基尔霍夫定律

基尔霍夫定律 第四节 基尔霍夫定律 一、欧姆定律 1、欧姆定律的作用 欧姆定律是电路分析中的重要定律之一，主要用于进行简单电路的分析，它说明了流过线性电阻的电流与该电阻两端电压之间的关系，反映了电阻元件的特性。遵循欧姆定律的电路叫线性电路，不遵循欧姆定律的电路叫非线性电路。 2、部分电路的欧姆定律 欧姆定律由德国科学家欧姆于年通过实验提出，它的内容为:在1827 一段不含电源的电路中，流过导体的电流与这段导体两端的电压成正比，与这段导体的电阻成反比。其示为: UI, (2.1) R 式中 ——导体中的电流，单位(A); I ——导体两端的电压，单位(V); U ——导体的电阻，单位。 (,)R 电阻是构成电路最基本的元件之一。由欧姆定律可知，当电压一U定时，电阻的阻值愈大，则电流愈小，因此，电阻具有阻碍电流通过RR 的物理性质。 例:已知某灯泡的额定电压为，灯丝的电阻为，求通过灯1.5220V2000,丝的电流为多少, 解思路:本题中已知电压和电阻～直接应用欧姆定律求得: U220I,,,0.11A R2000 例:已知某电炉接在电压为的电源上，正常工作时通过电炉丝的1.6220V 电流为，求该电炉丝的电阻值为多少, 0.5A 解题思路:本题中已知电压和电流～将欧姆定律稍加变换求得: 1 U220 R,,,440,I0.5 欧姆定律的几种表示形式 电压和电流是具有方向的物理量，同时，对某一个特定的电路，它又是相互关联的物理量。因此，选取不同的电压、电流参考方向，欧姆定律形式便可能不同。 在图1.15(a),(d)中，电压参考方向与电流参考方向一致，其公式表示为: (2.2) U,RI 在图1.15(b),(c)中，电压参考方向与电流参考方向不一致，其公式表示为: (2.3) U,,RI 无论电压、电流为关联参考方向还是非关联参考方向，电阻元件的功率为: 2U2R,,PIR (2.4) RR 上式表明，电阻元件吸收的功率恒为正值，而与电压、电流的参考方向无关。因此，电阻元件又称为耗能元件。 例:应用欧姆定律求图所示电路中电阻。 1.71.14R + + - - I? -2A I? 2A I? 2A I? -2A U U U U R R R R 6v 6v -6v -6v - - + + (a) (b) 图1.14 (c) (d) 解题思路: 在图1.15(a)中～电压和电流参考方向一致～根据公式得: U,RI U6 R,,,3, I2 2 在图中～电压和电流参考方向不一致～根据公式得: 1.15(b)U,,RI U6 R,,,,,3,I,2 在图中～电压和电流参考方向不一致～根据公式得: 1.15(c)U,,RI U,6 R,,,,,3,I2 在图中～电压和电流参考方向一致～根据公式得: 1.15(d)U,RI U,6 R,,,3, I,2 本例题告诉我们，在运用公式解题时，首先要列出正确的计算公式，然后再把电压或电流自身的正、负取值代入计算公式进行求解。 3、全电路欧姆定律 全电路是指含有电源的简单闭合电路，如图所示，虚线框中的1.24E r代表电源的电动势，代表电源自身具有的电阻叫内阻。通常把电源内部0 的电路叫内电路，电源外部的电路叫外电路。 rI? o U?R E 图1.15 全电路欧姆定律的内容为:电路中的电流与电源的电动势成正IE比，与整个电路中的电阻成反比，其数学表示为: EI,(2.1) R，r0 式中 ——电路中的电流，单位(A); I ——电源的电动势，单位(V); E 3 ——外电路的电阻，单位; (,)R r ——内电路的电阻，单位。 (,)0 由上式可得 E,IR，Ir,U，U 0外内 UU式中是外电路的电压，又称端电压，是内电压。则全电路欧姆内外 定律的内容又可叙述为:电源的电动势在数值上等于闭合电路中各部分的电压之和。 根据全电路欧姆定律，就可以研究全电路中的电压与电流的变化规律。 ?通路，又叫闭合电路。如图所示。当电路处于通路状态时，由1.2 全电路欧姆定律得: U,E,U， 外内 上式表明:当电路处于通路状态时，电源向外电路所提供的电压要低 U,Irr于电源的电动势，由知，越大则向外电路所提供的电压越小，E00内 r反之，若越小则向外电路所提供的电压越大。因此，对电压源的要求是0 r,0内阻越小越好。在理想状态下，此时的全电路欧姆定律为: 0 E,IR，Ir,U,0,U 0外外 U显然，电源向外电路所提供的电压就等于它的电动势，满足这E外 个关系的电源称为恒压源，也就是通常所说的直流电源。 ?开路，又称断路。当电路处于断路状态时，如图中开关断开，1.2S R,,相当于，电路中没有电流。 L ?短路，是指电路中电位不相等的两点之间直接连接在一起。根据短路产生的原因又分短接和事故短路。短接通常是人为原因造成的，如图1.2 R中负载电阻的两端误被导线连接在一起。