在教学中如何提高学生的思维素质 定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 托勒密定理的逆定理：

在教学中如何提高学生的思维素质 定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 托勒密定理的逆定理： 在教学中如何提高学生的思维素质 引言 数学教学是数学(思维)活动的教学。数学教学的一个中心内容就是解题教学;而解题教学是培养学生数学思维能力的重要途径。因此在数学课堂的教学活动中，教师若能从学生的实际情况出发，经常有意识地向学生提供一些比较独特的、新颖的、典型的题目，并在对例题进行分析求解的过程中，使用正确地、全面地、高密度地教学方法去引导、启发学生去思考，激发他们的学习热情，从而让学生能更好地掌握、巩固所学的数学知识，提高他们运用知识的能力和解题技巧，进而培养学生科学的思维能力和分析解决问题的能力，使他们具备良好的逻辑思维素质。然而在数学教学中，如何优化思维品质，怎样培养学生的逻辑思维素质呢,根据数学思维的特点，下面就主要针对于数学思维的几个重要品质进行探讨。即思维的深刻性、灵活性、广阔性、敏捷性、批判性、独创性。 ?1 在数学教学中，培养学生数学思维的深刻性 思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，它是一切思维品质的基础。数学思维的深刻性主要现为:善于使用抽象概括，理解透彻深刻;推理严密，逻辑性强，能捕捉矛盾的特殊性，从研究材料中揭示隐蔽的特殊情况并发现最有价值的因素;并能迅速确定解题策略和各种方法模式等。 1.1 在教学活动中运用命题的等价性，采用变式练习方法，训练思维的深刻性。 2()()()0abxcaxbc,,,，,,【例1】 ? 已知:一元二次方程有相等的实根，求 ac，证:。 ,b2 ? 若a、b、c 三个数成等差数列，则一元二次方程: 2()()()0abxcaxbc,,,，,, 有两个相等的实根。 2(sinsin)(sinsin)(sinsin)0ABxCAxBC,，,，,,? 设ABC中有两个相, 等的实根，求证: ACAC，,。 sincoscos, B22 下面就对以上的一组题，分别证明。 2证明:? ？,,,,,,,()4()()0caabbc 2 (2)0abc,，, , ac， ？,b2 ? 由?推证过程是可逆的，所以一元二次方程判别式，即原方程有两个相等的实,,0根。 ? 设ABC的外接圆的半径为R，则只须将题目中的方程两边同时乘上ABC的外接圆直,,径2R，得: 2 (2sin2sin)(2sin2sin)(2sin2sin)0RARBxRCRAxRBRC,，,，,, 2即可将方程转化为: ()()()0abxcaxbc,,,，,, 并且有两个相等的实根，于是与?的已知条件相同，则?的结论可转化为: ,,，,，,()ACACACAC sinsincossincos(sinsin)/2,,,，BAC2222 ？2sin(2sin2sin)/2RBRARC,， ac， 即 ,b2 这样，命题?的证明已完全转化为命题?的形式的证明。 以上例子则说明变式练习可以加深学生对一元二次方程根判别式应用方法解题。 1.2 利用相同数量关系或相似的逻辑关系来变换问题的形式或内容，达到训练思维的深 刻性。 3【例2】? 分解因式:; xx,，76 3? 解方程:; xx,，,760 3? 解不等式:; xx,，,760 3? 求函数的定义域。 yxx,,，lg(76) 32解:? 原式 ,,,，,,,,xxxxxx66(1)6(1) 2 ,,，,,,,，(1)(6)(1)(2)(3)xxxxxx ? 由?可知:原方程为(1)(2)(3)0xxx,,，, 所以 xxx,,,,1,2,3123 (1)(2)(3)0xxx,,，,? 由?可知:原不等式为 所以或 x,,312,,x 3? 因为只须(1)(2)(3)0xxx,,，,，即由?可知解不等式 xx,，,760 即可， 所以或。 ,,,31xx,2 1.3 把问题的结论分解为几个比较简单的部分或改换为另一种易于求解的形式。 , 222abcbcacab，，，【例3】 设，求证:。 abcabc,abc,, 分析 如直接证明是不容易的，从结论特点出发，把它分解为: abbabccbacca三个不等式来论证。 ababbcbcacac,,,,, a证明:和 ？,,,,01abab,,0b aababba, ？