12郭丽-玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合.doc

12郭丽-玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合.doc 玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合 郭丽 包头师范学院数学科学学院 摘要:本文通过三叶玫瑰线的极坐标方程绘图命令，探求玫瑰线的花瓣数随n变化而变化的规律，同时还讨论了正方形与圆形的嵌套图形的绘制。 关键词:Mathematica 玫瑰线 图形嵌套 花以它独具的自然美使人赏心悦目，在生活中往往被人们当作理想、希望、幸福的象征。生活中有了花就有了灵气，程序中若也能“开”出几朵简单的花来，那该有多好。本文介绍的程序不仅能绘出形状各异的花朵，而且还可以用静态、动态和旋转三种不同的方式来呈现。本文的花都是依托数学公式中描述的曲线来绘制的，在给大家带来美的感觉的同时，也可以让大家直观地感受到数学公式中各个参数对结果的影响。用程序来实现这样的数学曲线，代码简单，运行高效。 一(公式带来的灵感之玫瑰线绘制 数学中有三叶玫瑰线(方程为)、四叶玫瑰线(方程为,,A,Cos(3,) )等曲线，这些曲线的极坐标方程很简单，基本形式均为:,,A,Cos(2,) )，即任意一点的极半径 是角度的函数。而极坐标系中的曲,,A,Cos(n,),, 线难以用传统的方法绘出，如果借助于数学软件<>这项工作就变得Mathematica 易如反掌。极坐标方程的直角坐标方程为: ,,x,A,Cos(n),Cos(); y,A,Cos(n,),Sin(,) 在程序中控制角度使其从变化到，描出极半径所对应的点，这样就,02,, 可以绘出漂亮的玫瑰线;根据直角坐标方程，可以写出极坐标方程在<>中的绘图命令: Mathematica r[t_]:,r[t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,t,t}]12 当然，不同所描出的曲线的形状也就不同。下面就通过几个方面的研究来n 探求玫瑰线花瓣数随n变化而变化的规律。 ? 当n为奇数时，通过绘图命令，观察规律: (第1页，共9页) 三叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[3t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 五叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[5t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 七叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[7t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 344 2 221 -3-2-11234-3-2-11234-2-11234 -1-2-2 -2 -4-4 -3(三叶) (五叶) (七叶) 依次推导下去，就可以推出玫瑰线方程的通项公式 ParametricPlot[{4Cos[(1，2n),t]*Cos[t],4Cos[(1，2n),t]*Sin[t]},{t,0,,}, AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]](n,1,2,,,,) 这样我们就可以根据该程序绘出所有的基数叶的玫瑰线。当n为基数时，花为n ,,0,,tt瓣。花瓣数与n相同。的取值范围为，在此范围内，玫瑰曲线完整，无 (第2页，共9页) 重叠现象。若的取值范围超过,,，玫瑰曲线就会出现不同程度的重叠。 0,,t ? 当为偶数时，不含叶玫瑰线，观察规律: n6,10,14,18,,,2，4n(n,1,2,,,) 四叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[2t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 八叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[4t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 十二叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[6t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 444 222 -4-224-4-224-4-224 -2-2-2 -4-4-4 (四叶) (八叶) (十二叶) n6,10,14,18,,,2，4n(n,1,2,,,)依次类推下去，就可以推导出当为偶数(不含叶玫瑰线)时玫瑰线方程的通项: ParametricPlot[{4Cos[2nt]*Cos[t],4Cos[2nt]*Sin[t]},{t,0,2,}, (第3页，共9页) AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]](n,1,2,,,,)这样就可以根据该程序绘出不含叶玫瑰线的，其他所有的偶数叶2，4n(n,1,2,,,) 的玫瑰线。当为偶数(不含叶玫瑰线)时，花瓣数是2瓣。 n2，4n(n,1,2,,,)nt的取值范围为,,0,2,。在此范围内，玫瑰曲线完整，无重叠现象。若的取值范 tt围为,,0,,，则不能够形成完整的玫瑰线。 ? 叶玫瑰线 2，4n(n,1,2,,,) 之所以对这些玫瑰线进行单独讨论，是因为它们具有一定的特殊性。