完美正方形

完美正方形 好风光好风光恢复供货才 完美正方形 壹、 摘要 「完美正方形」是指在一正方形內切割出大小都相異的小正方形。而我們的研究,則放寬條件,允許同樣大小的正方形不超過三個。 我們先估算出正方形中可切割的最大正方形邊長範圍,再以方格紙手畫的方式找出邊長,至25的解,在過程中,我們發現可用放大的方式解決邊長為合數的正方形。 因此我們將重點放在邊長為質數的正方形,我們將正方形分割成兩個連續整數邊長的正方形,則剩下少一單位的缺角正方形區域。我們探討缺角正方形區域的解,再討論分析回原來的正方形。最後解出了邊長1至100中全部有解的正方形。 對於更大邊長的正方形,我們的方法也可行。所以我們以圖來示解決問題的過程,並用電腦試算邊長1至1000的完美正方形。 1 貳、 研究動機 在暑假專書研讀:名人趣題妙解 書中,我們看到了塔爾塔冺亞的巧分格紙,覺得很感興趣,所以我們將完美正方形與巧分格紙兩個融合,當作我們科展的題目。 參、 研究目的 「完美正方形」是指,在一正方形內切割成不同大小、邊長為整數的正方形,且這些切割出的正方形,均不能全等,這個主題在文獻上有不錯的研究成果。而我們的研究,則放寬條件,允許每一種同樣大小的正方形不超過三個,希望可以探討邊長1,100中哪些正方形有解、哪些正方形無解,如果有解如何切割, 肆、 文獻探討 1926年,蘇聯數學家魯金對“完美正方形”的存在提出了猜想。到1938年,他們終於找到了一個由63個大小不同的正方形組成的大正方形,人們稱它為63階的完美正方形。次年有人給出了一個39階的完美正方形。1964年,塔特的學生,滑鐵盧大學的威爾遜博士找到了一個25階的完美正方形。1948年,威爾科克斯提出了一個24階的完美正方形,在往後的30年中,人們一度以為24尌是完美正方形的最小階。1978年,荷蘭 特溫特技術大學的杜依維斯蒂尤,用大型電子電腦算出了一個21階的完美正方形。這是完美正方形的最終目標了。因為魯金曾證明,小於21階的完美正方形是不存在的。 魯金當時在研究此問題時發現:一塊邊長為13的正方形最少可以裁出6種不同規格的小正方形,且每種正方塊個數不超過三塊。但是這種裁法,允許相同規格的小正方數不超過三塊,在其他正方形邊長的結果如何,我們在文獻上並沒有找到資料,於是我們開始研究,試試看能否找出所有解, 伍、 研究過程 一、 我們先估計完美正方形中最大正方形邊長的上下界: 2 我們在手畫的過程中,習慣先切割一個大正方形,再在剩下的區域中分割,但我們常 常不知道要先放多大的正方形,所以為了增加求解速度,我們用數學式子研究邊長, 的正方形中,所能切割的最大正方形邊長範圍。 設n為正方形邊長,,為正方形內切割的最大正方形邊長 先找,的上界: ,,，，，，,因為每一種正方形不超過三個,所以當最大正方形排入後,所剩的區域最多僅能排下222222邊長1、2、3……(n,x)的所有正方形各三個,我們可以列式如下: ,,，,，nx3123......(nx)，,, ,, 3(nx)(nx1)(2n2x1) (nx)(nx)，,,，,，6 ，,,，，,，2(nx)(nx1)(2n2x1) 22 ,,，，,， nxnxnx2n2x2n4xn2x3n3x122 ,,，，，，　x(n)xnn02425122 ，，，,，，，024521n(n)(nn)) 22,,，(x) 454542210，，，，， n-(n)-(nn)422　　,(x) 45454221 ，，，，,，nnnn4,,,(x)(x) 453217453217 0，，，nn44,,？,n 　　??不合,x,x 453217 n，,n， 4　,x, 453217 再找,的下界: 4 22222223x，x,1，x,2，x,3，....，2，1,n,,，，，，，， xx，12x，1，，，，23，,n 6 3222x，3x，x,2n 這個式子,我們的能力無法求解,只好尋求電腦幫忙。 