()1,,,ababb bccbacca同理: bcbcacac,,, 222abcbcacab，，，三式相乘得: abcabc, 2 在数学教学中，培养学生数学思维的灵活性 ? 思维的灵活性是指思维活动的灵活程度。它是数学思维的重要品质，它在数学教学中活跃地表现为解题能力，即有的放矢地转化解题方法的能力，灵巧地从一种解题思路转向于另一种解题思路的能力;或是指具有超脱出习惯处理方法约束的能力，当条件变更时能迅速找到新的方法，也随着新知识的掌握和经验的积累而重新安排已学会的知识;还表现为从已知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质。因此，爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。 学生的思维灵活性可从解下述题目中得到训练。 【例1】 求一个三次多项式fx()，使ffff(1)0,(2)0,(1)0,(2)12,,,,,,,。 【思路分析】 32? 若设所求多项式为: fxaxbxcxd(),，，， 然后由题目的已知条件，分别列出:ffff(1)0,(2)0,(1)0,(2)12,,,,,,, 对方程组进行求解，得出a、b、c、d的值，这样要解一个四元一次方程组。 1,2,1,? 若能观察到是fx()0,的根，便可设fxaxxx()(1)(2)(1),,,， 再取代入得:fa(2)(3)(4)(1),,,，,，, x,,2 ,,,,1212aa,1 即 32 ？,,,，,fxxxxx()(1)(2)(1),,，22xx 这种解法综合运用余数定理及推论，显然比解法?要简单。 yxx,,，,4153【例2】求函数的最值。 分析 根据现成知识，似乎无路可循——连条件也“没有”。然而条件却悄悄地隐蔽着。灵活的思维把目标转向根号里边，对于实数x、y，只求，启开一丝“生机”，但45,,x 这一新因素还不能直接解决问题，思维的灵活性开始寻求新方法„„ ,22解:令，则。于是转化原函数得: x,,,,4sin(0),,x,，sin4,2 , , y,，,，sin3cos2sin(),,,3 , 所以，当时，; ,y,2,max6 , 当时，。 ,y,1,min2 2132x,【例3】 当时，求的值。 yxxx,,,，12,31 22x,x,分析 若直接把代入y的式中运算，比较麻烦。如果先把分母 ,,3131有理化，得，再代入y计算，显然简单一点，但还不够简捷;如果将x,，31x,，31变为代入y，那么运算便会简捷。 x,,13 2x,解:由 得: 代入原方程得: x,,13 ,31 113232，， yxxxxxxx,,,，,,，,，(222)(22)32，，22 1122，，，， xxxxx,,,，,,，,(1)32(3)321，，，，22 ?3 在数学教学中，培养学生数学思维的广阔性 思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度。它表现为思路开阔，能全面地分析问题，多方向地思考问题，多角度地研究问题。善于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析，并作出广泛的联想，因而能用各种不同的方法去处理和解决问题，并将它推广应用于解决类似问题。因此在解题教学中，一般都会采用一题多解或一法多用来训练学生数学思维的广阔性。 2222acbd，,1【例1】 已知:均为正整数，且，求证:。 abcd,,,abcd，,，,1,1 2222证法一:注意，运用代数方法证明。 abcd，,，,1,1 由已知，两式相加，得 2222abcd，，，, 2？？? 2222 又由，两式相加，得 acacbdbd，,，,2,2 2222 ? abcdacbd，，，,，2()？？ acbd，,1 综合?和?，得 ，故命题得证。 2222证法二:注意都是正整数，且，运用三角方法证明。 abcd,,,abcd，,，,1,1 设则 abcd,,,,sin,cos,sin,cos,,,,, , 。 acbd，,，,,,sinsincoscoscos()1,,,,,, acbd，,1证法三:注意结论，运用几何知识求证。 如图3-1，在直径为1的圆O内，作以直径为一对角线的内接四边形ABCD，根 据托勒密(Plolemy)定理，得 acbdACBD，,, 1 。 【托勒密(Ptolemy)定理:圆内接凸四边形两对对边乘积 的和等于两条对角线的乘积。 