复变函数2.1 可导的充要条件

复变函数2.1 可导的充要条件 第二章 解析函数 复变函数论的主要研究对象，是一类具有某种特性的可微函数。 ?2.1 可导的充要条件 wfzz定义:,()在()有定义，0N,0 ,z,z，,z,(z),(,z,0)00N,0 f(z，,z),f(z),w00,limlimzz,,00,z,,z, 存在，则称f(z)在z点可导，其值为0 f(z)在z点的导数。记作0 dw,()或者.fz0dzz,z0 极限存在是指当z沿任意方式,z时，都存在。0 ,令f(z),A，又令0 f(z，,z),f(z)00,,,,f(z)0 定义 的线性主要部分为A,z,w,z ,则,w,f(z，,z),f(z),A,,z，,,z00 ,,当,z,0时，,0，因而,,z是比,z更高阶的无穷小. z函数w,f(z)在的微分，记为，即 dw0 ,dw,f(z),z 0 ,f(z),1f(z),z当时，，， dz,,z0 因此 ,dw,f(z)dz 0 dw,f(z), 0dz zzf(z) 由此可见，在点可导与在可微是等价的。 00 n举例:求函数f(z),,(n,1,2,？)的导数。z nn(z，,z),,wz解:,,,limlim,z,z,z,0,z,0 n(n,1)，，n,1n,2n,1n,z，z,z，？，(,z)lim,,2，，,z,0 n,1,n,z nn,1,即(z),n,z ,容易证明，若f(z),C，则f(z),0举例:f(z),z在z平面上处处不可微。证明:f(z),x,iy在z平面上处处连续，,fz，,z,z,z,,,z,z,z ,f,当,z沿实轴,0时，,1,,f,z极限不存在。,,f,z,当,z沿虚轴,0时，,,1,z, f(z),z在z平面上处处连续，但处处不可微。在实函数中，要造这样一个例子，非常困难。 求导法则，(与一元实函数相同) 设f(z)和g(z)在区域D内可导，则有 ,,,,,,f(z),g(z),f(z),g(z)1 ,,,,,,f(z),g(z),f(z),g(z)，f(z),g(z)2 ,,,,C,f(z),C,f(z) ,,当g(z),0时3 ,,,，，f(z)f(z),g(z),f(z),g(z),,,2g(z),,g(z)，， ,,(复合函数求导法则)设函数w,f()和4*,,g(z)分别在区域D和G内可导，D,G， ,,则复合函数w,fg(z)在D内可导，且 dw,,,,f(),g(z)dz,(反函数求导法则)设w,f(z)在区域D内5 '可导，f(z),0，w,f(z)为D到E的一一对应， 1‘则反函数在内可导，且z,h(w)Eh(w),'f(z) 211f(z),(3z,4z，5),举例:则 2102'’f(z),11(3z,4z，5),(3z,4z，5) 210,11(3z,4z，5),(6z,4) 210,22(3z,2)(3z,4z，5) ,n举例:()(1,2,)fz,zn,？ 'n,11,nz,,'n,1 ()fz,,,,nz,,n2nzz,, (由商的导数公式) 柯西,黎曼(C.,R.)条件 w,f(z),z,x,iy 处处连续，u,x,v,,y,对x和y有任意阶 偏导且连续，但w,z却处处不可导。讨论:f(z),u，iv，可导，u,v应满足什么条件, 若f(z),u，iv在一点z,x，iy可导，设 fz，,z,fz()()',f(z)(1)lim,z,z,0 又设,z,,x，i,y,f(z，,z),f(z),,u，i,v,其中,u,u(x，,x,y，,y),u(x,y) ,v,vx，,xy，,y,vxy(,)(,)则(1)式变为 ,u，i,v',f(z)(2)lim,x，i,y,z,0,y,0 无论按什么方向，,z,,x，i,y,,0总成立。(2) 先令则式变为,y,0,,x,0,(2) ,u,v,，i,f(z)(3)limlim,x,x,z,0,z,0 ,u,v,即，i,f(z),x,x ,u,v由知，和肯定存在)((3),x,x 再令则式变为,x,0,,y,0,,(2) ,u,v,,i，,f(z)(5)limlim,y,y,y,0,y,0 ,u,v,即,i，,f(z)(6),y,y 比较式，得(4)(6) ,u,v,u,v，,,,,x,y,y,x (C.,R.) C.-R.条件是复函数在一点可导的必要条件. 定理1 f(z),u，iv(x,y)(x,y)在区域内一点可导的充要条件为分别在点可Du,v 微，并且在该点满足C-R方程(条件)。 证明:必要性 设f(z)在内一点 D z,x，iy.可微。则 ,,,f(z),f(z),z，,z, ,,,,，i,0,12 当时，令,z,0 ,,,f(z),，i,,z,,x，i,y, ,f(z),,u，i,v, 充分性若在点可微，u,v(x.y) 则, ,u,,x，,y，uu1xy, ,v,,x，,y，vv2xy,,,22其中和是,,x，,y12 的高阶无穷小由条件，,C,R 设,, ,,,,,,uvuvxyyx 则 ,f,,u，i,v,,,,,,,(,x,,y，)，i(,x，,y，)12,,,,,(，i)(,x，i,y)，，12则或 ,,,u，i,v，i,f12,,,，i，,,,,,,,,x,,y，i(,x，,y)，，i,z,x，i,y12,,,,,,这里,Re(,,z),,Im(,,z),,，i12，i1212 ,,,,由,u,,x,,y，221,x，i,y,x，,y,,,,v,,x，,y，2,,，12,,0(,z,0)由二元函数的微分定义，知u,v在(x.y),点可微。且 u,,,v,u,,,,,v(C,R条件)xyyx ,f,,,，所以ilim,z,y,0 ,，推论1若函数f(z)在点zxiy 可导，则 ,,,,uvvu'f(z),，i,,i,,,,xxyy 推论2若函数f(z)在点z,x，iy 可导，则它在该点连续 ,，证明:f(z)uiv在点(x，y) 可导，则u,v在(x，y)可微， 从而u,v在(x，y)连续， 即f(z)在(x，y)连续。 2举例:讨论f(z),z的可微性。 222解:f(z),z,x，y, 22u(x,y),x，y,v(x,y),0, 故u,2x,u,2y,v,v,0xyxy这四个偏导数在z平面上处处连续，但只在z,0处满足C,R条件，故f(z)只在z,0可微。 2举例:求f(z),x,iy在哪些点可导。 2解:u(x,y),x,v(x,y),,y,故 u,2x,v,,1,u,0,,v,0xyyy 11得x,,,故仅在直线x,,上22满足C,R条件，且偏导数连续， 1从而仅在x,,时，f(z)可导。2 ,,举例:研究f(z)xy在z0处的可导性。 ,,解:u(x,y)xy,v(x,y)0,故 ,,u(x,0)u(0,0)',,u(0,0)0xlim,,x,x0 ,,u(0,y)u(0,0)',,u(0,0)0ylim,y,,y0 '',,v(0,0)v(0,0)0xy ,,,f(z)xy在z0处满足CR方程。 ,,,，,,但当zxikx0时，,,有x0 ,,,,xkx,,f(z)f(0),,,，,zxikx ,k ,，1ik ‘其极限值随着k而变化，f(0)不存在。 ,由此可见，不能只验证CR条件，而不验证u(x,y)，v(x,y)的可微性。就判断f(z)可导。