具有VaR约束和无风险投资的证券组合选择方法

具有VaR约束和无风险投资的证券组合选择方法 具有VaR约束和无风险投资的证券组合选 择方法 第22卷第3期数学学报v01.22No.3 2005年06月CHINESEJ0URNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJun.2005 一一一=一一=一一一一一一_=一一I_一一一一—=——=一一一一 文章编~-:1005—3085(2005)03—0435—06 具有VaR约束和无风险投资的证券组合选择方法 李婷,张卫国. (1一宁夏大学数学计算机学院,银川750021;2.华南理工大学经济与贸易学院,广州510641) 摘要:本文提出了具有VaR约束和无风险投资的证券组合优化模型,在证券收益率服从正态分布的前 提下,给出有效投资比例及有效边界的解析形式,它是传统的均值一方差模型及有效证券组合的 推广. 关键词:无风险投资;VaR约束;有效证券组合 分类号:AMS(2000)90A09中图分类号:029;F830文献标识码:A 1引言 投资决策是金融机构经营活动中最基本的决策之一.通常的投资决策目标是对风险和收益 的综合考虑.Markowitz于1952年(【1】)最早提出了关于证券组合的均值一方差方法,它是金融 投资定量化研究的开端,成为金融投资理论研究的主要论题和决策实践的重要工具,构成了现 代投资组合理论的核心基础.Markowitz证券组合的均值一方差理论的基本思想是假定投资者 都是厌恶风险的,将资产的收益(率)看成是随机变量,用收益(率)的期望(均值)度量投 资收益,用收益(率)的方差度量投资收益的风险.Markowitz的均值一方差模型运用概率论 和最优化技术模型化了不确定条件下的投资行为,决策方法是在期望收益给定的条件下,最小 化风险;或者在风险给定的条件下,最大化期望收益.一个投资组合被称为有效投资组合是指 满足如下两个条件:1)对于给定的期望收益水平,具有最小风险;2)对于给定的风险水平,具 有最大的期望收益.在现实投资活动中,具有风险厌恶特征的投资者不仅要求投资组合的实际 收益率能够达到给定的期望收益率,同时也希望能够以较大的概率保证未来遭受的最大可能损 失不超过某一值. VaR(ValueatRisk)是金融机构在市场正常波动情形下衡量证券组合可能损失的一个统计 测度,亦称风险价值.其含义是指在给定的时间间隔,置信水平及正常市场条件下,投资组合 潜在的最大损失,即 P(Y<一,R)=1一, 其中y是一个资产组合的损失,VaR为置信水平下的风险价值. 文献[2—4]e究了无VaR约束的投资组合选择问题.文献【51在证券收益率服从正态分布前 提下,建立了投资机会与VaR双重约束下的投资组合选择模型.但文【51中的投资机会约束 和VaR约束实际是等效的,都是期望收益率大于某个定值的概率不小于某一置信水平,并 且文[5】中也只讨论了每一种证券都是有风险的投资.在实际投资环境中存在着风险相对很小 的金融资产,比如短期国债,短期融资券等,它们可以看作是无风险资产.本文我们考虑具 有VaR约束和无风险投资的证券组合选择问题. 收稿日期:2003-12?15.作者简介:李婷(1974年生),女,硕士研究生,研究方向:金融数学 工程数学学报第22卷 2具有VaR约束和无风险投资的证券组合优化模型 设投资者已选定n种风险证券和1种无风险证券进行组合投资,n种风险证券的投资收益率 为随机变量?=(?1,?2,…,)T,?服从正态分布?(,V),其中=(1,2,…,)T是n种 风险证券的期望收益率向量,为收益率的协方差阵.记r,为无风险证券的投资利 率,X=(】,2,…,Xn)T为在风险证券上的投资比例向量,1一FT为在无风险证券上 的投资比例,F=(1,1,…,1)T.则证券组合的期望收益为E=(1一FTX)rs-t-.X,其 方差为=XT. 我们建立具有VaR约束和无风险投资的证券组合优化模型(I)为: min2:XTVX s.t.(1一FTX)rs-t-]ATx=, P(?TX<一VaR)1一, FTX?1, (1) (2) (3) 其中是投资者给定的证券组合期望收益率,并规定参数0.5,VaR>0.(1)式为投资者 对于证券组合的期望收益率约束,(2)式为对于证券组合的VaR约束.证券组合优化模型(I)反 映了投资者对于证券组合的期望收益率要求达到,同时要求在置信度1一下证券组合潜在 的最大可能损失不超过VaR.显然,证券组合优化模型(I)是Markowitz的均值一方差模型和通 常的VaR模型的综合. 3具有VaR约束和无风险投资的有效证券组合算法 下面我们给出证券组合优化模型(I)确定的有效证券组合的算法公式.为了描述方便, 记A=TV一,B=TV_.F,C=FTV_.F,=AC—B.根据文献[2】,显然可 设r,<g. 定理1设是正定矩阵,当r,三昙时,如果 6丽A-Bri+一, 那么证券组合优化模型(I)的最优解为: = r-r 一$一(#-riFA2Br-kCr2). 一f ,. 其中b=西.1()(0),西()是正态分布的分布函数. 证明记 rr?X一X U一————;========?, ,/XTVX 兰一李婷,张卫国:具有VaR约束和无风险投资的证券组合选择方法437 因为?服从正态分布?(,),所以U服从标准正态分布N(O,1),由于 PT?一VaR):P(T , x厮--~Tx?— - VaR-#Tx) = P (丽VaR+#Tx) = Va \ R+~Tx /, 所以约束条件(2)变为 Va ,R+~Tx) 则VaR约束条件(2)等价于 — V — aR : + : # : T — x >b. ,/XTVX 即 T— b厕?一VaR.(4) 其中b=一()(?0). 于是,模型(I)等价于下面模型(II): min2=XT. s.t.