托勒密定理的逆定理:一个凸四边形两对对边乘积的和 等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。】 (图3-1) 证法四:注意均为正整数，且abcd,,, 2222，运用柯西不等式求证。 abcd，,，,1,1 设两组数分别为: 22„„第?组 abab与且,1，, 22c与d,且c，,d1„„第?组 22222 由柯西不等式，得 ()()()1(1)acbdabcd，,，，,？？ 又因为均为正整数，则有 abcd,,,acbd，,0(2)？？ acbd，,1综合(1)和(2)，得，即命题得证。 【柯西不等式定理:两组数“乘积和的平方不大于平方和的乘积”。即给定两组实数 nnnaaa，，，？,n12222有: ()()()abab,,,,,,iiiibbb，，，？,,,n11112iii, 当且仅当时等号成立。】 akbin,,(12)，，，？ii 【例2】 在ABC中，?A的高线、角平分线和中线四等分该角，求?A。 , THMHBHtan,tan2,,,,,tan3,,分析一:(三角法)如图3-2:。 AHAHAH 设，则 CHxAHhBMMCl,,,,,, ，且有: MHlxBHlx,,,,,2 xtan,,,h lxl, tan2tan,,,,,hh 22lxl,(图3-2) tan3tan,,,,,hh , 于是有，即2(tantan2)tantan3,,,,,，,， 2tan2tan3tantan2(1tantan3)tantan31,,,,,,,,,,,，,, ,coscos3sinsin30,,,,,,cos40,,则有，即，故有4,=?A。 ,2 分析二:(三角法与几何法结合) CHMH， tantan2(),,BHAHCHMHAHMC，， AHtan3,,,,,,22CHMH 1tantan2AHAHCHMHAHCHMH,,, ,,1,2AH 即: 22AHBH ,CHMHBHAHMC , 2(),AHBHMCCHMHBH,, 2(),,,AHBHMBCHMHBH 2 ,,AHMHCHMHBH ,2可推得，故?A=。 AHBHCH, 2分析三:(角平分线性质)再设，则有 MTy, lABABlylxlxllx，,,,2(),,,,,,, yATACxxxyx22 lxyx22，？,,，1 又 ， yyy lxxyxy,，,2 ,,，1xxx 2xyy？，，,,,211 yxx yAMAH12,,,,,但，而cos2 AMxAH22 ,,2,故，?A=。 ,24 分析四:(作辅助线)即将中线倍延对称补形 来证。 如图3-3，延长AM至D，使MD=AM。这 时易知AB//CD，可得?1=。再延长AT交CD , 于E，则MEAD，得 , ,，,,,，2ACH， ,2 因此点A、C、E、M共圆。此时， ,,，,,,, ACE=， ，,, (图3-3) , ,故ACDB为矩形，即得，,。 A2 2【例3】 已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求ypxp,,2(0) 11的值。 ，||||FAFB p分析一:通常是设F点的直线方程为ykx,,()，(AB垂直于轴时另加以说明)代入x2 2p，，抛物线方程后得。此时可以继续前进，也可能感到形式较繁，而改用直线方kxpx()2,,,,2，， p22xky,，程，再代入抛物线方程，得。循此思路进行推理和运算，最后可得所ypkxp,，22 2求的值为。 p 分析二:在上述解法的实施中，会感到运算过程较繁，因此可考虑(程度较好的学生能 直接想到)在开始时就设直线AB的参数方程为: p,xt,，cos,,t(为参数) 2, ,yt,sin,, 将它代入抛物线方程可知A、B两点的参数、满足所得方程: ttAB 222 tptpsin2cos0,,,,, 1cos，,cos1,,tptp由此解出方程的根:， ,(),()AB22sinsin,, 2211111sinsin2,,，,，,，,这时， ()FAFBttpp，,||||||||1cos1cos,,AB ,,,, tFA()分析三:在分析二中得到参数方程后，可考虑用韦达定理简化运算过程。由于与A,,,, tFB()的符号相反，就有 B 2P222,，,()()4tttttt，,112||||||ttttABABAB,sinABAB，,,,,,, 2p ||||||||||||FAFBttttttttpABABABAB2sin, 分析四:有些学生会想到用极坐标方程求解。