事故短路则是由于连接在电L 路中的某个元器件因工作环境改变而形成的，如线圈之间的绝缘层老化或工作在高于其额定值时线路烧毁。 R,0电路处于短路状态时，相当于，此时的全电路欧姆定律为: L EEEI,,, Rr0rr，，L000 4 r由于电压源的内阻通常很小，电源提供的电流将比通路时所提供的0 r,0电流要大很多倍(在理想状态下，则)，极易出现烧毁元器I,,0 件的现象，所以，短路通常是一种严重事故，要尽力避免电路中出现短路情况。在实际工作中，为预防短路事故的发生，除了按规程要求经常检查电气设备和线路的绝缘情况外，还在电路中接入熔断器或自动断路器等保护装置来预防短路事故的发生。 通路、开路和短路统称为电路的三种工作状态。 例 图所示电路，理想电压源 1.81.16 U,10V的电压。求: S+ I? + (1)时的电压，电流; UR,,I U R U S(2)时的电压，电流; R,10,UI - (3)时的电压，电流。 R,0UI- 图1.16 解题思路:题意明确告知图电路中的 1.16 r,0电源是理想电源～即内阻～此时全电路 0 U,E,IR，Ir,IR,0,IR,U欧姆定律为。电路的工作状况主要由外S0 接电阻决定。 R UU,U,10V(1)当时～即外电路开路～为理想电压源～故 R,,SS UUSI,,,0则 RR U,U,10V(2)当时～ R,10,S UU10SI,,,,1A则 RR10 U,U,10V (3)当时～电路短路～故 R,0S UUSI,,,,则 RR 显然，这么大的电流极易烧毁电路元器件和设备，所以，要避免电路中出现短路情况。结合这个例题，大家要很好地理解电路的三种工作状态的概念。 5 二、基尔霍夫定律 1、基尔霍夫定律的作用 基尔霍夫定律是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础，由德国物理学家基尔霍夫于年提出。它既1847可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。 运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。 2、基尔霍夫电流定律() KCL 基尔霍夫电流定律是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，因此又称为节点电流定律，它的内容为:在任一瞬时，流向某一结点的电流之和恒等于由该结点流出的电流之和，即: (2.1)i(t),i(t),,入出 在直流的情况下，则有: (2.2) I,I,,入出 通常把式(2.1)、(2.2)称为节点电流方程，或称为方程。 KCL 它的另一种表示为， i(t),0, 在列写节点电流方程时，各电流变量前的正、负号取决于各电流的参考方向对该节点的关系(是“流入”还是“流出”);而各电流值的正、负则反映了该电流的实际方向与参考方向的关系(是相同还是相反)。通常规定，对参考方向背离(流出)节点的电流取正号，而对参考方向指向(流入)节点的电流取负号。 6 aa图所示为某电路中的节点，连接在节点的支路共有五条，在1.33 所选定的参考方向下有: I，I,I，I，I 14235 定律不仅适用于电路中的节点，还可以推广应用于电路中的任KCL 一假设的封闭面。即在任一瞬间，通过电路中任一假设封闭面的电流代数 和为零。 图所示为某电路中的一部分，选择封闭面如图中虚线所示，在所1.34 选定的参考方向下有: I，I，I,I，I，I 167235 I,,18AI,9AI,3AI,5A例 已知、、、，计算图所示2.11.353512 II电路中的电流及。 64 aI和II和I解题思路:对于节点～四条支路上的电流分别为流入节点～3412 I,I和I流出节点,对于节点～三条支路上的电流分别为均为流入节点～b455 于是有 a对节点～根据定律可知: KCL I，I,I，I 1234 I,I，I,I,3，5，18,26A则: 4123 对节点～根据定律可知: KCLb I，I，I,0 456 I,,I,I,,26,9,,35A则: 645 I,9AI,3AI,,8AI,5A例 已知、、、，试计算图所2.21.365671 I示电路中的电流。 S 7 解题思路:在电路中选取一个封闭面～如图中虚线所示～根据定律KCL可知: I，I，I,I， 1687 I,I,I,I，I,,8,5,3,,16A则:。 87167 3、基尔霍夫电压定律() KVL 基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律，它的内容为:在任一瞬间，沿电路中的任一回 路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，即: (2.3) E,IR,, 在直流的情况下，则有: (2.4) U,U,,电压升电压降 (2.3)(2.4)通常把式、称为回路电压方程，简称为方程。 