[教学]用最小二乘法求甲醛测定实验中未知溶液的浓度

[教学]用最小二乘法求甲醛测定实验中未知溶液的浓度 用最小二乘法求甲醛测定实验中未知溶液的浓度 Obtain the Density of the Unknown Liquor Using the Minimum Two Multiplication Method in the formaldehyde measuring experiment 摘 要 本文用曲线拟合的最小二乘法求甲醛测定实验中未知溶液的浓度，并由这种的 原理可知，用这种方法求得的数据能够具有最小的误差。 关键词 甲醛，曲线拟合，最小二乘法 Abstract: This paper uses the method of the minimum two multiplication of thecuive matches, to acquire the density of the unknown formaldehyde liquor through the absorbing value. From the principle of this method, we can obtain the minimum error. Keywords: formaldehyde, curvematch, minimum two multiplication method. 1 引言 [1]未知溶液浓度的测定是通过作图法来完成的，作图法处理数据确实有许多优点。但是由于作图法是通过手工画图，并根据画出的图，由溶液的吸光度再读出溶液的浓度，这样会带来较大的误差。实际上采用曲线拟合的最小二乘法处理这样的问，得到的结果会更准确，而且掌握了这种方法对处理更复杂的问题会更好。 2 最小二乘法的提出 在实践和科学实验中,经常会碰到如,=,(,)的函数，,虽然从原则上说，它在某个区间[,,,]上是存在的，但通常它是通过实验观测得到的，所以只知道区间[,,,]间一系列离散点上的函数值,=,(,)，对于,的其他函数值，函数,=,(,)的变化情况是不知道,, 的。这就是说，我们只知道,=,(,)的一张(,,,),,=1,2,……,。这对于研究复杂问,, 题很不方便，更不能用它计算未给出点的函数值。若函数能用一个公式表示，哪怕是近似的，也便于我们分析和研究实际问题。从图形上看，求这个公式问题就是由给定的,个测试点求 [2]一条最好地代表这些实验点的曲线问题。视测试点的情况不同，可用两种方法解决这个问题。第一种方法是根据已知比较有规律的测试点，找到一个近似的多项式，再根据这个多项式求出未知量;第二种方法是由于测试误差，,测试点比较分散，如果要求曲线通过所有的实验点(,,,)就会使曲线保留着一切测试误差，这不是我们所希望的结果。但我们可以画,, 一条近似的光滑曲线，使它能反映出测试数据的一般趋势，尽量使曲线没有局部的波动，而不必要求曲线通过所有的实验点。本文采用的最小二乘法就是这样的一种方法。 3 二乘法的应用 假设我们在实验中已测得四个实验点(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),根据经验我们11223344 假设相应的拟合曲线为线性方程的形式。 (1) 在实验中可以根据不同情况,方程可以取不同形式。拟合曲线反映了实验点的变化趋势,但拟合曲线并不要求曲线通过所有实验点,这样对于,,的实验值,,与曲线所求的值之间总有一定的误差,即 (2) 当,(,=1,2,3,4)全为零时称为完全拟合;当,不全为零时,要求各误差的平方和为最,, 小，即要求 (3) 其中Δ代表误差,的平方和的最小值,这就是最小二乘法原理。在式(2)中可以把,,,,,,看成;和;的函数。实际上要使式(3)得到满足，可以改变;和;，也就是改变方程(1) 式1212 为最小。从极值的观点看，也就是要求 的系数使 或写成 由最小二乘法原理导出的式(4)是曲线拟合的关键性方程。因为由式(2)和式(3)可以看出,最佳拟合是求出最合适的两个系数;和;来。而式(2)中有4个方程，显然无法确定出;121和;。但最小二乘法原理给出的方程组(4)却可以确定出最合适的;和;。展开式(4),得212 (5) 因为由式(2)知,,,均是;和;的函数,所以由式(2)求出,,和,,的各导数并代入12 式(5)后，式(5)将变为关于;和;两个未知数的两个方程式。这样就可解出;和;。由(2)1212式得 以及 : 代入式(5)得 (6) 在测定实验中,我们已配制好的四种甲醛溶液的浓度分别为3%，6%，9%和12%，把它们分别装在四个10厘米长的玻璃管中，利用分光光度计测得它们的吸光度分别为0.190，0.425，0.595，0.770。根据实验点的趋势可假设所拟合的曲线形式为线性方程如式(1)的形式。根据最小二乘法原理所导出的方程(6)，求出;和;，即把已知溶液的浓度和测得的吸光度12 代入式(6),得所求的最佳拟合的实验数据的曲线方程为 (7) 实验中，再将一未知浓度的甲醛溶液装入10厘米的比色皿中，测得它的吸光度为0.680，把此数代入式(7)中得,值。解方程求,得此溶液的浓度。 4 讨论 在使用这种方法时要注意:根据实验点趋势或根据一定的物理学规律所假设的拟合曲线 [3]形式不一定总是很好的，尤其对复杂的问题更是如此。正确地判别该用什么样的方程形式去拟合实验点往往还带有一定的试算性，即假设方程右边的函数具有不同形式，并分别求出各方程的误差平方和，其中,=1,2,3,……,,表示共有,对实验数据和,个误差值,,。哪个方程的误差平方和最小，就把哪个方程作为拟合方程。 参考文献 [1]李庆扬.数值分析基础教程[M].北京:高等教育出版社，2001 [2]施妙根，顾丽珍.科学和工程计算基础[M].北京:清华大学出版社，1999