此时抛物线方程为: (以F为极点)。 ,,,,，cosp pp而且。由此能简便地求得: ,,,,,,,,,,，ABBA1cos1cos,,,,AB 1111112 ，,，,,，,，,,，，,,,,,,[1cos1cos()](1cos1cos)AAAAFAFBPPp,,||||AB , 分析五:还有的学生会联想到抛物线的定义，利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，得出: p,||tx,，AA,,2， 则有: ,p,||tx,，BB,,2 11xxp，，AB ，,？？(1)2||||()/2/4ttxxpxxp ，，，ABABAB 2,ypx,2,22222再由 ,kxkpxkp,，，,(2)/40,pykx,,(),,2 22kp/42知 ，代入(1)，就得 xxp ,,/4AB2k xxpxxp，，，，2ABAB。 ,,2ppxxppxxp/2()/2()/2，，，，ABAB 分析六:还可以联想几何中两底和等于斜腰的直角梯 O形的性质来解。(如图3-4)连结AC交轴于，则由抛x 物线的定义可知: ， ADAFa,, ; BCBFb,, abpADFEBC////EOFO,,,又由，易知; ab，2 而原题所求式子的值恰等于 11112ab， 。 ，,，,, ||||FAFBababp (图3-4) 采用“一题多解”进行教学是加深和巩固所学知识的有效途径和方法，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化。所以在教学过程中多挖掘一些行之有效的一题多解例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和培养，从而培养学生数学思维的广阔性。 ?4 在数学教学中，培养学生数学思维的敏捷性 思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和训练程度。它表现为思考问题时的敏锐快速反应。敏捷是以准确为前提的，只有掌握扎实的基础知识和训练的基本技能，正确地领会知识、把握问题的实质，达到融会贯通，才能达到真正的敏捷性。善于运用直觉思维，善于把问题 , 转换化归，善于使用数学模式等都是思维敏捷性的重要表现。 在解题教学中，采用引导启发的思维点拔教学，缩短解题的运算环节和推理过程 ，简捷地得出结果。从而达到训练学生数学思维的敏捷性。 ,1cos()，,,3【例1】化简。 ,cos()，,6 分析 大多数学生一见到这样的题目，一般都会乞求于，一展开之后就cos(),,, 不堪收拾。如果能稍微地作些提示，就不难看出此式接近“正切半角公式”模式，只需两个余弦中的一个正弦即可，而由于有 ,,,,,，且， cos()cos(),,,()(),，，,,,,,33362 ,,则分母中的 ，因此 cos()sin()，,,,,63 ,,,,1cos()1cos()，,，,,,,，，133ctgctg, 原式,,,,,,()() ,,,,2362，，cos()sin()，,,,63 经过细密考虑且层次安排合理的练习训练，是培养与发展思维敏捷性的科学途径。经过练习后的总结，提高了思维的概括性。 也可以通过变更问题的条件，训练数学思维的敏捷性。例如: aaa？【例2】设为正实数，求。 a 分析 第一眼见到此题的题目，好多学生都会措手不及，不知该如何求它的值，但是如 111111，，，？824824果把原式变更一下，即变更问题的条件:aaaaaaa？？,,。这时，距问题目标仅隔一步了。 11nabc,,,0【例3】设，且，求的最大值。 n，,abbcac,,, 分析 如果适当地引导启发，挖掘题目所隐蔽的变更条件:acabbc,,,，,()()，那么此题就被轻而易举地解决了。 abc,,,0abbcac,,,,,,0,0,0解:因为，则，不等号两边同时乘以 ()ac,，则原不等变为: acac,, „„? ，,n,,abbc bcab,,acabbc,,,，,()()又因为，则?式为: „„? 2，，,n,,abbc , bcabbcab,,,,？22又 ，,, ,,,,abbcabbc bcab,,(当，时，“=”成立) ,abc,,,,abbc ？ ，即n的最大值是4。 n,4 采用“变更问题”的解题方法，就是利用“等效的叙述”，恰当地把问题变化，使“已知 的”和“所求的”，也就是使“初始状态”和“目标状态”愈来愈近。 ?5 在数学教学中，培养学生数学思维的批判性 思维的批判性是指思维活动中的独立分析和批判程度。它表现为善于独立思考，善于提出 疑问，能够及时发现错误，纠正错误。能够在解决数学问题的过程中不断总结经验教训，进 行回顾和反思。自觉调控思维进程，自我评价解题思路或方法。辨别正误，排除障碍，寻求 最佳答案。 .1在数学教学中可以通过对一些容易致误的数学问题进行分析思考来提高思维的批判5 性。 22【例1】 已知 ，，求证:。 ||1a,||1b,abab，,,,(1)(1)1 分析 在证明中若设，得 ab,,sin,sin,, 112222abab，,,,，,，,,,,,, (1)(1)sincoscossinsin2|sin2|22 11,，,,,,,， |sin2||sin2||sin2|122 22b就是一种错误。因为题中未给出与的关系，而假设中却隐含了的关系，从而缩ab，,1a 小了条件的范围。本题正确的证法可用逆推法分析。 证明:由已知条件:，，可得 。 ||1a,||1b,ab,1 2222222222？ (1)(1)11(),,,,,，,,，，ababababab 22？ 又 abab，,2 2222222？ 1()12(1),，，,,，,,ababababab 22即 (1)(1)1,,,,abab 22 ,，,,,，,,abababab(1)(1)(1)1 故命题得证。 ,, 5.2 在数学教学中可以出一些改错题供学生进行分析纠正来提高思维的批判性。 【例2】 判断下列解法是否正确,为什么, 11 „„? ？lglg,45 ？ 又 „„? 21, 11112，??得，，即， 2lglg,lg()lg,4545 11112，因此有(～) ？,(),16545 11引导学生由找到错误原因。 lg0,lg0,,45 5.3 在数学教学中出一些隐蔽事实条件的例题分析来提高思维的批判性。 3516【例3】在ABC中，已知，求证:。 cosC,sin,cosAB,,,64513 ,分析 学生通常易犯下述错误，即忽略内角和为，而 180, 412? 先求出，再由cos,sinAB,,513 16,CABABABAB. coscos(180)cos()(coscossinsin),,,,,，,,,,65 4121656或? 求得，再由，得出两个值或，而不能cos,sinAB,,,coscos()CAB,，6565513 16说明为什么只有的结论正确，这就是由于论证理由不充分所致。 cosC,65 0,,A,0,,B,事实上，应从确定A、B两角的具体范围入手，才能使问题获证。即由，， 51,,,,B？？(1)且，可知 0cos,,,B32132 ,,35,,132A,,,,？？又由，知 或 A(2),,,sinA6446252 ,,3,,AB，,,C,，,,,综合(1)和(2)，若A为钝角，则为不可能，故，即，AB4224 16从而推出cosC,。 65 另外，在数学教学中，构造反例，驳倒似是而非的命题，也是培养思维批判性的好办法。 (23)sinabcA，, 例如:对于题目“试证:在ABC中，”，我们只要考察,,aabc,,sinsin3sin，,ABC ,, 的情形，即知这一题目也是错误的。 ?6 在数学教学中，培养学生数学思维的独创性 思维的独创性是指思维活动的创新程度。它表现为思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特、别出心裁。善于发现问题、解决并引申问题是思维创造性的表现之一。独创性思维还具有思维舒展、活跃、多谋善变的特点。因此在平时的教学中，要培养学生独立思考的自觉性，教育他们要勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题程式，大胆提出新颖的见解和解法，使他们逐步具有思维独创性这一良好品质。 6.1 创设问题情境，激发学生的探索欲。 杨振宁博士在总结科学家成功之路时说:“成功的秘诀在于兴趣"。可见,兴趣是创造思维活动成功的先导。例如，在数学教学中，结合教材的内容设置教学的“悬念”，制造认知冲突，以引起学生的高度注意，并产生兴奋情绪。 【例1】 为了说明代数式化简求值的意义，提出这样一个问题:“设想能用铁丝绕地球赤道做成的圆圈，再套上一个周长只比它长1米的圆圈，两个圆所造成的圆环的间隔，能否放进一个大人的拳头,”一定会有学生凭直觉认为不太可能的，或感到困惑。实际上只须经过化简计算，即可得出肯定的结论。 解:设地球半径为R，圆环间的宽度为x米，则 2121,,RR， ,,,,()15.9()米厘米x222,,, ？ 