KVL 定律是描述电路中组成任一回路上各支路(或各元件)电压之KVL 间的约束关系，沿选定的回路方向绕行所经过的电路电位的升高之和等于电路电位的下降之和。 8 回路的“绕行方向”是任意选定的，一般以虚线表示。在列写回路电压方程时通常规定，对于电压或电流的参考方向与回路“绕行方向”相同时，取正号，参考方向与回路“绕行方向”相反时取负号。 图所示为某电路中的一个回路，各支路的电压在所选择1.37ABCDA uuuu的参考方向下为、、、，因此，在选定的回路“绕行方向”下3124 有: u，u,u，u。 1234 定律不仅适用于电路中的具体回路，还可以推广应用于电路中KVL 的任一假想的回路。即在任一瞬间，沿回路绕行方向，电路中假想的回路中各段电压的代数和为零。 ac图所示为某电路中的一部分，路径、f、、并未构成回路，1.38b 选定图中所示的回路“绕行方向”，对假象的回路afcba列写方程有: KVL u，u,u， 4ab5 u,u,u则:。 ab54 9 aau由此可见:电路中、两点的电压，等于以为原点、以为终bbab a点，沿任一路径绕行方向上各段电压的代数和。其中，、可以是某一b元件或一条支路的两端，也可以是电路中的任意两点。 例 试求图所示电路中元件、、、的电压。 2.31.393564 解题思路:仔细分析电路图～只有和这两个回路中各含有一个cedcabea UUUU未知量～因此～可先求出或～再求和。 5364 U，U，U,0在回路中，～则有 cedc579 U,,U,U,,(,5),1,4V; 579 U，U,U在回路中，～则有 abea124 U,U，U,4，3,7V。 412 U，U,U在回路中，，则有 bceb352 U,U,U,3,4,,1V 325 U，U，U,0在回路中，，则有 aeda476 U,,U,U,,7,1,,8V 647 u例 图为某电路的一部分，试确定其中的，。 2.61.4iab解题思路: 10 图1(4 例图 2.6 求。方法一是根据求出各节点的电流: (1)KCLi i,,(1，2),,3A对节点? ; 1 i,i，4,,3，4,1A对节点? ; 21 i,5,i,5,1,4A对节点? ; 2 c方法二是取广义节点，则根据可直接求得: KCL i,(1，2,4，5),4A au(2)求。可以将、两端点之间设想有一条虚拟的支路，该支路两端bab au的电压为。这样，由节点经过节点?、?、?到节点就构成一个bab 闭合回路，这个回路就称为广义回路;对广义回路应用可得: KVL u,,3，10i，5i,,3，10，(,3)，5，1,,28V ab12 U,10VU,5VR,5,例 图所示电路，已知电压。，电阻，2.71.2S1S21R,10,UU，电容，电感，求电压、。 C,0.1FL,0.1H212 11 解题思路:利用第一节所介绍的直流电路中的电容和电感知识。 I,0在图中，电容相当于开路，。则: (1)(a)C1 U,IR,0V; 212 U,,U,U,,5V。 1S22 U,0V在图中，电感相当于短路，。则根据得: (2)(b)KVLL1 U,,U,U,,5V。 212 12 第五节 简单电阻电路的分析方法 一、二端网络的等效概念 具有两个端钮的部分电路，就称为二端网络，如图所示。 2.1 如果电路的结构、元件参数完全不同的两个二端网络具有相同的电压、电流关系即相同的伏安关系时，则这两个二端网络称为等效网络。等效网络在电路中可以相互代换。 内部有独立电源(电压源的电压或电流源的电流不受外电路控制而独立存在的电源叫独立电源)的二端网络，称为有源二端网络;内部没有独立电源的二端网络，称为无源二端网络。无源二端网络可用一个电阻元件与之等效。这个电阻元件的电阻值称为该网络的等效电阻或输入电阻，也 R称为总电阻，用表示。 i 二、电源的等效变换 任何一个实际电源本身都具有内阻，因而实际电源的电路模型由理想电源元件与其内阻组合而成。理想电源元件有电压源和电流源，因此，实际电源的电路模型也相应的有电压源模型和电流源模型，如图所示。 1.29 1.29(a)(1.16)在图电路中，由式可知: 13 U,U,IR Si U式中，为电压源的电压。 S 在图电路中，由式可知: 1.29(b)(1.17) 1I,I,U S'Ri ''U,IR,IR整理后得: Sii 由此可见，实际电压源和实际电流源若要等效互换，其伏安特性方程必相同，即电路参数必须满足条件: ''R,RU,IR; (1.18)iiSSi 当一个实际的电压源要等效变换成实际的电流源时，电流源的电流等 US()I,于电压源的电压与其内阻的比值，电流源的内阻等于电压源的 S'Ri '(R,R)内阻; ii 当一个实际的电流源要等效变换成实际的电压源时，电压源的电压等 '(U,IR)于电流源的电流与其内阻的乘积，电压源的内阻等于电流源SSi '(R,R)的内阻。 