Π m >, 有 2 < m < ?. Λ( ) (θ) m , ?为负 值 严 格 增 连 续 函 数 , m ?, ?时 θ( 推论 2 3 << 4 , 由此 Π m ?2 , 3 , n > 0 皆 Λ( ) m , ?为正值连续函数. Λ( ) μ( ) ( )有 m , n < 0 . Π m ?4 , 皆有 n = m ?2 , ? ( ) 再注意由式 6知 Π N ?N 有 ( μ( μ( ( Λ) ) ) Λ) 使得 m ,m = 0 , n < m 时 m , n < 0 , 21 海科学技术出版社 ,1959 . 1 - 59 . μ( ) ( ) Λn > m 时 m , n> 0 . Erdelyi A. Higher Transcendental Functio ns M . Zhan g ( θ) 证明 只需证 3 << 4 . 实际上 , 由式 13及其 Zhizho ng Translated. Shanghai : Shanghai Science and 前面的分析 , 可知 Technology Publishing , 1959 . 1 - 59 . 1 1 Λ( ) ( )3 , ?< [ ln 3 -2 - ln3 ] + + 2 王竹溪 ,郭敦仁 . 特殊函数概论 M . 北京 : 科学出版社 , 2 3 1965 . 105 - 144 . 1 1 ( ) + [ ln3 -ln 3 + 2] + WAN G Zhu- xi , GUO Dun- ren. Special Functio n Int roduc2 2 3 tio n M . Bei jing Science Publishing , 1965 . 105 - 144 . 刘 1 1 1 1 2 1 + ++ + ? <+ln5 - 2 222 3 2 3 511 79 晓 鹏 , 刘 坤 会 . 与 F 分 布 有 关 的 二 阶 偏 导 数 之 性 质 J . 1 1 1 1 () 北京交通大学学报 ,2004 ,28 6:22 - 27 . +++ +2 22 9 ×11 57 9 L IU Xiao-peng , L IU Kun- hui . Characters of Seco nd Order 1 1 Partial Deivative Related to F Dist ributio n J . Journal of + +? < 0 , 11 ×13 13 ×15 () Beijing J iaoto ng U niversit y , 2004 ,28 6:22 - 27 . 4 θ由此推知 > 3 . 此外 L IU Xiao-peng , L IU Kun- hui . The Density Curve of F Λ( ) Λ( )4 , ?> 4 , 10 = () Dist ributio n J . Pro gress in Nat ural Science. 2004 ,14 3: 1 1 1 1 1 73 - 75 . + + + + + 5 4 6 8 10 12刘晓鹏 ,刘坤会 . 密度函数高度之变化 J . 北方交通大 1 1 1 () 学学报 ,2003 ,27 6:73 - 78 . ( ) ( )> 0 , + 4 -2- 4 + 10ln ln 4 2 2 L IU Xiao-peng , L IU Kun- hui . So me Changes of Height θ由此又知 < 4 . 证毕. o n Density Functio n J . Journal of Nort hern J iaoto n g U ni2 有关 F 分布密度函数的其它研究结果可参看 () versit y , 2003 ,27 6:73 - 78 . 6 文献 [ 3 - 6 . 不难看出 , 对于研究许多概率密度函数 刘晓鹏 ,刘坤会 . 密度曲线之交点 J . 北方交通大学学 () 的性质 , 本文论述的方法和结论是很有用处的 . 报 ,2003 ,28 3:27 - 33 . L IU Xiao-peng , L IU Kun- hui . Intersectio n Point s of Den2 参考文献 :sit y Curves J . Journal of Nort hern J iaoto n g U niversity , [ 美 ]爱尔台里 A. 高级超越函数 M . 张致中译 . 上海 :上 1 () 2004 ,28 3:27 - 33 . 简?介? 轮 对 尺 寸 自 动 测 量 系 统 轮对尺寸自动测量系统由机体 、轮对自动进给 、导向机构 、轮对几何参数及缺陷测量机构 、计算机与信号 采集处理系统等 5 部分组成 ,完成对轴中央直径 、轮径 、轮缘厚 、轮对内侧距 、轮辋宽 、踏面圆周磨耗 、踏面擦 伤及剥离等参数的自动测量与 . 技术特点 () 1采用通过式测量方式 . 测量系统实现轮对在车间线路上行走的条件下 ,对其几何参数及缺陷自动进 行测量与检测 ,测量系统完全改变了既有技术需要复杂液压系统和转动机构的局面 ,从而使得整个测量系统 具有机构简单 、成本低 、设备故障率低等优点 ,极大地缩短了测量周期 . () 2采用具有完全自主独立知识产权的 5 套不同的平行四边形机构和对应的激光位移传感器 ,实现了对 轮对几何参数的准确测量 . 按照测量参数的定义 ,采用平行四边形机构和激光传感器 ,准确快速测量轮对的 () 轴中央直径 、轮径 包括多点轮径及左右轮径差等参数、轮缘厚 、轮对内侧距 、轮辋宽 、踏面圆周磨耗 、踏面擦 伤深度及长度等参数 ,同时对剥离进行自动检测 . 自动生成 51 - C 报表. 技术指标 )(科技处 踏面直径的误差 ?0 . 2 mm ; 轮辋厚误差 ?0 . 4 mm ; 轮辋宽误差 ?0 . 3 mm ; 圆周平均磨耗误差 ?0 . 2 mm ;轮对内测距误差 ?0 . 2 mm ;其它参数的测量误差 ?0 . 2 mm ;测量周期小于 40 s.