我們以Mathematica這個軟體求出x的範圍如下: 3 n x的範圍 x的可能解 n x的範圍 x的可能解 1.14?x?1 1 0.58?x?0.5 無整數解 2 無整數解 3 1.62?x?1.59 無整數解 4 2.05?x?2.24 無整數解 5 2.45?x?2.92 無整數解 6 2.83?x?3.64 3 4 7 3.18?x?4.37 8 3.52?x?5.12 4、5 9 3.84?x?5.88 4、5 10 4.16?x?6.66 5、6 11 4.46?x?7.45 5、6、7 12 4.76?x?8.24 5、6、7、8 13 5.04?x?9.05 6、7、8、9 14 5.32?x?9.86 6、7、8、9 15 5.60?x?10.68 6~10 16 5.86?x?11.50 6~11 17 6.12?x?12.33 7~12 18 6.38?x?13.16 7~13 19 6.63?x?14.00 7~14 20 6.88?x?14.84 7~14 21 7.12?x?15.69 8~15 22 7.36?x?16.53 8~16 23 7.60?x?17.39 8~17 24 7.83?x?18.25 8~19 25 8.06?x?19.10 9~19 二、 算出正方形內可切割最大正方形邊長:x:後,我們再用方格紙實際畫圖,以下 是實際畫出來的結果: (一) 1×1~5×5,x沒有可能解,所以不必畫尌知無解。 (二) 6×6 2.83?x?3.64 x的整數解3 但畫出5個1×1 所以無解。 (三) 7×7 3.18?x?4.37 x整數解為4 找出2種解 (四) 8×8 4 3.52?x?5.12 x可能解為4、5 但畫出4個1×1 所以無解 (五) 9×9 3.84?x?5.88 x可能解為4、5 找出3種解 (六) 10×10 4.16?x?6.66 x可能解為5、6 畫出4個相同正方形 所以無解 (七) 11×11 (八) 12×12 (九) 13×13 5 (十) 14×14 (十一) 15×15 (十二) 16×16 (十三) 17×17 6 (十四) 18×18 (十五) 19×19 (十六) 20×20 (十七) 21×21 7 (十八) 22×22 (十九) 23×23 (二十) 24×24 (二十一) 25×25 8 我們畫出的結果統計如下: 邊長 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解數 0 0 0 0 0 0 2 0 3 0 3 4 1 邊長 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 解數 4 6 4 5 4 4 1 3 6 1 5 4 陸、研究結果與討論 我們原本手畫的部分是邊長1至25的正方形,後來想要擴展到邊長1至100的 解,因此我們依照正整數n的性質分類,來探討完美正方形的可解性: 一、 邊長n為合數 我們發現每個解皆可等比放大成另一個解,例:9 × 2,18 × 2 所以我們把重點放在研究邊長n為質數的正方形。 二、 邊長n為質數 9 質數除了2 以外皆為奇數,所以我們把邊長為奇數(n)的正方形分成 兩個連續整數的和,分冸是邊長(n+1)/2和邊長(n-1)/2的正方形 (圖,),則剩下如區域B的圖形 圖A 區域B (n-1)/2 (n+1)/2 ? m (n-1)/2 ? 我們把研究重點放在區域B,分類找出區域B的解。:上圖區域B為邊長m的正方形少一單位,為了方便表示,我們用圖形中的數字表示正方形的邊長: 我們先列表看看完美正方形邊長n與區域B中缺角正方形邊長m的關係如下: n 3 5 7 11 13 17 23 29 31 37 41 43 …… m 2 3 4 6 7 9 12 15 16 19 21 22 …… 接著開始尋求區域B中缺角正方形邊長m的可能解。 (一) 我們在畫邊長1~25的正方形時,發現有些正方形若角落少一格即有解 (如圖 2-1),這個解正好可以填補區域B。用此方法我們找到的解有 m,4、5、7、 8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25 1 圖2,1 (m,5) 3 2 1 2 2 1 a(二) 當m,2 :a?2:的時候我們可以把區域B分割成如圖2-2的圖形,用此 方法我們找到的解有m,4、8、16、32、64…… 1 2 圖2-2 1 1 4 2 2 4 4 10 (三) 我們在畫時無意間發現,如果m為費波那契數。(所謂費波那契數是下列數 列1,1,2,3,5,8,13,21……中的數字),且m?5時,則一定可以用以 下的方式切割正方形(如圖2-3)。 