ii 在进行等效互换时，必须重视电压极性与电流方向之间的关系，即两者的参考方向要求一致，也就是说电压源的正极对应着电流源电流的流出端。 实际电源的两种模型的等效互换只能保证其外部电路的电压、电流和功率相同，对其内部电路，并无等效而言。通俗地讲，当电路中某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压、电流应保持不变。 应用电源等效转换分析电路时还应注意以下几点: (1)电源等效转换是电路等效变换的一种方法。这种等效是对电源输出电流、端电压的等效。 UI R(2)有内阻的实际电源，它的电压源模型与电流源模型之间可以i 互换等效;理想的电压源与理想的电流源之间不便互换。 (3)电源等效互换的方法可以推广运用，如果理想电压源与外接电 14 阻串联，可把外接电阻看其作内阻，则可转换为电流源形式;如果理想电流源与外接电阻并联，可把外接电阻看作其内阻，则可转换为电压源形式。 例 将下图电路进行等效变换。 5.1 a a ， ， ， ， Ru uuiu S S S , , , , b b (a)图(b)图 aa ， ， ii S S u u ， Ru S ,, , bb (c)图(d)图 解题思路: 解题前先要看清电路的连接形式～因为并联电路电压相等～对于并联电路则要看电压源,而串联电路的电流相等～对于串联电路则要看电流源。 u在图(a)电路中～因为和相并联～a,b两点间的端电压相等～所RS u,u,u以对外电路而言则可等效成, SR iu在图(b)电路中～因为和相并联～a,b两点间的端电压相等～所SS u,u,u以对外电路而言则可等效成, SiS iua,b在图(c)电路中～因为和相串联～两点间流过同一电流～所SS i以对外电路而言则可等效成, S iu(d)a,b在图电路中～因为和相串联～两点间流过同一电流～所SS i以对外电路而言则可等效成, S a a ， ， ， ， ， ， uiu RS S u uuS u S , , , ,, b,b (b)图 (a)图 15 a a a ， ， ， iS iS u u i， S u uS R , ,,, b bb (c)图 (d)图 U,4VI,2AR,1.2,例 已知，，，试化简图1.30(a)电路。 5.2S1S22 解题思路: IUR在图1.30(a)中～先把电流源与电阻的并联变换为电压源与S2S22 R电阻的串联,注意:电压源的正极对应着电流源电流的流出端,～如2 图，其中 1.30(b) U,R，I,12，2,24V S22S2 UU1.30(b)在图中～再将电压源与电压源的串联变换为电压源S2S1 U～如图1.30(c)～其中: S U,U，U,24，4,28VUU(若和方向不同则相减,。 SS2S1S1S2 例 将下图电路等效化简为电压源和电阻的串联组合。 5.3 解题思路: 在第一条支路上电阻和电压源相串联～应用等效变换公式 2V2, U'SR,RI,和将其等效变换成电流源,电压源的正极对应着1AiiS'Ri电流源电流的流出端,与电阻的并联组合,在第二条支路上电阻和2,1, (b)电流源相串联～等效结果如图所示。 3A 16 在中～三路电流源相并联～其中电流方向向下～则有(b)3A I,1,3，5,3A～进一步等效为图所示。 (c)S 在图中～电阻和电流源相并联～再应用等效变换公式(c)3A2, ''U,IRR,R和，将其等效为图所示简化形式。 (d)SSiii a 3A 2Ω 5A， 1Ω2V , b a a a 注意电流 ， 源电流的 电流源 1A6V 2Ω 2Ω 3A5A , 方向和电压 进行合并 2Ω3A 源的极性 b bb U,10VI,15AI,5A例 电路如图所示，已知，，，5.41.31S1S1S2 R,20,，，求电流。 R,30,I2 解题思路: UIU在图1.31(a)中～电压源与电流源并联～可等效为该电压源,S1S1S1 IURR电流源与电阻的并联可等效变换为电压源与电阻的串联～电S2S222 1.31(b)路变换如图～其中: 17 U,I，R,25，20,100V。 S2S22 UU在图中～电压源与电压源的串联可等效变换电压源1.31(b)S1S2 ～电路变换如图1.31(c)～其中: U U,U，U,100，10,110V SS2S1 在图中～根据欧姆定律求得: 1.31(c) U110SI,,,2.2A R，R30，202 三、电阻的串联 两个或两个以上的电阻元件依次相连，且中间无分支的连接方式叫串联，如图2.3(a)所示。 