(1一FTx)r,+T=, T —bvf-X-~VX?一 VaR, FTX1. 我们首先考虑下面无VaR约束的证券组合优化模型fIII): min2=XT. s.t.(1一FTx)r,+T=, FTX1. 当r,时,由文献[2】知,模型(III)的最优解为: =— A-y(#--rfF2BrfCr2)+., 1一FT:二皇?!2?!! A一2Bri+r;’ 相应的目标函数值为: =,:——’上—一 ,//一2Bri+r} 兰签,模型(III)满足约束条件(2)式或者(4)式的最优解X就是模型(I)或者模型(II)的最优解. 如果一,……. b<+ 一 rf (5) (6) 438工程数学学报第22卷 6r-r$(A-Br$)+VaR /Z2BCA2Br$,,一rf+r;一一+r}’ 即 T(二一(#-rsF))一6三r-r$一VaR? 根据上式和(6)式,容易看出(5)式满足(4)式.证毕 定理2设是正定矩阵,当>三昙时,如果6:(+VaR),那 么证券组合优化模型(I)存在唯一最优解为:X=-1((A—B)F+(一B)). 其中b=()(0),()是标准正态分布的分布函数. 证明当>时,由文献【2】知,模型(III)的最优解为: 相应的目标函数值为: X=V-1((A—B)F+(一B)) 1一FTX=0. A-2BY+C-~2 . (7) (8) 如果 6jx/5 A2B (+VaR),,,/ 一 +2 那么 6二?:一VaR, x/d 即 T(((A-BP)F+(一B)))=一VaR+b. 根据上式和(8)式,容易看出(7)式满足(4)证毕 定理3设是正定矩阵,如果6,//,那么证券组合优化模型(I)存在唯一最优解: 当r,- t;r$ 时,其最优解为:=V B - rf r[一(#-rsF). 当鲁三昙时,其最优解为::;一((A一)F+一B)). )=+一A-Br$]vIA一2Br$+r;一,LB—,J ,()是关于的减函数. 再令 9()=7(+VaR),菩 笙塑奎,卫国:具有VaR约束和无风险投资的证券组合选择方法439 容易得到 当=舍时, 当= ,(Cry,]=9( 9()= 器时,=‘ B Brf Cry)=—A-B—rf+VaR(B—Cry) — v~(A— - BP+VaR(B—c)) ‘——.. - ...— 2———B———— r —— f ——— +Cr~. (A一2B+C.)./. , B+vaR(B-CP)=丁AC-B2 >. — B+VaR(B—C_1=一 于是对于所有的三昙筹,都有 可得 说明,当> 所以,当> — (— A ——— C ———— - ———— B ———— 2 —— )— (—— r —— f——— + ———— V ——— a —— R ——— ) B——Cry — B+VaR(B—C_1<0 9()<0, 时,函数9()单调递减. lim +..9()=(, 丧时,_==‘ 器时, ,//骞9(,BBrfCry = lim r—oo |6. ,/-F9()=Vu )=,(BrfCry <0 +VaR),1J v~v/A....’....-......’2....B.....’P—————+—CP2 B+ lJf( r)=, |6,/ +VaR), A——Brf vI—A-—2BrI+C—r—~+ 至互至一 r, I: ,//,那么根据定理1和定理2,模型(III)的全部最优解(5)式和(7)式满足约束条 [:1件(4)式.II-P,.,,…,, (I)的最优=F--r/ 研(#-rfF), 当>器时,其最优解为::((墙)F+’二.证毕 工程数学学报第22卷 当>糍时,2=L二,>0. 参考文献: 【1】MarkowitzH.PortfolioSelection[M].Wiley,NewYork,1970 【2】张卫国,王荫清.无风险投资或贷款下证券组合优化模型及应用【J】.预 测,1996;15(6):65-67 【3】张卫国,聂赞坎.限制投资下界的风险证券有效模型及算法研究【J】.应用数 学,2003;16(2):12129 【4】张卫国,聂赞坎.选择资产组合的EP—MV模型及最优解的解析示【J】.运筹学学 报,2003;3:91—101 【5】刘庆伟,彭大衡.投资机会与VAR约束下的投资组合分析【J】.经济数学,2002;19(4):85-89 定的证 AnOptimalPortfolioSelectionModelUnderConstraintsofBoth andRisk.freeInvestment LITing,ZHANGWei—guo (1一SchoolofMathematicsandComputer,NingxiaUniversity,Yinchuan750021; 2一SchoolofEconomyandCommerce,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510641) Abstract:ThispaperestablishesaportfolioSelectionmodelunderconstraintsofbothVaRandrisk- freeinvestment,andundertheassumptionthattheratesofsecurities’returnsal’enormalrandom variables,theexplicitformulasofinvestmentproportionsandtheme~i1一varianceefficientfrontierof theoptimalportfohoarepresented. Keywords:risk—freeinvestment;VaR(valueatrisk);efficientportfolio