方法是在角落旁放上一個1×1的正方形,在 3、 5×5……等的正方形,組成一個邊長皆為費波那契旁邊依序補上2×2、3× 數的長方形,設此長方形兩邊的邊長為Fa和Fa+1,將此Fa×Fa+1的長方形旋 轉,放到區域,的右下方,再在此長方形的上方和左方補上邊長為Fa及Fa+1 的正方形,用此方法我們找到的解有m,5、8、13、21、34、55、89 ? ? Fa+1圖2,3 (m,21) ? F a F a ? ? F a+1 F a+1 ? ? F ? a (四) 1. m=Fn-2 將上圖2,3中,右下角F,×Fa,1去掉一塊2×2的正方形,並補上邊長為 1、Fa,2、Fa+1,2的正方形,尌可以做出區域,:如圖2-4-1:,我們用此 方法找到的,有11、19、32、53、87 1 3 圖2 - 4 -1 2 6 8 5 1 1 5 3 11 8 11 2. m=Fn-3 上圖2,3中,右下角Fa×Fa+1去掉一塊3×3的正方形,,並補上邊長為 1、Fa-3、Fa+1-3的正方形,尌可以做出區域,:如圖2-4-2:,我們用此 方法找到的,有10、18、31、52、86 圖2-4-2 3 2 5 8 5 5 2 10 8 3. 以此類推,若將上一方法中,將右下角放的F×F的長方形中去掉一塊正aa+1 方形r×r(r為Fa-n,n?2),並補上邊長為1、Fa,r、Fa+1,r的正方形,也可 以拼出區域,,此種方法拼出的m有16、26、42、68 (五) 1. 下圖找到的m=2Fn-3 我們可以將方法(三)得到的,,右下角的正方形去掉,補上三個正方形, 得到新的,:如圖2-5-1、2-5-2: 2 1 圖2-5-1 5 5 3 10 2 5 5 5 3 8 2 5 8 13 3 10 2 12 2. 下圖找到的m=2Fn-5 2 1 圖2-5-2 5 3 2 1 11 11 5 3 11 8 8 3 1 1 3 6 5 1 1 8 6 5 19 11 3. 2Fn-Fr:r?n-2: (六) 綜合上述五種方法中我們所找到的m有:4、5、7~25、26、31、32、34、42、 52、53、55、64、68、86、87、89 。 三、 我們已經找出一些區域B的可能解,接著嘗試去擴展找出完美正方形。 (一) 1. 如圖3-1-1排列,可推知完美正方形邊長n=2m-1,所得到的n,17、19、 23、29、31、37、41、43、47、67 圖3-1-1 n= 2m-1 m-1 m m m-1 13 2. 如圖3-1-2排列,可推知完美正方形邊長n=4m-1,所得到的n,19、31、 43、47、59、67、71、79、83 圖3-1-2 n= 4m-1 2m 2m-1 m m 2m-1 m m k3. 以此類推我們可以得出,正方形邊長n=2m-1皆可以用此方法分割。 (二) 1. 將圖3-1-1中的正方形m-1挖掉,補上三個正方形 如圖3-2-1,可擴展找出 完美正方形邊長n=3m-1,所得到的n,11、23、29、41、47、53、59、71 圖3-1-1 圖3-2-1 m-1 m m 2m-1 m m-1 m m m m-1 2. 將上圖3-2-1中的正方形m-1挖掉,補上三個正方形 如圖3-2-2,可推知完 美正方形邊長n=5m-1,所得到的n,19、59、79、89 圖3-2-1 圖3-2-2 m m 2m-1 2m 2m-1 m m m m m m 3m-1 m-1 2m 14 3. 將上圖3-2-2中的正方形2m-1挖掉,補上三個正方形如圖3-2-3,可推知 完美正方形邊長n=8m-1,以此類推我們可以得出,n=Fn × m,1 :Fn為 費波那契數: 圖3-2-2 圖3-2-3 m 2m-1 2m 3m m 5m-1 m m m 2m 3m-1 2m m m m 3m 3m-1 2m (三) 1. 若將圖3-2-1中的正方形m挖掉,補上三個正方形 如圖3-3-1,又擴展出另 一類的完美正方形邊長n=5m-2,所得到的n,23、43、53、73、83 圖3-3-1 圖3-2-1m m 2m-1 2m-1 2m-1 m m m-1 m m m m-1 3m-1 2m-1 www.docin.com 2. 將上圖3-3-1中的正方形2m-1挖掉,補上三個正方形 如圖3-3-2,可將完 美正方形邊長由n=5m-2,推廣成完美正方形邊長n=8m-3,所得到的n, 29、37、53、61 圖3-3-2 m 2m-1 2m-1 m 3m-1 2m-1 2m-1 m m-m m 3m-1 m-1 m 5m-2 3m-1 2m-1 3m-1 15 3. 