串联电路有以下特点: ?串联电路中流过每个电阻的电流都相等，即: I,I,I,？,I; 12n ?串联电路两端的总电压等于各个电阻两端的电压之和。即: U,U，U，？，U; 12n ?串联电路两端的总电阻(等效电阻)等于各串联电阻之和。即: R,R，R，？，R。 i12n 2.3(b)2.3(a)2.3(b)图是图的等效网络，根据等效的概念，在图中有: U,RI。 i ?串联电阻有“分压”作用。在两个电阻的串联电路中，若已知电路 RR的总电压和、的阻值时，则这两个电阻上的电压分配关系为: U21 18 RR12UUUU,, 12R，RR，R1212 在电工测量仪表中，用串联电阻来扩大测量仪表的电压量程。 例 一个额定值为5W、100Ω的电阻，在使用时最高能加多少伏特电5.5 压,能允许通过多少安培的电流, 2UUPUIU,,,解题思路:本题中已知功率和电阻值～由功率公式得 RR U,PR,5，100,22.5V; 2由功率公式P,UI,IR,I,IR得 P5I,,,0.225A。 R100 四、电阻的并联 两个或两个以上电阻元件接在电路中相同的两点之间的连接方式叫电阻的并联，如图2.5(a)所示。 并联电路有以下特点: ?并联电路中各电阻两端的电压均相等，且等于电路两端的电压，即 U,U,U,？,U; 12n ?并联电路中总电流等于各电阻中的电流之和，即 I,I，I，？，I; 12n ?并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，即 1111,，，？， RRRRn12n 19 ?并联电阻有“分流”作用。在两个电阻的并联电路中，若只有R、1R两个电阻并联，如图2(6所示，可得等效电阻R为: 2i RR12R, nR，R12 R当已知电路的总电流和R、的 I21 阻值，则流过两个电阻上的电流分别为: RIRUn2II,,, 1RRR，R1112 RIRUn1I,,,I 2，RRRR2112 在电工测量仪表中，用并联电阻来扩大测量仪表的电流量程。 R,5.1K,R,310,例 在图所示的电路中，已知，，，3.32.6I,500mA12I求，和I。 12 解题思路: 根据分流公式得: R0.312I,I,，500,28.65mA 1R，R5.1，0.3112 R5.11I,I,，500,471.35mA 2R，R5.1，0.3112 例 求图所示电路中电阻上的功率。 3.42.16, 解题思路:该题是一个既有串联电阻又有并联电阻的混合电路。首先～利用电阻的串联、并联关系简化电路～求出相关电流。图中和电2.16,4,阻是并联关系～其并联等效电阻又和电阻是串联关系～依据电阻串、1.6, 并联公式将图所示电路简化为图所示的形式。 2.12.2 20 用分流公式求电流: i 16 i,，10,8A16，4 是图中电阻上的电流，这个电流又是和电阻的总电2.11.6,6,i4, 流。再根据分流公式，进一步求出和电阻上的分流，在电阻上6,6,4, 的电流i是: 1 44 i,，i,，8,3.2A16，46，4 消耗在电阻上的功率是: 6, 22p,6i,6，3.2,61.44W 1 五、电阻的混联 由串联和并联电阻组合而成的二端电阻网络称为电阻的混联网络，分析混联电阻网络的一般步骤如下: (1)计算各串联电阻、并联电阻的等效电阻，再计算总的等效电阻。 (2)由端口激励计算出端口响应。 (3)根据串联电阻的分压关系、并联电阻的分流关系逐步计算各部分电压和电流。 例 图所示的是一个利用滑线变阻器组成的简单分压器电路。电3.62.7 ac阻分压器的固定端、接到直流电压源上。固定端与活动端接到负bb c载上。利用分压器上滑动触头的滑动，可在负载电阻上输出的可0~U U,9VR,800,变电压。已知直流理想电压源电压，负载电阻，滑线SL cR,200,R,800,变阻器的总电阻，滑动触头的位置使，。 R,1000,12 21 UI?求输出电压及滑线变阻器两段电阻中的电流和I; 212 R,1200,?若用内阻为的电压表去测量此电压，求电压表的读数; V1 R,3600,?若用内阻为的电压表再测量此电压，求这时电压表的V2 读数。 解题思路: RRR(1)在图2.7(a)中，电阻与并联后再与串联。