这样的宽度足以放进去一个大人的拳头。 【例2】在一段笔直的斜坡公路上，一个人骑车上坡速度为a，返回时速度为b，求这个人骑车往返的平均速度。 分析 在解题过程中一定会有学生把算术平均值与平均速度这两个概念混淆，错误地认为 ab，是求算术平均值:。事实上，应为平均速度。 2 解:假设这段公路的距离为S，平均速度为V，则 22Sab平均速度,, V，SSab， ab 【例3】 某厂今年产值比去年增加10%，问去年比今年少百分之几, 分析 解答过程中，会有学生错误地认为去年比今年少10%。产生错误的原因是忽视了去年与今年中的百分比的基数不同。 解:设今年的产值为a，去年的产值为b， ,, 由已知，得: ab,，(110%) 则去年比今年少: 100a,a,ab110 ,, 9.1% aa 6.2 提倡批判质疑，鼓励热衷求异的冒尖人才。 有突出创造智能的人，总想突破常人思维的局限，热衷于求异思想，标新立异，往往不合潮流，然而有时却被证明真理在他一边。 有一则这方面的十分生动的例子。 【例4】美国举行的一次全国数学竞赛中，应考生多达83万，共50道题，其中第44道题是这样的:“一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等。问重合一个面后还有几个面,” 答案注明为“7个”。一个佛罗里达州名叫丹尼尔的学生加回答为:“5个”。结果被教授们判为错答，并“驳回”丹尼尔的说理，坚持按标准答案给分。丹尼尔委屈地把想法讲给父亲听，当工程师的父亲动手做了两个实物模型(如图6-1)，重合一个面(VCB)后，果然只有5个面——天才般的直觉。 11诚然，VAB与(及VDC与)何以能重合为一个面还需加以证明，但小丹尼却VBSVCS 能“跨越”这些演绎过程，直接得出答案。数学教学应热情鼓励如此的“跨越”。 (图6-1) 6.3 猜想是点燃创新思维的火花。 合理、科学的猜想是直觉思维的重要形式，也是科学发现的重要途径，许多数学结论的发 ,, 现，都是从猜想开始，然后再设法加以证明。猜想是点燃创新思维的火花，猜想对于创新思维的产生和发展有着极大的作用。所以，在解题教学中，要引导学生开动脑筋，展开想象的翅膀，大胆地猜想，以培养学生思维的独创性。 xyk，,【例5】 设，求满足不等试的整数解(x，y)的组数。 kN, 分析 先猜想解的组数n与k有关，因此可记为。再用探索法可逐个地去求: fk() ?当时，，则; (,)(0,0)xy,f(1)1,k,1 ?当时，，则; (,)(1,0),(0,1),(0,0),(0,1),(1,0)xy,,,f(2)5,k,2 ?当时, (,)(2,0),(1,1),(1,0),(1,1),(0,2),(0,1),(0,0),xy,,,,,,,,k,3 ，则; (0,1),(0,2),(1,1),(1,0),(1,1),(2,0),f(3)13, ?当时， (,)(3,0),(2,1),(2,0),(2,1),(1,2),(1,1),xy,,,,,,,,,,k,4 (1,0),(1,1),(1,2),(0,3),(0,2),(0,1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,1),,,,,,,,, (1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,0),(2,1),(3,0),，则f(4)25,，„„ 然后运用归纳猜法猜想出fk()的通项公式。由 22,或1，0f(1)11210,,，，，,22或2+1(2)51211,,，，，f,,,，,fkkk()12(1),22或3，2 (3)131232,,，，，f,22或()(1),，,fkkk,22(4)251243,,，，，或4，3f, ,？？, 【例6】 在实数范围内分解因式: 33232 ? ; ? ; ? ; xx,,76xxx，221，，2383xxx,,, 分析 上述各多项式的因式分解可以运用分组分解法或待定系数法求出。现在我们用“赋10还原法”来解，这种方法的实质是一种探索性猜想与演绎。 3? 我们猜想在实数范围内的分解因式可能是三个一次式之积，也可能是一xx,,76 个一次式与一个二次式之积。现在我们取特例来进行演绎以验证猜想的合理性。当然令 是较为简单的。