线性流形上D反对称矩阵反问题的最佳逼近

线性流形上D反对称矩阵反问题的最佳逼近 线性流形上D反对称矩阵反问题的最佳逼 近 赫 92?0$ 帮 专零?醯|| 线性流形上D反对称矩阵反问题的最佳逼近 ◎张华珍(湘西民族职业技术学院湖南吉首416000) 【摘要】本文研究了线性流形S={A?D-2A.sR…A— BIl=min,X,B?}上矩阵方程A)=lY—zII=rain的 D反对称解,利用矩阵的奇异值分解,给出了这类线性流形 上矩阵方程存在D反对称解的充要条件及其通解表达式. 另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式. 【关键词】D反对称矩阵;线性流形;最佳逼近 1引言 张忠志等人研究了D对称矩阵,D反对称矩阵反问题 的最小二乘解以及线性流形上D反对称矩阵反问题的最 小二乘解:易学军等人研究了线性流形上D对称矩阵反问 题的最小二乘解.本章在此基础之上研究线性流形上D反 对称矩阵反问题的最佳逼近,给出了可解的条件和通解的 表达式,以及解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式. 采用如下记号:令,表示nXm阶实矩阵集合,表 示所有n阶单位矩阵,OR表示所有n阶实正交矩阵集 合,SR表示所有n阶实对称矩阵集合,AS表示所有rb 阶实反对称矩阵集合,VA,B?R一,定义A与曰内积为 ,B)=tr(BA),这里"打"表示方阵的迹,由此内积诱导的 范数为Ill=,/,A)=,/玎(rA).显然,此范数为 Frobenius范数.一构成一个完备的内积空间.日表示A 与日的Hadamard乘积,即对于矩阵A=(%),曰=(6)?R 贝0有AB=(n)?尺一. 定义1给定D=diag(d1,d2,…,)?R,其中dr>0, r=1,2,…,rt,A?R,,若D2A?A一,则称为D反对称 矩阵,D反对称矩阵的全体记为D2ASR,,显然,D2ASR= {AIA=D-2B,B?ASR}, 记DR={AIA=D2B.BESR}. 令S={A?D-2ASR…A一曰lI:rain,X,B?Rn}. (1.1) 由文献『3]知S是非空的线性流形.本章研究如下问题: 问题已知y,Z?R,求AES使得厂()=IIAY— ZII=min.(1.2) 2主要结论 引理1设D的奇异值分解为D=()…_ ?.(2.1) 其中U=(l,U2)?0R怵,Ul?n?,V=(l,V2)?0R一, Vl?,?=diag(1,r,2,…,r,),>0,(i=1,2,…,f).则 (1.1)中集合S有下面的形式: s=AJA=Ao+(o)f/,VW?ASR')×(H}.(2.2) 其中Ao=U(卜T.B = ()E,:南,(?,?)' 引理2E已知.B?R一.设的奇异值分解为X= P(o)QT,其中P=(JpI,)0尺一,JpIR,Q=(Q,Q) OR,QI?R一,F=diag(',I,,…,)>0,=rank(),令 = ,(1?i,j?s),=()?尺,则 (1)IIAX—BII=min在A中的解集为: = {Af-F氇卜)刀IG AS尺'一)×(n-s). (2)AX=曰在中有解的充分必要条件为B=BX+X, XTB=.且在有解时,其解的通式为 =PI \只 PIrB p Q~ , F r - . r), V?A.S(一)×(一j. 定理1令Y=DY,Z=U2(Z—AoY),Y奇异值分 解为:=P()QT,其中P=(P2),Q= (QlQ2)?OR,P1?R(n-t)x~,Q1?R,F=d:ag(l,2,?--, >0冷,(1'贝0 问题的解集为: s=A=Ao+U(:.)咖,SR).(2.3) 其中Wo=p (O(Jpl,F-FQ-)rQ-1\厂0/ 因为As,由引理1有A=A.+u(:)啪. (2.4) 于是有|厂(A)=IIAY—Zll= AoY+U():Y-Z= ),,一Ur(Z= II-U1T(Z—A0Y)ll+IIW)Y—L(z—A0Y)II= II-U1(z—A.Y)II+IIWY一(2) 由(2.5)式可知f(A)=IIAY—ZII=rain等价于IIWY一 I:min. 由引理2可得到: :Pf(PI?,一,Q-)一rQ一1:.+ \p2rZQFW/ P2(2.6) 其中W?AS'一)×(一. 将(2.6)式代入(2.4)式即得(2.3)式. 定理2假定条件和符号与定理1一致,则由引理1 和引理2可得到问题中f(A)=0(4?S)的充分必要条件 是::一Zr—y, Z:Z—Y+ . (2.7) 且(2.7)式成立时f(a):0的通解为: A=.+u(:+P2o, 2 ,其中 Wi:PfJpIZQ?,一,Q-1,?ASR一)×【一. \,F-0/ 数学学习与研究2009.9