若想要绘出六叶玫瑰线，通过上面讨论的两种分类是绘不出来的。假设 ，根据情况?，n,6绘出十二叶玫瑰线;假设，根据情况?，绘出三叶玫瑰线，无法实现。那n,3 么应该如何绘出这些比较特殊的玫瑰线呢,通过实验，找出了两种途径来解决这一问题。 途径一:组合 所谓组合，就是将原图象进行一定角度的旋转，形成一个新的图象，然后通过语句将两个图象组合起来。下面举个例子来说明。 Show 六叶玫瑰线: r[t_]:,4Cos[3t] g1,ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, PlotPoints,50] r[t_]:,4Sin[3t] g2,ParametricPlot[{r[t]*Sin[t],r[t]*Cos[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, PlotPoints,50] Show[g1,g2] (第4页，共9页) 3 323 22111 -4-3-2-112-2-11234-4-224-1-1-1 -2-2-2-3-3 -3 g1 g2 (组合) 这种方法比较原始，通过已知曲线的绘图命令，将其旋转，再将两个图象组合在一起。 途径二:改变直角坐标方程中的参数 如何实现,通过六叶玫瑰线来说明 r[t_]:,4Cos[6t] ParametricPlot[{r[t/2]*Cos[2t],r[t/2]*Sin[2t]},{t,0,2,}, AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 3 2 1 -4-224 -1 -2 -3 (六叶) 由途径一的思路，知道由三叶玫瑰线到六叶玫瑰线。要想画出六叶玫瑰线就要通 {r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]}t过三叶玫瑰线，怎样才能实现,只要将中的r[t]的参数 改成，这样在r[t]的赋值函数中参数就变成了。就出现了三叶，但这是不 t/23t (第5页，共9页) 够的，所以还要将和中的参数 扩大2倍，变成。的取值范围不 ttCos[t]Sin[t]2t 变，这样就能够画出六叶玫瑰线。十叶、十四叶„„叶的玫瑰线2，4n(n,1,2,,,)也可以用这种方法绘出。也可以出这些特殊玫瑰线的通项: ParametricPlot[{4Cos[(2，4n)t/2]*Cos[2t],4Cos[(2，4n)t/2]*Sin[2t]},{t,0,2,}, AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]](n,1,2,,,,) 也可以扩大画图参数来扩大其范围，在这里就不详细说明了。 t ? 当为小数时，则不是玫瑰线。 n y? 当为奇数时，其图象左、右交替。所谓左右交替就是在轴的左、右两边， n 总是有一半的玫瑰花瓣数比另一半的玫瑰花瓣数多1。在三叶玫瑰中，左边有两叶玫瑰花瓣，右边有一叶玫瑰花瓣;在五叶玫瑰中，左边有两叶玫瑰瓣，右边三叶玫瑰瓣。在七叶玫瑰中，左边四叶，右边三叶玫瑰瓣。而且无论是在哪一种情况下，随着参数的增加，会出现分布不均匀的缺口。 r[t_]:,4Cos[331t]? ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] r[t_]:,4Cos[330t]? ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] r[t_]:,4Cos[222t]? ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[1,0,0]] 语句 这种缺口现象可以通过改变图形的点的数量程度来改进。运用PlotPoints例如: r[t_]:,4Cos[331t] ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic, (第6页，共9页) PlotStyle,RGBColor[1,0,0],PlotPoints,130]二(动画实现 通过上面几个方面的研究，我们已经知道了玫瑰线的花瓣数随变化而变n化的规律。下面就通过动画来让玫瑰花“开花” ?奇数: Table[ParametricPlot[{4Cos[(1，2n)t],Cos[t],4Cos[(1，2n}t],Sin[t]},{t,0,,}, AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0.05i,1,0.1i,0.2i]], {n,1,15},{i,1,5}] ?偶数: Table[ParametricPlot[{4Cos[2nt],Cos[t],4Cos[2nt],Sin[t]},{t,0,2,}, AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[0.2i,0,0]], {n,1,7},{i,1,5}] ?特例: Table[ParametricPlot[{4Cos[(2，4n)t/2],Cos[2t],4Cos[(2，4n}t/2],Sin[2t]}, ,{t,0,2},AspectRatio,Automatic, PlotStyle,RGBColor[0.2i,0,0.06i]], {n,1,8},{i,1,5}] 三(正方形与圆形的嵌套组合 正方形与圆形的组合在日常生活中、教学中都会碰到，而运用传统的方法也可绘出简单的嵌套组合。但对于圆形的多次嵌套，传统方法是无法绘制的。而通过<>这种嵌套会很容易绘出，嵌套组合的灵感来源于Mathematica <>软件书中的二维图形。 