这时有: x,10 原式 ,,,,1000706924 将其分解质因数，得: 2 92432711,，，， 适当组合成三因数之积，即92412711(102)(103)(101),，，,，,，，由此再猜想: 原式,，,，(2)(3)(1)xxx， 只需用乘法验证即知这个分解是正确的。 32? 类似于?，令，则有 fxxxx()221,，，， f(10)1000200201122111337,，，，,,，， ,, ,，,，，，11111(101)(100101) 由此，经过探索验证后可得: 2 fxxxx()(1)(1),，，， 32? 同上，我们有，注意到的首项是，就可将适fX()f(10)2xf(10)16173711,,，， 当组合，得，经验证可得: f(10)21711(201)(103)(101),，，,，,， fxxxx()(21)(3)(1),，,， 6.4 通过一些趣味性题目，培养学生数学思维的独创性。 运算的独创性也是思维独创性的一个重要指标。学习贵在创新，尤其是数学学习。数学题目浩如烟海，其中构思巧异者比比皆是，常常需要在荆棘丛生的山间走出一条奇径来，光靠现成的知识是不够的。 下面这些例子，足以说明运算独创性的神奇之功。 【例7】分牛问题:古代印度一位老人临终前留下遗嘱，要把19头牛分给3个儿子。老 111大得总数的;老二得;老三得。但按印度教规，牛是神灵，不能宰杀，只能整头分，而245 先辈的遗嘱更需无条件遵从，怎么办呢,一个智叟沉思片刻后，提出一个令人叫绝的:“我借一头牛给你们。这样，老大就可得10头，老二得5头，老三得4头。”然后智叟牵走了剩下的一头，分配就如此顺利完成，智叟独创的巧法一时传为美谈。 【例8】溶液混合问题:设有甲、乙两具杯子。其中甲杯装10升A液，乙杯装10升B液。现从甲杯取出若干升A液注入乙杯搅匀;再从乙杯取同量混合液注入甲杯搅匀。这时测得甲杯中A液与B液之比为5:1。求第一次从甲杯中取出的A液量是多少升, x按通常理解，设从甲杯取出A液x升注入乙杯，则乙杯中A液与混合液之比为，B10，x 10液与混合液之比为。 ，x10 x10从乙杯中取出混合液x升中，含A液升，含B液升。因此，现在甲()x()x，，1010xx 杯中A液与B液的比值为: x(10)(),，xx510，x, ， 101()x10，x222化简为，解得(升)，即第一次从甲杯取出的A液为2升。 1050,，,xxxx,2 有的学生另辟奇径，他注意到: ? 经过从甲注A液入乙及乙取混合液注入甲两个步骤以后，甲、乙两杯液量未变:仍为10升，即甲杯有多少B液乙杯就添多少A液，当甲杯中A、B液之经为5:1时，乙杯中B、A液之比亦为5:1; ,, ? 当甲杯取A液注入乙杯后，乙杯混合液成分随即确定，至于从乙杯中取走混合液与否，并不影响混合液中A与B之比。于是把问题转化为求:从甲杯中取出多少A液注入乙杯，使乙杯中A液与B液之比为1:5,——排除了“无关因素”，敏锐地抓住了“变化因素”(A液改变比例)，见解独特～ x1于是问题的解决就变得轻而易举:(升)。 ,,,2x105 【例9】鸡兔问题:已知笼中鸡兔共有50个头，140条腿，问鸡和兔各有多少,在解决这个问题时，对于一个未学过方程解法的学生来说，他想若所有的鸡都单腿独立，而所有的兔子都双腿站立，则总腿数只有原来的一半，即70。但因总头数保持不变，且这时鸡的头数等于鸡的腿数，于是用，得到兔子单腿站立数，即兔子的头数为20只;剩下的705020,, 鸡就是30只。这种富有想象力的思路显然新颖独特、别出心裁，就是一种“再发现”式的创造性思维。 总之，在解题过程中要引导学生打破常规、独立思考、质疑问题、大胆创新、积极争辩、寻求变异、放开思路、充分想象、巧用直观、探究多种解题方案或新途径，快速、简捷、准确地解决数学问题。通过解题教学，培养学生解决问题的能力，提高学生的思维素质，从而真正地体现素质教育。 【参考文献】 1. 马忠林主编，郑君文、张恩华著. 数学学习论. 南宁:广西教育出版社，1996,12. 2. 马忠林主编，胡炯涛著. 数学教学论.南宁:广西教育出版社，1996,12. 3. 马忠林主编，任樟辉著. 数学思维论. 南宁:广西教育出版社，1996,12. 4. 马忠林主编，郑毓信著.数学方法论. 南宁:广西教育出版社，1996,12. 5. 李玉琪著.数学教育概论.北京:中国科学技术出版社，1994,11. 6. 陈在瑞，路碧澄著.数学教育心理学.北京:中国人民大学出版社，1996,3. 7. 孙景年编.中学数学的概念、公式和例题.上海:上海科学技术出版社，1981,4. 8.罗耀彬编著.中学数学解题思维方法技巧.南宁:广西教育出版社，1988,12. ,,