得总电阻为 2L1 RR800，8002LR,R，,200，,600, 1总RR，800，8002L 由欧姆定律求得总电流为 U9S I,,,0.015A1R600总 I再由分流公式求得电流为 2 R800LI,I,，0.015,0.0075A 21R，R800，8002L U,RI,800，0.0075,6V 222 RRRR(2)2.7(b)在图中，电阻、与电压表内阻并联后再与串联，V12L1得总电阻为 11RR,，,200，,500, 1总111111，，，，RRR80080012002LV1 U由分压公式求得电压为 V1 U191S U,，,，,5.79VV1111111R500总，，，，RRR80080036002LV1 RRRR在图2.7(b)中，电阻、与电压表内阻并联后再与串联，(3)V22L1得总电阻为 11RR,，,200，,560, 1总111111，，，，RRR80080036002LV2 U由分压公式求得电压为 V2 22 U191S U,，,，,5.79VV2111111R500i2，，，，RRR80080036002LV1 由此可见，由于实际电压表都有一定的内阻，将电压表并联在电路中测量电压时，对被测试电路都有一定的影响。电压表内阻越大，对测试电路的影响越小。理想电压表的内阻为无穷大，对测试电路才无影响，但实际中并不存在。 六、、戴维南定理 戴维南定律指出:任何一个线性有源二端网络，对于外电路而言，可以用一个电压源和一个内电阻相串联的电路模型来代替，如图所示。2.16 U并且理想电压源的电压就是有源二端网络的开路电压，即将负载断开OC a后、两端之间的电压。内电阻等于有源二端网络中所有电压源短路(即b R其电压为零)、电流源开路(即其电流为零)时的等效电阻。 i 因此对一个复杂的线性有源二端网络的计算，关键是求戴维南等效电路。 求戴维南等效电路的步骤如下: U(1)求出有源二端网络的开路电压; OC (2)将有源二端网络的所电压源短路，电流源开路，求出无源二 R端网络的等效电阻; i (3)画出戴维南等效电路图。 2.17(a)(b)例 求图、所示电路的戴维南等效电路 3.14 23 解:图: 2.17(a) U求有源二端网络的开路电压。设回路绕行方向是顺时针方向，(1)OC则: 12 I,,2A4，2 电阻上的电压为: U4, ; U,RI,4，2,8V U,U,(,6)，(,8)，12,,2V OCab R(2)求内电阻，将电压源短路，得图所示电路。 2.18i 4，2R,,1.33, i4，2 戴维南等效电路如图所示，注意电压源的方向。 2.19 2.17(b)再求图: U(1)求有源二端网络的开路电压。 OC 由于回路中含有电流源，所以回路的电流为，方向为逆时针方向。 1A 电阻的电压为: U,RI,4，1,4V4, UU,4，12,16V开路电压为: OCOC 24 R求内电阻，将电压源短路，电流源开路，得如图所示电路。 (2)2.20i R,2，4,6, i 戴维南等效电路如图所示。 2.21 例 试用戴维南定理求图2.22(a)所示分压器电路中负载电阻分别3.15R 为、时的电压和电流。 100,200, 解:将负载电阻断开，如图2.22(b)所示。 R U(1)求该二端网络的开路电压。 OC 600U,，20,10V OC600，600 R(2)2.22(c)求等效电源的内电阻。将电压源短路，得如图所示电路。 i 600，600R,,300, i600，600 25 画出戴维南等效电路，如图所示。当时， 2.22(d)(3)R,100, 10 I,,0.025A300，100 U,RI,100，0.025,2.5V 当时， R,200, 10 I,,0.02A300，200 U,RI,200，0.02,4V R,10,R,3,R,6,例 在图所示电路中，已知电阻，，，3.162.7312 U,3VI,3AR,2,U，电压，，试用戴维南定理求电压。 SS41 解: 将电阻R断开，余下的电路是一个线性有源二端网络，如图所2.7(b)1 示。 U(1)该二端网络的开路电压。 OC U,,U，IR,,3，3，6,15V OCSS2 URI(2)求等效电源的内电阻。将电压源短路，电流源开路，得SiS如图2.7(c)所示电路。 R,R,6, 12 2.7(d)(3)画出戴维南等效电路，如图所示。 IR例 求图中电阻上的电流。 3.1711 解:运用戴维南定理求解: 26 U?将被求支路两端断开求开路电压ab ab 如右图所示: U,10,2R,10,2，4,2V ab2 R=4Ω2 b b R=4Ω2 R=9Ω1 2A I1aaI=2Ad 1 =2ΩRR=6Ω 4 3 ， ,R=2Ω 4 R=6Ω3 c U=10V + - U=10V ab RR 3 4 R2 R?求两端的等效电阻(此时应将电 abab 压源短路，电流源开路)，见右图 R,R,4, ab2 I?求电流 1 U2abI,,0.154A 1R，R9，41ab 例 求如图所示电路的电流 3.18I 解:本题中电源数为3～可用叠加原理进行求解～但题中只求一条支路的电流～故选用戴维南定理求解最为简便。戴维南定理求解问题的方法是:先将复杂电路化为简单电路(全电路)然后进行求解。 