基本求导积分公式

基本求导积分 f'(c) = 0 f'(x^n) = nx^(x-1) f'(1/x) = -1/x^2 f'(?x) = 1/2?x f'(?x) = 1/x f'(?ax) = 1/x?a (a为底) f'(a^x) = a^x * ?a f'(e^x) = e^x f'(sinx) = cosx f'(cosx) = -sinx f'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)x f'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)x f'(secx) = cesx * tanx f'(cscx) = -cscx * cotx f'(arcsinx) = 1/?(1-x^2) f'(arccosx) = -1/?(1-x^2) f'(arctanx) = 1/1+x^2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到: 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x' 证:1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,?y=c-c=0,lim?x?0?y/?x=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的第 1 页 共 13 页 一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, ?y=a^(x+?x)-a^x=a^x(a^?x-1) ?y/?x=a^x(a^?x-1)/?x 如果直接令?x?0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β,a^?x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:?x=loga(1+β)。 ?x-1)/?x,β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 所以(a^ 显然，当?x?0时，β也是趋向于0的。而limβ?0(1+β)^1/β=e,所以limβ?01/loga(1+ β=1/logae=lna。 β)^1/ 把这个结果代入lim?x?0?y/?x=lim?x?0a^x(a^?x-1)/?x后得到lim?x?0?y/?x=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax ?y=loga(x+?x)-logax=loga(x+?x)/x=loga[(1+?x/x)^x]/x ?y/?x=loga[(1+?x/x)^(x/?x)]/x 因为当?x?0时，?x/x趋向于0而x/?x趋向于?，所以lim?x?0loga(1+?x/x)^(x/?x),logae,所以有 lim?x?0?y/?x,logae/x。 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx ?y=sin(x+?x)-sinx=2cos(x+?x/2)sin(?x/2) ?y/?x=2cos(x+?x/2)sin(?x/2)/?x=cos(x+?x/2)sin(?x/2)/(?x/2) 所以lim?x?0?y/?x=lim?x?0cos(x+?x/2)•lim?x?0sin(?x/2)/(?x/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx 第 2 页 共 13 页 y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/?1-sin^2y=1/?1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/?1-cos^2y=-1/?1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复 合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 1(基本求导公式 nn,1,,,1,,,? (C),0(C为常数)? ;一般地，。 (x),nx(x),x, 1112,,,,(),,(x),特别地:，，，。 (x),1(x),2x2xx2x xxxx,,? ;一般地，。 (a),alna (a,0,a,1)(e),e 11,,(lnx),(logx), (a,0,a,1)? ;一般地，。 axxlna 2(求导法则 ? 四则运算法则 第 3 页 共 13 页 ,,,设f(x)，g(x)均在点x可导，则有:(?); (f(x),g(x)),f(x),g(x) ,,,,,，特别(为常数); (?)C(f(x)g(x)),f(x)g(x)，f(x)g(x)(Cf(x)),Cf(x) ,,,f(x)f(x)g(x),f(x)g(x)1()gx,,(?)，特别。 (),, (g(x),0)(),,22g(x)gx()g(x)gx() ,,3(微分 函数在点x处的微分: yfx,()dyydxfxdx,,()4、 常用的不定积分公式 231xx,,，12xdx,x，C (,,,1),dx,x，c,xdx,，c,xdx,,,,,，123,(1) ; 4x3xdx,，c,4 xa1xxxdx,ln|x|，Cedx,e，Cadx,，C (a,0,a,1)(2) ; ; ; ,,,xlna kf(x)dx,kf(x)dx(3)(为常数) k,, 5、定积分 bb fxdxFxFbFa()()|()(),,,a,a bbb? [kf(x)，kg(x)]dx,kf(x)dx，kg(x)dx1212,,,aaa ? 分部积分法 ,,设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数u(x),v(x)，则 bbb u(x)dv(x),u(x)v(x),v(x)du(x),,aaa 6、线性代数 特殊矩阵的概念 10？0，， ,,001001？0，，，，,,O,I,,,(1)、零矩阵 (2)、单位矩阵二阶 I,2，22，2n,,,,,,0001？？？？，，，，,,00？1，， a0？0，，1212，，,,？0a02,,,,a,a,A,1,3,5(3)、对角矩阵A,(4)、对称矩阵 ijji,,,,？？？？,,2,57,,，，000an，， 第 4 页 共 13 页 aa？a？a00，，，，11121n1,,,,0a？a？0a02222n,,,,(5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 A,A,,,,,？？？？？？？？ ,,,,000a000annn，，，， aa？aaa？a，，，，11121n1121n1,,,,aa？aaa？a21222n1222n2T,,,,(6)、矩阵转置转置后 A,A,,,,,？？？？？？？？ ,,,,aa？aaa？an1n2nn1n2nnn，，，， abefa，eb，f，，，，，，6、矩阵运算 A，B,，,,,,,,,cdghc，gd，h，，，，，， abefae，bgaf，bh，，，，，， AB,,,,,,,,cdghce，dgcf，dh，，，，，， 7、MATLAB软件计算 2x,,例6 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。 yy,ln(x，x，e)解:>>clear; >>syms x y; >>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2) x,例:试写出用MATLAB软件求函数的一阶导数的命令语句。 y,ln(x，e)y >>clear; >>syms x y; >>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y) 231x例11 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。 edx,1x 解:>>clear; >>syms x y; >>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 31xedx例 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。 ,x 解:>>clear; >>syms x y; >>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y) MATLAB软件的函数命令 表1 MATLAB软件中的函数命令 lnx函数 xaxxlgx log xex2 第 5 页 共 13 页 MATLAB x^a sqrt(x)exp(x)log(x)log10(x)log2(x)abs(x) 运算符号 运算符 + - * / ^ 功能 加 减 乘 除 乘方 典型例题 ，A调往销地B，B，B，B，运输平衡表(单位:吨)例1 设某物资要从产地A，A1231234和运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表 销地 BB B B 供应量 BB B B 1 2341 234产地 A 7 3 11 3 11 1 A 4 1 9 2 8 2 A 9 7 4 10 5 3 需求量 3 6 5 6 20 (1)用最小元素法编制的初始调运， (2)检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输 总费用。 解:用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示: 运输平衡表与运价表 销地 B B B 供应量 BB B B B1 2341 234 产地 A 4 3 7 3 11 3 11 1 A 3 1 4 1 9 2 8 2 A 6 3 9 7 4 10 5 3 需求量 3 6 5 6 20 ,,,,找空格对应的闭回路，计算检验数:,1，,1，,0，,,2 11222412 已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1 调整后的第二个调运方案如下表: 运输平衡表与运价表 销地 BB B B 供应量 BB B B 1 2341 234产地 A 5 2 7 3 11 3 11 1 A 3 1 4 1 9 2 8 2 A 6 3 9 7 4 10 5 3 第 6 页 共 13 页 需求量 3 6 5 6 20 求第二个调运方案的检验数:,,,1 11 已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2 调整后的第三个调运方案如下表: 运输平衡表与运价表 销地 BB B B 供应量 BB B B 1 2341 234产地 A2 5 7 3 11 3 11 1 A 1 3 4 1 9 2 8 2 A 6 3 9 7 4 10 5 3 需求量 3 6 5 6 20 求第三个调运方案的检验数: ,,,2，,,1，,2，,1，,9，,12 ,,,221214233133 所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为: 2×3，5×3，1×1，3×8，6×4，3×5,85(百元) 例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤;三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。 1(试建立在上述条件下，如何安排生产，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。 2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。 解:1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x件、x件和x件，显然x，x，x?0 123123 线性规划模型为 maxS,400x，250x，300x123 4x，4x，5x,180,123 ,6x，3x，6x,150,123 ,x，x，x,0123, (解上述线性规划问题的语句为: 2 >>clear; >>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0]; >>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 第 7 页 共 13 页 2,1，，10,110，，，，,,T例3已知矩阵，求: A,，B,41，C,AB，C,,,,,,0121,2，，，，,,1,1，， 2,1，，10,110101121，，，，，，，，，，,,解: AB，C,41，,，,,,,,,,,,,,,,0121,26,10,26,3，，，，，，，，，，,,1,1，， 2 ,例4 设y,(1，x)lnx，求: y 21，x22,,,,(1，)ln，(1，)(ln),2ln，yxxxxxx解: x xe,例5 设y,，求: y1，x xxx,,(e)(1，x),e(1，x)xe,y,,解: 22(1，x)(1，x)例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万 2元，销售该产品百台的收入为(),4,0.5(万元)。当产量为多少时，利润最大,qRqqq 最大利润为多少, 解:产量为q百台的总成本函数为:C(q),q，2 2利润函数L(q),R(q),C(q),,0.5q，3q,2 令ML(q),,q，3,0 得唯一驻点 q,3(百台) 故当产量q,3百台时，利润最大，最大利润为 2L(3),,0.5×3，3×3,2,2.5(万元) 例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元， 而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。 q1000000000C(q),，解:库存总成本函数 40q 11000000000,C(q),,,0令得定义域内的唯一驻点q,200000件。 240q 即经济批量为200000件。 1x(x，3e)dx例9 计算定积分: ,0 1115xx2(x，3e)dx,(x，3e),3e,解: |,0022 322例10 计算定积分: (x，)dx,1x 33212623解: (x，)dx,(x，2ln|x|),，2ln3|,11x33 教学补充说明 第 8 页 共 13 页 x 1. 对编程问题，要记住函数e，lnx，在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，x log(x)，sqrt(x); 2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式: 1aa，1(a?,1) dxx,x，c,1a， xxedx,e，c , 1 dx,ln|x|，c,x0 7. 记住两个函数值:e,1，ln1,0。 模拟试题 一、单项选择题:(每小题4分，共20分) 1. 若某物资的总供应量( C )总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量 与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平 衡运输问题。 (A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过 2(某物流公司有三种化学原料A，A，A。每公斤原料A含B，B，B三种化学成分的1231123含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤;每公斤原料A含B，B，B的含量分别为0.12123公斤、0.3公斤和0.6公斤;每公斤原料A含B，B，B的含量分别为0.3公斤、0.4公斤3123 和0.3公斤。每公斤原料A，A，A的成本分别为500元、300元和400元。今需要B成分1231至少100公斤，B成分至少50公斤，B成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划23 模型，设原料A，A，A的用量分别为x公斤、x公斤和x公斤，则目标函数为( D )。 123123(A) maxS,500x，300x，400x (B) minS,100x，50x，80x 123 123(C) maxS,100x，50x，80x (D) minS,500x，300x，400x 123 123 1212，，，，3. 设，并且A,B，则x,( C )。 