如圖3-3-3,可推知完美正方形邊長n=13m-5,以此類推我們可以得出, n=Fnm,Fn-2 :Fn為費波那契數: m 圖3-3-3 2m-1 2m-1 3m-1 m 5m-2 m-1 m m 3m-1 2m-1 2m-1 3m-1 m 3m-1 5m-2 m-1 m 8m-3 5m-2 5m-2 3m-1 (四) 1. 如圖3-4-1排列,可推知完美正方形邊長n=8m-2 圖3-4-1 m www.docin.com2m-1 2m 3m-1 m m m m 2m-1 2m m 3m-1 m m 5m-1 3m-1 2m 3m-1 16 2. 如圖3-4-2排列,可推知完美正方形邊長n=13m-3 圖3-4-2 5m-1 m 2m-1 2m 3m-1 8m-2 m m m m 5m-1 2m-1 2m 3m-1 m m m 3m-1 3m-1 5m-1 5m-1 3m-1 3. 如圖3-4-3,可推知完美正方形邊長n=21m-5,以此類推我們可以得出, n=Fnm,Fn-3 :Fn為費波那契數: 圖3-4-3 www.docin.com 5m-1 8m-2 8m-2 8m-2 m 2m-1 5m-1 2m m m 3m-1 m 2m-1 2m 5m-1 m 3m-1 m m 3m-1 13m-3 5m-1 5m-1 3m-1 8m-2 17 (五) 1. 如圖3-5-1排列,可推知完美正方形邊長n=13m-2,所得到的n,63、89 圖3-5-1 3m 5m-1 5m-1 5m-1 3m m 2m m m m m 2m 3m-1 m 2m m m 3m 3m-1 8m-1 2m 5m-1 2. 如圖3-5-2,可推知完美正方形邊長n=21m-3,以此類推我們可以得出, n=Fnm,Fn-3 :Fn為費波那契數: 圖3-5-2 3m 5m-1 5m-1 www.docin.com m 8m-1 2m m m m 3m 5m-1 5m-1 3m-1 2m m 8m-1 2m m 8m-1 m m 3m-1 2m 13m-2 5m-1 8m-1 18 (六) 1. 如圖3-6-1排列,在區域,周圍加上3個邊長為m的正方形,再將其餘正 方形邊長中m的係數變成2倍,可推知完美正方形邊長n=6m-1,所得到 的n,23、29、41、47、53、59、71、83、89 圖3-6-1 2m 4m-1 m 2m-1 2m m m m m-1 m m 2m 2m-1 m m 2. 如圖3-6-2排列,可推知完美正方形邊長n=10m-2 圖3-6-2 2m 4m-1 4m-1 m 2m-1 2m-1 2m m m m 3m-1 2m-1 m-1 m m m 6m-1 2m-1 4m-1 19 3. 如圖3-6-3,可推知完美正方形邊長n=16m-1,以此類推我們可以得出, kn=2Fnm,Fn-r :Fn為費波那契數,r?2: 圖3-6-3 2m 4m-1 4m m 2m-1 6m-1 2m 2m 3m-1 m m m 2m m m m m 5m-1 3m-1 6m-1 10m-1 3m-1 6m-1 四、 我們將討論二中所找到的一些區域B的解,用討論三中的方法去擴展找出完美正方形。冺用EXCEL軟體試算如下表: …… m 2m-1 3m-1 4m-1 5m-1 8m-1 13m-1 5m-2 13m-3 21m-8 4 7 11 15 19 31 51 18 49 76 5 9 14 19 24 39 64 23 62 97 7 13 20 27 34 55 90 33 88 139 8 15 23 31 39 63 103 38 101 160 9 17 26 35 44 71 116 43 114 181 10 19 29 39 49 79 129 48 127 202 11 21 32 43 54 87 142 53 140 223 12 23 35 47 59 95 155 58 153 244 13 25 38 51 64 103 168 63 166 265 14 27 41 55 69 111 181 68 179 286 15 29 44 59 74 119 194 73 192 307 16 31 47 63 79 127 207 78 205 328 17 33 50 67 84 135 220 83 218 349 18 35 53 71 89 143 233 88 231 370 19 37 56 75 94 151 246 93 244 391 20 39 59 79 99 159 259 98 257 412 21 41 62 83 104 167 272 103 270 