U?求开路电压: ab 将段断开, 除去， ab10,， ， 150V 10Ω120V 求得两点间的电压～即 ab10Ω ,, 有源两端的网络的电压。 ， 4Ω 20V 从图中可直接看出: 10Ω , U,,20,150，20,,150V abab I 27 ?求等效电阻: R等效电阻的求法～是将有源两端网络变为无源两端网络，,即将有ab 源两端网络中的电压源短路,电流源开路,再求两点间的电阻。 ab R,0 将电压源短路后可求得:， ab ?求电流 I ,10 I,,,1A10 七、叠加定理 叠加定理指出:在线性电路中，当有多个电源作用时，电路中任何一个支路的电流(或电压)是电路中各个电源单独作用时，在该支路上产生的电流(或电压)的代数和。当某一电源单独作用时，将其它不作用的电源应置为零，即电压源短路，将电流源开路。 例 如图2.11(a)所示电路，试用叠加定理计算电流。 3.7I 解题思路: 'U(1)计算电压源单独作用于电路时产生的电流，如图2.11(b)所IS1 示。 UR'12SI,， RRR，R2323R，1R，R23 ''U(2)2.11(c) 计算电压源单独作用于电路时产生的电流，如图IS2 所示。 UR''21SI,， RRR，R1313R，2R，R13 28 UU 由叠加定理，计算电压源、共同作用于电路时产生的电(3)S1S2 流。 I UURR'''1221SS。 I,I，I,，，，RRRRR，RR，R23132313R，R，12R，RR，R2313例 如图2.12(a)所示电路，试用叠加定理计算电压。 3.8U 解题思路: 'U(1)计算电压源单独作用于电路时产生的电压，如图2.12(b)所示。 12V 12' U,,，3,,4V6，3 ''U(2)计算电流源单独作用于电路时产生的电压，如图2.12(c)所示。 3A 6''U,3，，3,6V 6，3 计算电压源、电流源共同作用于电路时产生的电压。 (3)12V3AU '''U,U，U,,4，6,2V。 U 例 如图2.13(a)所示电路，求电压、电流和电阻的功率。 3.96,PIab 解题思路: 29 U计算电流源单独作用时的电压、电流，如图所示。 (1)2.13(b)3AIab 6，3'; U,(，1)，3,9Vab6，3 3'。 I,，3,1A3，6 计算电流源、及电压源共同作用于电路产生的电压(2)6V12V2A U、电流，如图所示。 2.13(c)Iab 12，6''I,,2A; 6，3 ''''U,,3I，12，2，1,,3，2，12，2,8V。 ab 由叠加定理，计算、电流源，、电压源共同作用(3)3A6V12V2A U于电路产生的电压、电流。 Iab '''U,U，U,9，8,17V; ababab '''I,I，I,1，2,3A。 计算6Ω电阻的功率。 (4) 22P,6I,6，3,54W R,40,R,36,2.6(a)例 在图所示电路中，已知电阻，，3.1012R,R,60,U,100VU,90VI，电压，，用叠加定理求电流。 34S1S22 解题思路: 'U(1)计算电压源单独作用于电路时产生的电流，如图2.6(b)所示。 IS1 UR10060'14S I,，,，,1A2RR36，60R，R36，60242440，R，136，60R，R24 30 ''U计算电压源单独作用于电路时产生的电流，如图所示。 (2)2.6(c)IS2 U903''2S I,,,,,,A24060RR，21436，R，24060，R，R14 UU由叠加定理，计算电压源、共同作用于电路时产生的电流。 (3)IS1S2 31''' I,I，I,1,,,A22 例 电路如图所示，试求 3.11 (1)电流; I (2)计算理想电压源和理想电流源的功率，并说明是取用功率还是发出功率。 解题思路:先对原电路图进行分析:其特点是?网孔数较多3个;?节点数多3个;?电源数少2个;?只求某一电路电流，用叠加原理求解较为 Ω 2Ω 2方便。本题运用叠加原理求解: (1)如图:当电流源单独作用时， I + 5A 电压源看成短路 5V 4Ω 3Ω - 根据分流公式得: 3 'I,，5,3A 2，3 2Ω2Ω 当电压源单独作用 ,I时，电流源看成开路 3Ω5A 5 ,,I,,1A2，3 电流源单独作用时 ,,,I,I,I,3,1,2A所以 ,,注意:与I方向相同～ II2Ω ,,取正值,而的方向与I的 I,,， I ,,方向相反～应取负值 I3Ω4Ω5V (2)由电路图可知: , 由于，所以 I,2A电压源单独作用时 I,5,2,3A, U=3×3=9V， Ω33 31 U=,5×2+U U=9，10=19V Ω3SSΩ22Ω U=2I+4I=9V I=5/4 A ΩΩΩ344 ， II=I,I=2-5/4=3/4(A) Ω ， V4 5V IU3Ω4ΩV S 5A 电流源的功率为: ,, I IΩ Ω4 3P=,5×19=,95(W) 发出功率 电流源 电压源的功率为: P=3/4×5=3.75(W) 吸收功率。 