如何由递推公式求通项公式

如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想:从一般到特殊，从特殊到一般;化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 an，1类型一: 或 aafnnn，1,,(),()gnan :利用迭加或迭乘方法。即: aaaaaaaannnnn,,，,，,，()()+(),,,112211…… aaann,12或 ,……aan1aaann,,121 11例1.(1) 已知数列满足，求数列的通项公式。 aaa11,,，nn，,anan,,,,2nn，2 (1)na，n (2)已知数列满足，求数列的通项公式。 1nas,,1,anan,,,,2 1111aann，1,,,,,解:(1)由题知: 2nnnnnn，，，(1)1 ？,,，,，，aaaaa+(a-aannnnn()()),,,112211…… 1111111,,，,，，,，()()()…… nnnn,,,121122 31 ,,2n 2(1)snann,， (2) ？,,2(2)snannn,,11 2(1)(2)ananannnn,，,,,1 两式相减得: ann即:,,(2) n,1,1nan aaann,12 ？,,,…… n1aann,,121aaa nn,12 ,,,……1nn,,121 ,n apaqpqpqpnn，1,，,,(,(1)0)其中为常数，类型二: qnn，1,,,(),其中t=atpat分析:把原递推公式转为:，再利用换元法转化为等1,p 1 比数列求解。 例2.已知数列中，，求的通项公式。 aaa1,，,，1,123nnanan,,,, 解:由 可转化为: aann，1,，23 aann，1，,，32(3) 令bann,，3,则b=a+3=411n+1n且b=2b ？bn是以b=41为首项，公比为q=2的等比数列,, nn,，11 ？,,,bn422 n，1 即 a,,23n 类型三:apafnnn，1,，()(其中p为常数) 分析:在此只研究两种较为简单的情况，即fx()是多项式或指数幂的形式。 (1)fx()是多项式时转为aAnBpaAnBnn，1，，，,，，(1)()，再利用换元法转为等 比数列 n，1aparqpqr,，,(0)nn，1(2)fx()是指数幂: aann，1,，r若时则转化为，再利用换元法转化为等差数列 pq,nn，1qq qrnn，1，,，,(),其中nn，1atqpatqt若时则转化为 pq,,pq aaan11,,，，1,321nn，例3.(1)设数列中，，求的通项公式。 anan,,,, naaa11,,，1,32，nn (2)设数列中，，求的通项公式。 anan,,,, aAnBaAnBnn，1，，，,，，(1)3() 解:(1)设 ？,，，,aaAnBAnn，1322 221AA,,,, 与原式比较系数得: ,,,211BAB,,,,, anannn，1，，，,，，(1)13(1) 即 bannn,，，1,则b=3bn+1n11且b=a+1+1=3 令 ？bn是b=31为首项，公比q=3的等比数列,, 2 nn,1？,,,b333n n即:an,,,31n nn，1atat，,，23(2)(2)设 nn，1 n展开后得: aa，1,，32nn 对比得: t,1 nn，1？，,，aa23(2) nn，1 n1babba,，,，,2,323则且，b=1令nnnn1,1 ？bn是b=31为首项，公比q=3的等比数列,, nn,1？,,,b333n nn即:a,,32n rapapannn，1,,,(0,0)类型四: 分析:这种类型一般是等式两边取对数后得:lglglgarapnn，1,，，再采用类型二进 行求解。 12例4.设数列中，，求的通项公式。 aaaa11,,,,nn，1,(0)anan,,,,a 12 解:由，两边取对数得: aann，1,,a 1 aann，1,， lg2lglga 1 设lg2(lg)atatnn，1，,，展开后与上式对比得: t,lga 11 ？,，原式可转化为lg+lgaan+1n2(lglg)aa 11 令bann,，，则bbnn，1,,且b1=lg (lglg)aa 1 ？bn是b=lg1为首项，公比q=2的等比数列 ,,a n,1111n,1 ？,,bn，即a，,, 2lgnlglg2lgaaa n,112,aan, 也即 fna()nn，1,a类型五: n，gnahn()() 分析:这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。 3 an,1 例5.已知数列满足:，求的通项公式。 ,,1,1naaanan,,,,31，n,1a 1311an,1， 解:原式两边取倒数得: ,,，3nnn,,11aaa 1 设b=n nn-11则b-b=3,且b=,1an 1 ？bn是b=1为首项，公差d=2的等差数列,,3 ？,，,,,,bnnn1(1)332 1 即 an,n,32 4