Mathematica 首先，根据图形的特征，先将最外层的正方形画出来，并将其9等分: (第7页，共9页) Line[{{,6,,6},{6,,6},{6,6},{,6,6},{,6,,6},{,6,,2},{6,,2},{6,2},{,6,2},{,6,6},{,2,6}, {,2,,6},{2,,6},{2,6}}] Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],%},AspectRatio,Automatic]] 然后根据正方形的大小绘出与该正方形相内切的圆形: Show[Graphics[{RGBColor[0.6,0.9,0],Circle[{0,0},6]},AspectRatio,Automatic]]第三步:画出大圆中的若干小圆: Show[Graphics[{RGBColor[0.5,0.7,0],Circle[{0,4},2],Circle[{0,,4},2],Circle[{4,0},2],Circle[{4,0},2]}],Graphics[{RGBColor[0.2,0.6,0.5],Circle[{0,5},1],Circle[{0,3},1],, Circle[{5,0},1],Circle[{3,0},1],Circle[{0,,5},1],Circle[{,5,0},1],Circle[{0,,3},1], nn2,2，112,2，11Circle[{,3,0},1]}],Graphics[Table[{Circle[{0,},],Circle[{0,,},],nnnn2222 nn,，,，22112211Circle[{,0},],Circle[{,,0},]},{n,15}],nnnn2222 PlotStyle,RGBColor[0.8,0.4,0.2]],AspectRatio,Automatic, PlotRange,{{,6,6},{,6,6}}] 最后将上述三步的语句组合在一起即可。 Line[{{,6,,6},{6,,6},{6,6},{,6,6},{,6,,6},{,6,,2},{6,,2},{6,2},{,6,2},{,6,6},{,2,6}, {,2,,6},{2,,6},{2,6}}] Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],%}],Graphics[{RGBColor[0.6,0.9,0],Circle[{0,0},6]}], Graphics[{RGBColor[0.5,0.7,0],Circle[{0,4},2],Circle[{0,,4},2],Circle[{4,0},2], Circle[{,4,0},2]}],Graphics[{RGBColor[0.2,0.6,0.5],Circle[{0,5},1],Circle[{0,3},1],Circle[{5,0},1],Circle[{3,0},1],Circle[{0,,5},1],Circle[{,5,0},1],Circle[{0,,3},1], nn2,2，112,2，11Circle[{,3,0},1]}],Graphics[Table[{Circle[{0,},],Circle[{0,,},],nnnn2222 nn2,2，112,2，11Circle[{,0},],Circle[{,,0},]},{n,15}],nnnn2222 PlotStyle,RGBColor[0.8,0.4,0.2]],AspectRatio,Automatic, PlotRange,{{,6,6},{,6,6}}] (第8页，共9页) 正方形与圆形的嵌套组合的思想是:先要找到图形的原点，然后以适当长度(此 处选定为6)画出大正方形，小正方形及最大的圆形。然后在距离原点等距离(等 距离为2)的四个小正方形中画圆形，圆的半径为2。在这四个小圆中，在以1 为半径画圆，之后所画的圆形，半径均为上个圆形半径的1/2。圆心分别逐渐接 近于2和-2。 通过对玫瑰线花瓣及正方形与圆形的组合的研究，让大家了解到在传统教学 中无法绘制的图形可以通过<>来解决。 Mathematica 参考文献: [1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册) 北京:高等教育出版社,2002 [2]张栋恩,许晓革.高等数学实验 北京:高等教育出版社,2004.7 [3]王兵团,桂文豪. 数学实验基础 北京:北方交通大学出版社,2003.11 [4]张楚亭. 数学文化 北京:高等教育出版社,2004.4 [5] The rose line flower petal and the combination and nesting to square and circular Guo Li The mathematics science department of Bao Tou Teachers’ College Abstract: This text pass three leaves the rose be linear of sit to mark a equation painting an order very much, investigate the flower petal of rose line a number with the regulation of n variety but variety, still discussed the combination and nesting to square and circular draw of sketch in the meantime. Keyword: The Mathematica ;rose line ;sketch combination and nesting (第9页，共9页)