椭圆面积公式的推导

椭圆面积公式的推导 韩贞焱 ,贵州省遵义四中 563000～ 椭圆面积公式S=ab,其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的, 长,.在中学数学教材中～仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过～直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导～供读者参考. 定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 . 注:此定理相当于祖暅原理的推论，故从略. 22xy'，,1方法一:设椭圆C的方程为,a>b>0,,辅助圆C的方程22ab 222为x+y=b,且一直线L:y = m,,与两曲线相交,交点分别为,b,m,b M,x, m,、 N,x, m,及P,x, m,、Q(x, m)～如图1. 1 2 3 4 ym,,a,2222由解得 x=～ ,b,m,1、2xyb，,1,22ab, 2a22此时～ =, x,xb,m12b y,m,22由 解得x=?, ,图1, b,m,3,4222xyb，,, 第 1 页 22此时～ =2. x,xb,m34 022、当,即b=|m|时～交点为,0～b,或,0～-b,, 1b,m x,xa12022 、当～即b?|m|时～有 . ,2b,mx,xb34 0' 显然是一种特殊情况～即直线L与两曲线C、C 交于一点～此时1 0与求椭圆C的面积无影响～故可忽略,在情况下～即椭圆C的弦长|MN|2 a''与圆C的弦长|PQ|比恒为定值时～则当设椭圆C与圆C的面积分别为S、b Saaa'''2'S时～由定理1得=～又圆C的面积S=πb～故有 S =S=π'bbbS 2b=πab . 所以椭圆C的面积公式为S =πab ,其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长,. 注:此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形～若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例～当已知线段长的比值时～则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积. '定理2.若一平面图形M是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图 ''形M与射影平面图形M所成角为,, 则射影平面图形M的面积与凸平 ,面图形M的面积比为cos. '0 证明:设平面图形M是平面图形M的射影 .1当平面图形M是凸 第 2 页 曲边行时～如图2～将平面图形M的边缘进行n+1等分～ 设分点分别为 A、A、A、…、A、A、 3ii，121 …、A 、A～它们分别在平 n，1n '''面图形M上的射影为A、A 12 ''''…、A、A、…、A、A , ii，1nn，1 则分别连结点A、A、A、… 321 、A、A、…、A 、A～然 n，1ii，1n 后再将点A分别与点 A、A、 312 …、A、A、…、A 、A (图2) n，1ii，1n 连结得?AAA、?AAA、…?AAA、…、?AAA.显然n，133ii，1n241111 '''''''它们在平面图形M 上的射影分别是对应的?AAA、?AAA、…、331214 '''''''?AAA、…、?AAA 由于平面M与平面M所成角为～则,ii，1nn，111 ?AAA、?AAA、…、?AAA、…、?AAA 所在平n，133ii，1n241111 ''''''''''''面与?AAA、?AAA、…、?AAA、…、?AAA 所33ii，1nn，1121411在平面所成角均为～现分别记?AAA、?AAA、…、?,332411 ''''''AAA、…、?AAA 及?AAA、?AAA、…、?33n，1ii，1n121411 '''''''AAA、…、?AA A 的面积为S 、S、…、S、…、S及 S、ii，1nn，111in121 ''''''S、…、S、…、S. 则有S= Scon 、S = S con、…、 S= ,,ini22121 'Scon,、…、S = Scos, . nin '' 当分点无限增加时, 则S 、S、…、S、…、S 及S、S、…、in1212 第 3 页 ''S、…、S 的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形in 'M的面积～ 故有 ''''' S=( S +S +…+S +…+S) limin12n,, =( Scos + S cos+…S+cos+…+Scos) lim,,,,in21n,, =( S +S+…+S+…+S) cos lim,in21n,, =S cos. , 0 2当平面图形M是凸多边形时～则在凸多边形M内取适当的点连结 出不重叠的三角形～仿上易证～故略 . 方法二:我们知道～在一 圆柱上作一斜截面可得一椭圆面～ 如图3. 设圆柱oo的底面直径 1 'A B=2 b, 斜截面椭圆的长轴长 'A B =2a, 椭圆面M与圆柱底面 M所成角为,～将椭圆周n+1等 ''分～设其分点分别为P、P、… 12 ''''、P、P、…、P、P, 在底 ,图3, ii，1nn，1 面圆周上的 射影分别为P、P、…、P、P、…、P、P,分别连结n，1ii，1n21 ''''''''点A、P、P,A、 P、P,、…,A、P、P,…;A 、 P、P及3ii，1nn，1122 点A、P、P,A、P、P,…,A、P、P,…; A、P、 P。设n，13ii，1n221 第 4 页 ''2椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S、S～因为圆柱底面面积S=b., 'Sa2且b =a cos,则仿定理2可证 S= = b =ab . 故椭圆的面,,,cos,b ab . ,其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长,. 积公式为 S=, 注:此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间～当已知一曲面图形形成的侧面母线与其射影平面图形所成定角的大小时～则可利用定理2由一已知图形面积求另一图形面积,如圆锥、圆台的侧面面积亦可由底面面积求得,. 第 5 页