与费马点有关的两个问
浙江省永康市芝英中学 陈俊杰
【摘要】本文先简要介绍大家所熟知的费马点的有关背景、做法和性质,然后给出与费马点有关的两个问题的解答
【关键字】费马点,最小值,坐标,公式,几何做法
一、费马问题
1640年,法国著名
家费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小(人们称这个点为“费马点”
后来数学上费马点的定义:在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点
三角形中的费马点的存在性和
可以见诸多文献,如文[1]、[2],下面介绍平面三角形中找出费马点的几何
AB,BC,CA(1)三内角皆小于120?的三角形,分别以为边,向三角形外侧做正三
,,,,,,ABC,ABC,ABCAA,BB,CC角形,然后连接,则三线交于一点P,则点P就是所
,,,ABC,ABC,ABC求的费马点;或者是做出三角形的外接圆,易知三个外接圆交
,,APC,,APB,,BPC,120于一点P,则点P就是所求费马点。(且有性质) (2)若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求费马点 二、最值与坐标
本文只对三内角皆小于120?的三角形的情况进行讨论
a,b,c,ABC【问题1】已知为三内角所对应的AB’C'
,ABC三边长,为的费马点,设 P
PPA,x,PB,y,PC,zx,y,z,x,y,z,求的值 C
B,ABC解:因为为的费马点,故有 P
,,APC,,APB,,BPC,120,所以有
A'
1,S,S,S,S,sin120(xy,yz,xz),ABC,APC,APB,BPC2
4即 (1) xy,yz,xz,3S,ABC3
222,x,y,c,2xycos120在中,根据余弦定理有, ,APC
222x,y,xy,c即 (2)
222y,z,yz,a同理有 (3)
222x,z,xz,b (4)
2222222(x,y,z),a,b,c,(xy,yz,xz)(2)+(3)+(4)有 (5)
2222(x,y,z),x,y,z,2(xy,yz,xz)所以
222a,b,c3 (6) ,,(xy,yz,xz)22
a,b,cL,x,y,z,s,记 2
S,s(s,a)(s,b)(s,c)根据海伦公式有 (7) ,ABC
由(1)(6)(7)式可得
222a,b,c2 L,,23s(s,a)(s,b)(s,c)2
222a,b,c故 L,x,y,z,,23s(s,a)(s,b)(s,c) 2
2222,b,c,z,xz,y,xy,(x,y,z)(z,y)(4)(2)式有 (8) 2222a,b,y,yz,x,xz,(x,y,z)(y,x),(3)(4)式有 (9) 2222c,a,x,xy,z,yz,(x,y,z)(x,z),(2)(3)式有 (10) 22bc,L,x,y,zzy由(8)可得,代入,可得 ,,2L
22ba,xzL ,2,, (11) L
L,x,y,z把及(11)式代入(10)式可得
2222Lbc2a,,,x ,3L
2222Lac2b,,,同理可得 y ,3L
2222Lba2c,,, z,3L
A(x,y),B(x,y),C(x,y)P,ABC【问题2】已知三角形ABC,,若为 112233
P(x,y)的费马点,求点的坐标
AB'C'PA,PB,PC解:显然中最多只有一条直线没有O2O3
斜率,因此分二种情况讨论 P
CPA,PB,PC1、若都有斜率,则 B
O1
k,k,PAPC (1) tan120,1,kkPCPA
A'k,k,PCPB (2) tan120,1,kkPCPB
k,k,PBPAtan120, (3) 1,kkPBPA
y,yy,yy,yy,y1331由(1)可得 ,,,3,3x,xx,xx,xx,x1331223x,3y,(y,y,3x,3x)x,(x,x,3y,3y)y,化简得 31131313
xy,xy,3xx,3yy,0 (4) 31131313
223x,3y,(y,y,3x,3x)x,(x,x,3y,3y)y,同理得 23233223
xy,xy,3xx,3yy,0 (5) 23322323
223x,3y,(y,y,3x,3x)x,(x,x,3y,3y)y, 12122112
xy,xy,3xx,3yy,0 (6) 12211212
,,,O,O,OABC,ABC,ABC易知(4)(5)(6)分别为正三角形的外接圆的方程,则 213
PPC,PB,PAPC,PB,PA(4)-(5),(5)-(6),(4)-(6)可得直线的方程,因为是
P(x,y)PB,PA的公共交点,故是直线PC,PB(或,或PC,PA)的方程构成的
P(x,y)方程组的解,即满足方程
,(2y,y,y,3x,3x)x,(x,x,2x,3y,3y)y,3121212312,
xy,xy,xy,xy,3(xx,yy,xx,yy),0,3132132313132323 ,yyyxxxxxxyyy(2,,,3,3),(,,2,3,3),,2131313231
,xyxyxyxyxxyyxxyy,,,,3(,,,),02321321223231212,
因为此方程组的解
达式很繁,故只给出上式,没有具体的给出这组解。
PA2、若有其中一条没有斜率,不妨设直线没有斜率
PAPB,PCx因此垂直于轴,且容易求得的方程分别为
33 , y,y,,(x,x)y,y,,(x,x)332233
,3(,),3(,)xxyy,33232,x,,,,(,)yyxx,33,23,3联立得,解得 ,,33(,),3(,)xxyy,,3232yyxx,,,(,),y21,,3,6,
3()3()x,x,y,y3232即当,且三角形三内角皆小于120?的情况下, x,123
3()3()3()3()x,x,y,yx,x,y,y32323232P(x,y)费马点才为(,) 623
参考文献:
[1]王申怀,利用导数求费马问题的解,数学通报,1995年11期 [2]张雄,用势能最小原理解决费马—斯坦勒尔问题[J],陕西教育学院学报