导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 网www.gaokao.com 1.4课 题:导数在实际生活中的应用 教学目的: 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法; ?初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题( 教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题( 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地，设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x)00 ,f(x)，就说f(x)是函数f(x)的一个极大值，记作y=f(x)，x是极大值点 极大值0000 2.极小值:一般地，设函数f(x)在x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x),f(x).000就说f(x)是函数f(x)的一个极小值，记作y=f(x)，x是极小值点 极小值000 3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别f(x)是极大、极小值的方法: 0 ,若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，f(x)f(x)xf(x),0xx0000 ,是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，f(x)f(x)f(x)xx000 ,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，f(x)f(x)f(x)xxf(x)0000是极小值 5. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成#格#.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小,,f(x),,a,ba,b 值(?在开区间内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值( ?函数的最值是比较(,)ab 整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的(?函数f(x)在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条,,f(x),,a,ba,b 件((4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7.利用导数求函数的最值步骤:?求f(x)在内的极值;?将f(x)的各极值与f(a)、(,)ab 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com 比较得出函数在上的最值 f(b)f(x),,a,b 二、讲解范例: 例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大,最大容积是多少, x_ x x x_ 60_ 解法一:设箱底边长为 60_ xcm，则箱高 60,xcm，得箱子h,2 容积 2360x,x2() ( (0,x,60)Vx,xh,2 23x, (0,x,60)Vxx()60,,2 23x,令 ,0，解得 x=0(舍去)，x=40， Vxx()60,,2 并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 3答:当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 解法二:设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则60-2xx得箱子容积 60-2x60-2x2((后面同解法(0,x,30)V(x),(60,2x)x6060-2xx一，略) 60由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小， 所以最大值出现在极值点处( 2360x,x22()事实上，可导函数、在各自的定义域中V(x),(60,2x)xVx,xh,2 都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省, 解:设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 2S=2πRh+2πR V2由V=πRh，得，则 ,h2,R V2V22S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR 2,RR 2V,令 +4πR=0 sR(),,2R V4VVVV333解得，R=，从而h====2 22,,,,RV23,()2, 即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 用材料最省, 2,S2R,2 提示:S=2+h= ,,Rh2,R2,R 2,11S2R,223(S2R)RSRRV(R)=R= ,,,,,,,2,R22 222)=0 ( V'(R),,S,6,R6,R,2,Rh，2,R,h,2R 例3在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x),C(x)称为利润函数，记为P(x)。 ,632(1)、如果C(x),，那么生产多少单位产品时，边际10x,0.003x，5x，1000 ,最低,(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量) C(x) (2)、如果C(x)=50x，10000，产品的单价P,100,0.01x，那么怎样定价，可使利润最大, 变式:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com 1关系式为(求产量q为何值时，利润L最大, p,25,q8 :利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格(由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润( 11,,2解:收入， Rqpqqqq,,,,,,2525,,88,, 11,,22利润 (0100),,qLRCqqqqq,,,,,,,,,25(1004)21100,,88,, 1, Lq,,，214 1,令，即，求得唯一的极值点 q,84L,0,，,q2104 答:产量为84时，利润L最大 三、课堂: 321.函数y=2x,3x,12x+5在,0，3,上的最小值是___________. ,,2.函数f(x)=sin2x,x在,,,,上的最大值为_____;最小值为_______. 22 3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___. 22xy4.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____. ，22ab 5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大 ,,aa3答案:1. ,15 2. , 3. 4.a b 5.R 2222222 四、 : ?解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义( ?根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较( ?相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 五、课后作业: 1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少, 532解:(1)正方形边长为x,则V=(8,2x)?(5,2x)x=2(2x,13x+20x)(0时，l′>0. 3,2444h333 423S?h=时，l取最小值，此时b= S433 学而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ 高考网www.gaokao.com