角的平分线

角的平分线 北 京 四 中 编稿老师:肖瑜 审稿老师:郭伦 责 编:邵剑英 角的平分线 [学习目标] 1(掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用( 2(理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题( 3(渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 [学习重点和难点] 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点( 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点( 1(角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明( 定理1:在角平分线OC上任取一点P，并分别作出示P点到?AOB两边的距离的线段PD，PE(则这两个距离的大小相等( 要求:会叙述角平分线的性质定理(定理1)，分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式( 2(逆向思维探求角平分线的判定定理(将定理1的条件、结论进行交换，得出定理2——角平分线上点的判定定理( 3(强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出点在角 ( 平分线上是定理2 4(直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程( 5(理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合( (1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性)( (2)在角的内部，到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性)( 由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合( [例题分析] 例1(填空:如图 (1)?OC平分?AOB，点P在射线OC上，PD?OA于D，PE?OB于E( ?______(角平分线的性质定理)( (2)?PD?OA，PE?OB，_____， ?OP平分?AOB(___________)( 解: (1)?OC平分?AOB，点P在射线OC上，PD?OA于D PE?OB于E( ?PD=PE(角平分线的性质定理)。 (2)?PD?OA，PE?OB，且PD=PE ?OP平分?AOB(到角的两边距离相等的点在角平分线上) 例2(已知:如图，?ABC的角平分线BD和CE交于F( (1)求证:F到AB，BC和AC边的距离相等; (2)求证:AF平分?BAC; (3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等; (4)怎样找?ABC内到三边距离相等的点? (5)若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“?ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图，那么(1),(3)题的结论是否会改变?怎样找?ABC外到三边所在直线距离相等的点共有多少个, (1)证明: 过F作FP?AB，FQ?BC，FR?AC，垂足分别为P，Q，R ?BF平分?ABC，FP?AB于P，FQ?BC于Q ?FP=FQ(角平分线的性质) ?CF平分?ACB，FQ?BC于Q，FR?AC于R ?FQ=FR(角平分线的性质) FP=FQ=FR即F到AB，BC，AC边的距离相等。 ? (2)证明: ?FP=FR，FP?AB于P，FR?AC于R ?F在?BAC的平分线上(到角的两边距离相等的点在角平分线上) ?AF平分?BAC (3)证明: 由(1)，(2)可知，?ABC，?BCA的平分线的交点也在?BAC的平分线上 即三角形中三条内角的平分线交于一点 且这点到三边的距离相等。 (4)答:只要任作两个内角的平分线，它们的交点即为所求。 (5)不改变。 证明: 过F作FM?AD于M，过F作FN?AE于N 过F作FP?BC于P ?BF平分?CBD，FM?AD于M，FP?BC于P ?FM=FP(角的平分线的性质) 同理FP=FN ?FM=FN 又?FM?AD于P，FN?AE于N ?F在?BAC的平分线上，即AF平分?BAC 此时F到三边所在直线的距离相等 任意作两个外角平分线，它们的交点到三边所在直线距离相等。 这样的点有三个(在?ABC外) 说明: (1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题)的目的。 (2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用:先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。 (3)要对题目的条件进行类比联想(第(5)题)，观察结论如何变化，培养发散思维能力。 例3. 已知:如图，OC平分?AOB，P在OC上，PD?OA于D，PE?OB于E，求证:(1)OE=OD;(2)OC垂直平分DE。 分析:证明第(1)题时，利用“等角的余角相等”可得到?OPD=?OPE，再利用角平分线的性质定理得到OE=OD，这样处理，可避免证明两个三角形全等。 证明: ?OC平分?AOB，P在OC上 且PD?OA于D，PE?OB于E ??OPD=?OPE(等角的余角相等) ?OD?PD于D，OE?PE于E ?OD=OE(角平分线的性质) (2)连接DE交OP于F 在?ODF与?OEF中 ??ODF??OEF(SAS) ??OFD=?OFE且?DFE=180? ??OFD=?OFE=90? 又DF=EF ?OC垂直平分DE 例4. 写出下列命题的逆命题，并判断(1)~(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题。 (1)两直线平行，同位角相等; (2)直角三角形的两锐角互余: (3)对顶角相等; (4)全等三角形的对应角相等; 22 (5)如果x=y，那么x=y (6)等腰三角形的两个底角相等; (7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方( 解: (1)同位角相等的两地线平行 真命题 (2)两锐角互余的三角形是直角三角形 真命题 (3)相等的角是对顶角 假命题 (4)对应角相等的两个三角形全等 假命题 22 (5)如果x=y，则x=y 假命题 (6)两个内角相等的三角形是等腰三角形 (7)三角形的最长边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形 说明:要求会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题(注意逆命题语言的准确描述，例如第(6)题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”( 例4 判断下列命题是否正确: (1)错误的命题没有逆命题; (2)每个命题都有逆命题; (3)一个真命题的逆命题一定是正确的: (4)一个假命题的逆命题一定是错误的; (5)每一个定理都一定有逆定理( 解:(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错 说明:互逆命题，互逆定理的定义及应用，要求理解互逆命题、互逆定理的有关结论( 在学习中通过分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子(强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题。 B=2?C，AD为?A的平分线，求证:AC=AB+BD 例5. 已知:如图?ABC中，? 证明: 法一，在AC上截取AE=AB，连DE 在?ABD与?AED中 ??ABD??AED(SAS) ??B=?AED，BD=CE 又?B=2?C ??AED=?2C 在?EDC中，?AED为?EDC的外角 ??AED=?C+?EDC ?2?C=?C+?EDC ??C=?EDC ??EDC为等腰三角形 ?ED=EC 从而AC=AE+EC =AB+DE=AB+BD 法二:延长AB至E，使得AE=AC 在?AED与?ACD中 ??AED??ACD(SAS) ??E=?C ??ABC=2?C 而?ABC=?E+?BDE ?2?E=?E+?BDE ?E=?BDE ??BDE为等腰三角形 BE=BD ?AC=AE=AB+BE=AB+BD 例6. 已知:如图等腰?ABC中，AD为底角的平分线，?C=90?，求证:AB=AC+CD 证明:过D作DE?AB于E，连接DE ?AD为?BAC的平分线，DE?AB于E，DC?AC于C ?DE=DC(角平分线的性质) 再由?DAE=?DAC ??ADE=?ADC(等角的余角相等) ?AE?DE，AC?CD ?AE=AC(角平分线的性质) ?B=45?，??BDE=45? 在Rt?BDE中， ?BE=DE AB=AE+EB=AC+ED=AC+CD ? 例7. 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分?ABC，求证:?BAD+?C=180? 证明:法一，过D作DE?BA，交BA延长线于E 过D作DF?BC于F ?BD平分?ABC ?DE=DF(角平分线的性质) 在Rt?AED与Rt?CFD中 ?Rt?AED?Rt?CFD(HL) ??C=?EAD ??EAD+?BAD=180? BAD+?C=180? ?? 法二，在BC上取E，使得BE=BA 在?BAD与?BED中 ??BAD??BED(SAS) ?AD=DE A=?BED ? ?AD=DC ?DE=DC ??EDC为等腰三角形 ??DEC=?C ??BED+?DEC=180? ??A+?C=180?