否命题与命题的否定

否命与命题的否定 一、识别否命题与命题的否定 1(命题p的否命题:既否定命题p的条件又否定命题p的结论，即若p示命题“若ABAB则”，则其否命题是“若非，则非”。 2(“非p”叫做命题p的否定，对命题p怎样否定呢,保留其条件，否定其结论，即 ABAB如果命题p是“若，则”，那么命题“非p”是:若，则非。由此可知命题，p与p的条件相同，结论相反;命题，p与p的真假相反;。 ，，,()pp 二、区别否命题与命题的否定 1(注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题p的否定为“非p”，记作，p，一般只是否定命题p的结论，否命题是对原命题“若p则”既否定它的条件，q 又否它的结论。 p2(“非”是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题 CPpp“非”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。“非”的含义有四条: UU pp?“非”只否定的结论; pp?与“非”的真假必须相反; pp?“非”必须包含的所有对立面; p?“非”必须使用否定词语。 三、实例帮您理解否命题与命题的否定 在学习本节时，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。 p，pp若是一个命题，则是的否定，它是对整个命题进行否定。 p，p，q命题“若则q”的否命题是“若则”，即对命题的题设与结论同时否定，例如: ?命题:(所有)质数不都是奇数(真);否定形式:(所有)质数都是奇数(假);否命题:有些质数是奇数(真)。 ?命题:面积相等的三角形一定是全等三角形(假);否定形式:面积相等的三角形不一定是全等三角形(真);否命题:面积不相等的三角形一定不是全等三角形(真)。 四、“或”、“且”连结的命题的否定形式 ppppqqqq “或”的否定是“非且非”;“ 且”的否定形式是“非或非”。它类 CABCACB()()(),CABCACB()()(),似于集合中的“、”，如“实数UUUUUU yyyx与均为零”的否定是“x与中至少有一个不为零”，而不是“x与都不为零”;“实 yy数x与中至少有一个为零”的否定是“x与均为零”。 五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表: 原命题 否定形式 否命题 真 假 与原命题的真假无关与逆命 题真假相同 假 真 六、命题中关键词的否定表 1 把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表: 至少至多对任意使xA,关键大(小)任何，所有是 有 全部 有一有一真 px()词 于 的 个 个 一个至少存在使xA,不大(小)不不全，不某些，有几否定 无 也没有两假 px()于 是 都 个 有 个 七、含有一个量词的命题的否定 含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论: 全称命题p:，它的否定，p: ,,xMpx,()，,，xMpx,()全称命题的否定是存在性命题。 含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论: 存在性命题p:，它的否定:，p: ，,xMpx,(),,，xMpx,()存在性命题的否定是全称命题 八、典型例题剖析 2例1写出命题“若mn，m?或n?，则?”的否命题 35 2?或?，则” 错解一:否命题为“若mn3mn，,5 错解二:否命题为“若或，则”。 m,2n,3mn，,5 错解剖析:这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命 题的否定”。“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。即 BB若原命题为，那么它的否命题是非非，而命题的否定是非。其次要AB,A,A, 注意对“且”与“或”的否定。一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。 正解:原命题的否命题为: 若且，则。 m,2n,3mn，,5 例2写出下列命题的否定，并判断其真假 12，,xpq(1):R，?;(2):所有的正方形都是矩形;(3):R，r,,x0xx,，4 22?;(4)s:至少有一个实数x，使。 xx，，22x，,100 12，,x，p解:(1):R，。(假) xx,，,04 1122这是由于R，?恒成立; ,,x0xxx,，,,()42 ，q(2):至少存在一个正方形不是矩形。(假) 2(3)，r:R，。(真) xx，，,220,,x 22xxx，，,，，22(1)1这是由于，R，?成立。 ,,x00, 2p，px例3已知命题:存在一个实数，使得，写出。 xx,,,20 2，px分析:命题有两种:(1)存在一个实数，使得?;或(2)不存xx,,20 2 2在一个实数，使得。这两个答案哪一种正确, xxx,,,20 22解:由。故原命题是真命题。又时，，pxxx,,,,,,,2012xx,,,20x,3所以分析中答案(1)也是真命题。而p与，p的真假性相反，所以(1)是错误的。 2答案(2)是正确的。事实上，我们不妨把命题改写成:若一个不等式是，pxx,,,20则存在一个实数使这个不等式成立。由此可知，答案(2)才是否定了命题p的结论，得x 到了“，p”。 2例4写出命题“若，则”的否定和否命题。 xx,，,210x,1 22解:命题“若，则”的否定为“若，则?”;否xx,，,210xx,，21x,1x,10 2命题为:若，则?。 xx,，21x,10 3