433 22 43 65 87 109 175 285 108 283 454 23 45 68 91 114 183 298 113 296 475 24 47 71 95 119 191 311 118 309 496 20 25 49 74 99 124 199 324 123 322 517 26 51 77 103 129 207 337 128 335 538 31 61 92 123 154 247 402 153 400 643 32 63 95 127 159 255 415 158 413 664 34 67 101 135 169 271 441 168 439 706 42 83 125 167 209 335 545 208 543 874 52 103 155 207 259 415 675 258 673 1084 53 105 158 211 264 423 688 263 686 1105 55 109 164 219 274 439 714 273 712 1147 64 127 191 255 319 511 831 318 829 1336 68 135 203 271 339 543 883 338 881 1420 86 171 257 343 429 687 1117 428 1115 1798 87 173 260 347 434 695 1130 433 1128 1819 89 177 266 355 444 711 1156 443 1154 1861 柒、結論 一、 開始研究時,我們先算出正方形n中可切割最大正方形邊長x的範圍,再配合這個數據,用方格紙實際畫出邊長1至25的完美正方形,結果發現除了邊長1、2、3、4、5、6、8、10無解,其他皆有解。 二、 接著為了擴展到邊長n=25~100的解,我們依照正整數n的性質分類。我們發現只要n為合數,而n的因數有解即可用放大的方式,找出25~100的合數解: 邊長有解的原圖 放大後找出有解的邊長n 7×7 28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98 9×9 27、36、45、54、63、72、81、90、99 11×11 33、44、55、66、88、99 12×12 24、36、48、60、72、96 13× 13 26、39、52、65、78 15×15 30、60、75 16× 16 32、64、80、 17×17 34、51、68、85 19× 19 38、57、76、95 21 20×20 40、100 23× 23 46、69、92 25×25 50 29× 29 58、87 31×31 62、93 41× 41 82 43×43 86 47× 47 94 三、 若邊長n為質數,我們把正方形分割成 兩個連續整數邊長的正方形,則剩下少一單位的缺角正方形區域B,若,為區域B的邊長。我們用了五種方法去探討,的解,以下是五種方法中分冸找出的解: 1至25畫圖找, 4、5、7,25 am,2 4、8、16、32、64 m=Fn 5、8、13、21、34、55、89 m=Fn-2 11、19、32、53、87 m=Fn-3 10、18、31、52、86 四、 我們將區域B的解,討論分析回原來的完美正方形。我們探討出很多推廣的方法,下列是邊長25至100的完美正方形中,我們所用的方法: 方法 n的質數解 n= 2m-1 7、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、67、83 n=3m-1 11、53、59、71 n=4m-1 79、87 n=5m-1 79 22 n=5m-2 73 n=21m-8 97 我們解出了邊長1~100中全部有解的完美正方形。 五、 對於一般邊長的完美正方形,我們也可以用此方式操作,將問題分類探討,我們 以流程圖來表示解決問題的過程: 探討邊長,的完美正方形 先將n質因數分解 n為合數 n為質數 n的因數有解 n的因數無解 找出接近m的幾個費波那契數 K試將n分成F×2×m – F nn-r 找出m的解 m無解 m有解 冺用式子找x的範圍 手畫 六、 我們將上面的研究結果,用電腦幫忙試算邊長1至1000的所有完美正方形,大 概只有18個無法解決,這是我們可以繼續努力的方向。 23 捌、參考資料 吳振奎、吳旻:民91:。塔爾塔冺亞:109-110頁:。九章出版社。 24 25