求圆的标准方程

求圆的标准方程 中学教育研发网(www.book678.com) 博学而笃志 切问而近思 求圆的标准方程 直线3x,y,2,0过已知圆的圆心，点A(3,1)、B(,1,3)都在这个圆上，求这个圆的标准方程( 【思路】 已知三个条件～可运用待定系数法建立方程组求解～也可以借助圆的性质求解( 222【解】 法一 设所求圆的方程为(x,a)，(y,b),r 222a,2(3,a)，(1,b),r,,,,222b,4(,1,a)，(3,b),r由意得～ ,～解得, ,,,3a,b,2,0,10,r 22?圆的方程为:(x,2)，(y,4),10. 法二 ?圆心在直线3x,y,2,0上～故可设圆心 坐标C(a,3a,2)且满足|CA|,|CB|～ 2222故(a,3)，(3a,2,1),(a，1)，(3a,2,3)～ ?a,2～?c(2,4)～r,|CA|,10～ 22?圆的方程为(x,2)，(y,4),10. 3,11法三 k,,,～AB的中点坐标为(1,2)～ AB2,1,3 ?AB的垂直平分线方程为y,2,2(x,1)即2x,y,0～ 由题意:圆心是2x,y,0与3x,y,2,0的交点～ ,2x,y,0,,解方程组得圆心坐标C(2,4)～ 3x,y,2,0,, 22又?半径r,|CA|,10～ 22?圆的方程为:(x,2)，(y,4),10. 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共6页 第1页 邮箱:3004886@qq.com 中学教育研发网(www.book678.com) 博学而笃志 切问而近思 1(写出满足下列条件的圆的标准方程( (1)圆心为(2，,3)，一条直径两端点分别在x、y轴上; (2)过A(,1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上( a，00，b【解】 (1)设直径两端点为(a,0)～(0～b)～由题意,2～,,3～ 22 ?a,4～b,,6～ 22?r,(4,2)，(0，3),13～ 22?圆的方程为(x,2)，(y，3),13. 4,21(2)?直线AB的斜率k,,,～ 2,1,3 ?线段AB的垂直平分线的斜率k,2且过AB中点C(1,3)～ ?线段AB的垂直平分线方程为2x,y，1,0～ ,,2x,y，1,0～x,0～,,,,由得即圆心坐标为(0,1)( x,0～y,1～,,,, 22?圆的半径r,(,1,0)，(4,1),10. 22?圆的标准方程为x，(y,1),10. 点与圆的位置关系 写出圆心为(3,4)，半径为5的圆的方程，并判定点A(0,0)，B(1,3)与该圆的位置关系( 【思路分析】 由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来确定此点与圆的位置关系～也可先求出圆的方程～从数的角度作判断( 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共6页 第2页 邮箱:3004886@qq.com 中学教育研发网(www.book678.com) 博学而笃志 切问而近思 22【解】 法一 所求圆的方程为(x,3)，(y,4),25. ?原点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d,5～ 而r,5～d,r所以A(0,0)在圆上～ 而点B(1,3)到圆心C(3,4)的距离 22d,(1,3)，(3,4),5,5～ 所以点B在圆内( 22法二 所求圆的方程为(x,3)，(y,4),25～ 将A(0,0)～B(1,3)分别代入圆的方程得 22(0,3)，(0,4),25～ 22(1,3)，(3,4),5,25～ 所以点A(0,0)在圆上～点B(1,3)在圆内( 2(已知两点P(3,8)和P(5,4)，求以PP为直径的圆的方程，并判断M(6,3)，Q(8,1)是在圆上,圆外,1212 圆内, 【解】 由已知条件可得圆心坐标为C(4,6)～ 1122半径为r,|PP|,(3,5)，(8,4),5～ 1222 22所以以PP为直径的圆的方程为(x,4)，(y,6),5. 12 22因为|MC|,(4,6)，(6,3),13,5,r～ 22|QC|,(4,8)，(6,1),41,5,r～ 所以判断出点M在圆外～点Q在圆外( 圆的方程的应用 已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(,1,2)问这四个点能否在同一个圆上,为什么, 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共6页 第3页 邮箱:3004886@qq.com 中学教育研发网(www.book678.com) 博学而笃志 切问而近思 【解】 设经过A～B～C三点的圆的方程为 222(x,a)，(y,b),r. 222a，(1,b),r～,,222(2,a)，(1,b),r～则, 222,,(3,a)，(4,b),r～ a,1～,,b,3～解此方程组～得, 2,,r,5～ 所以～经过A～B～C三点的圆的标准方程是 22(x,1)，(y,3),5. 把点D的坐标(,1,2)代入上面方程的左边～得 22(,1,1)，(2,3),5. 2所以～点D在经过A～B～C三点的圆上～所以A～B～C～D四点在同一个圆上～圆的方程为(x,1) 2，(y,3),5～如图( 规律方法 三点共圆的判定方法:判断这三点是否共线～若此三点不共线则三点共圆～否则三点不共圆(多点共圆的判定方法:首先判定其中三点是否共圆～若三点不共圆～则可判断这多点不共圆,若三点共圆～则选确定过此三点的圆的方程～然后再确定其它点与这个圆的位置关系～进而作出判断( 3(如图4,1,1所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图(该圆拱跨度AB,20 m，拱高OP,4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱CD的长度(精确到0.01 m)( 图4,1,1 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共6页 第4页 邮箱:3004886@qq.com 中学教育研发网(www.book678.com) 博学而笃志 切问而近思 【解】 建立如右图所示的直角坐标系( 222则圆心在y轴上(设圆心的坐标是(0～b)～圆的半径是r～那么圆的方程是x，(y,b),r.下面用待定系数法求b和r的值(因为P、B都在圆上～所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解(于是得到方程组 222,0，(4,b),r～,, 222 10，(0,b),r～,, 22解得b,,10.5～r,14.5. 222所以这个圆的方程是x，(y，10.5),14.5. 把点C的横坐标x,,2代入这个圆的方程～ 222得(,2)，(y，10.5),14.5～ 22y，10.5,14.5,(,2)(因为C的纵坐标y,0～所以根取正值)( 22于是y,14.5,(,2),10.5?14.36,10.5,3.86(m)( 即支柱CD的长为3.86 m. 1(利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径，比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系，求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大简化计算的过程与难度( 2(点与圆的位置关系有三种情形:点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系(d,r时，点在圆内;d,r时，点在圆上;d,r时，点在圆外( 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共6页 第5页 邮箱:3004886@qq.com 中学教育研发网(www.book678.com) 博学而笃志 切问而近思 北京海淀区新街口外大街19号京师大厦 共6页 第6页 邮箱:3004886@qq.com