A,,B,,,,,4,x7x7，，，， (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 24(设运输某物品q吨的成本(单位:元)函数为C(q),q，50q，2000，则运输该物品 100吨时的平均成本为( A )元/吨。 (A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000 5. 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q)，则运输该物品从100吨到300吨时 的收入增加量为( D )。 300100(A) MR(q)dq，C(0) (B) MR(q)dq ,,100300 300MR(q)dq (D) MR(q)dq(C) ,,100 二、计算题:(每小题7分，共21分) 2,1，，10,110，，，，,,6(已知矩阵，求:，A,，B,41，C,ABC ,,,,,,0121,2，，，，,,1,1，， 第 9 页 共 13 页 2,1，，10,110101020，，，，，，，，，，,,解: AB，C,41，,，,,,,,,,,,,,,,0121,26,11,27,3，，，，，，，，，，,,1,1，， lnx,y,7. 设，求: y31，x 31，x2,3xlnx33,,(lnx),(1，x),(lnx),(1，x)x,y,,解: 3232(1，x)(1，x) 1x38. 计算定积分: (x，2e)dx,0 1117xx34解: (2e)d(2e)2ex，x,x，,,|,0044 三、编程题:(每小题6分，共12分) 2x,,y,ln(x，x，e)9. 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。y解:>>clear; >>syms x y; >>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2) 1xxedx10. 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。 ,0 解:>>clear; >>syms x y; >>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1) 四、应用题(第11、12题各14分，第13题19分，共47分) 11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。 q1000000000C(q),，解: 库存总成本函数 40q 11000000000,令C(q),,,0得定义域内的惟一驻点q,200000件。 240q 即经济批量为200000件。 12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤;三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。 解:设生产甲、乙、丙三种产品分别为x件、x件和x件，显然x，x，x?0 123123 线性规划模型为 第 10 页 共 13 页 maxS,400x，250x，300x123 4x，4x，5x,180,123 ,6x，3x，6x,150,123,x，x，x,0123, 解上述线性规划问题的语句为: >>clear; >>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0]; >>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 线性规划习题 1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不同的原料，从工艺资料知道:每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位;生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元;销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算(写出命令语句，并用MATLAB软件运行)。 xx解:设生产甲产品吨，乙产品吨。 12 线性规划模型为: maxS,3x，4x 12 x，x,6,12,x，2x,8,12 ,x,32, ,x,x,012, 用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为: >> clear; >> C=-[3 4]; >> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 2. 某物流公司有三种化学产品A，A，A都含有三种化学成分B，B，B，每种产品成123123分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B成分至少100斤，B成分至少50斤，B成分至少12380斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。 相关情况表 每斤产品的成分含量 产品含量 成 分 AAA1 2 3 第 11 页 共 13 页 B0.7 0.1 0.3 1 B0.2 0.3 0.4 2 B0.1 0.6 0.3 2 产品价格(元/斤) 500 300 400 xA解:设生产A产品公斤, 生产产品x公斤, 生产产品公斤, Ax121233 minS,500x，300x，400x123 0.7x，0.1x，0.3x,100,123, 0.2x，0.3x，0.4x,50,123,0.1x，0.6x，0.3x,80123, ,x,x,x,0123, 3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟;生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软件计算(写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果) xx解:设生产桌子张，生产椅子张 12 max,12，10Sxx12 10x，14x,1000,12 ,20x，12x,880,12 ,x,x,012, MATLAB软件的命令语句为: >> clear; >> C=-[12 10]; >> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000;880]; >> LB=[0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时;每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。 xx解:设生产甲产品件，乙产品件。 12 线性规划模型为: maxS,6x，8x 12 第 12 页 共 13 页 4x，3x,1500,12,2x，3x,120012, 5,1800x,1 ,2x,14002,x,x,012, 用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为: >> clear; >> C=-[6 8]; >> A=[4 3;2 3;5 0;0 2]; >> B=[1500;1200;1800;1400]; >> LB=[0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料50吨。每吨A产品需要甲原料2吨;每吨B产品需要甲原料1吨，乙原料2吨;每吨C产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。 xxx解:设生产A产品吨，B产品吨，C产品吨。 132 线性规划模型为: maxS,3x，2x，0.5x123 2x，x,30,12,2x，4x,50,23 , , ,x,x,x,0123, 用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为: >> clear; >> C=-[3 2 0.5]; >> A=[2 1;2 4]; >> B=[30;50]; >> LB=[0;0;0]; >> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 第 13 页 共 13 页