电压源 例 如图所示，E=12V，R=R=R=R，U=10V。若将理想电压源3.121234ab 除去后，试问这时U等于多少, ab 解题思路:题中将理想电压源除去是指电压源短路～此时～电路只有电流源单独作用～由此得出该题运用叠加原理求解。U=10V可看成是电压源ab 与电流源共同作用的结果。解此题前首先画出电压源与电流源分别单独作用的电路。(见下图) R3,U,，E3电压源单独作用时: RR，R，R，R1234,U,3V 解得: R3 RE1 电流源单独作用: + - I设ab两端的电压 R1 R2 a ,,U为由叠加原理 R3 R2 可知 RR3 3 I R4 R,,,4 U,U,U R3abR3 b =10,3 电流源单独作用电压源单独作用 =7V 例 两个相同的有源二端网络N与联接如图(a)所示，测得3.13,N U=4V;若联接如图(b)所示，测得I=1A。试求联接如图(c)时的电流I111为多少, 解:设有源二端网络N和等效为一个电源电动势为E的电压源与一个,N 内阻为R的电阻串联组合，根据题意可知: a a a ,,ab + I ,1NNI ,U NN1N11Ω - ,ab b b ,b (b) (a) (c) 32 ， ， ， ， , IE 1 E E E , , U , ， 1 R R RR , ,，，a ,，，b ,(a)图中，见图():U=E=4V a1 ,，，b解得R=4Ω(b)图中:见图 : 2E2，4I,,,112R2R (c)图中: U4I,,,0.8A1 R，14，1 由上面的例子，可归纳用叠加定理分析电路的一般步骤: ?将复杂电路分解为含有一个(或几个)独立源单独,或共同,作用的分解电路。 ?分析各分解电路～分别求得各电流或电压分量。 ?叠加得最后结果。 用叠加定理分析电路时～应注意以下几点: (1)叠加定理仅适用于线性电路～不适用于非线性电路,仅适用于电压、电流的计算～不适用于功率的计算。 (2)当某一独立源单独作用时～其它独立源的参数都应置为零～即电压源代之以短路～电流源代之以开路。 应用叠加定理求电压、电流时～应特别注意各分量的符号。若分(3) 量的参考方向与原电路中的参考方向一致～则该分量取正号,反之取负号。 (4)叠加的方式是任意的～可以一次使一个独立源单独作用～也可以一次使几个独立源同时作用～方式的选择取决于对分析计算问题的简便与否。 33 第六节 简单电路的过渡过程 RC 一、电路的充电过程 RCSR t,0如图电路，开关合上之前电 SuR+ ,C，，u0,0容上没有储存能量，即。 CuCCU- 在时刻合上。 t,0Si U,u，uRC U,iR，u Cu,uCRduCRC，u,UCUdtuC解此常系数一阶线性非齐次微分方程。 u,,,u,u，u其通解为 RCCC 0,u,K令特解 Ct dK 则 RC，K,U idtU R,u,U？ 即 K,UC pt,,u,Ae对应齐次微分方程的通解 C t,RC,,？ u,AeC0tt,RC方程的通解为 u,U，AeC 其中由初始条件确定。 A ，,，，，，u0,u0,0按初始条件:当时， t,0CC 0，，u0,U，Ae,0？ 即 A,,UC t,RC，，t,0得: u,U,UeC t,duUCRCi,C,e，，t,0 dtR t,RCu,iR,Ue，，t,0 R 同样令 —— 时间常数 ,,RC t,,，，t,0 得: 曲线如图。 u,U,UeC 34 t,U,i,e，，t,0 曲线如图。 R t,,u,Ue，，t,0 曲线如图。 R 二、电路的放电过程 RCi12 如图电路，换路前开关在1上， St,0SR1Cu,U电容器充电达到稳态时。 t,0uu CCR+ R U时换路，将合到2上。电容器经电阻 S- 放电。 R i,uCu，u,0RCU iR，u,0CU uduCRCRC，u,0Cdti解此常系数一阶线性齐次微分方程。 0tptu,Ae 其通解形式 C ptd，，AeptRC，Ae,0 代入原方程 dt ptptRCApe，Ae,0 1 ？RCp，1,0 p,, RC 1t,RC 其中由初始条件确定。 ？u,AeAC ，,，，，，u0,u0,U按初始条件:当时， t,0CC 0，，？u0,Ae,A,U C t,RC 得: u,UeC 令 —— 时间常数 ,,RC t,,，，t,0 得: 曲线如图。 u,UeC t,duUC,i,C,,e，，t,0 曲线如图。 dtR 35 t,,u,iR,,Ue，，t,0 R ， * 时间常数:它反映了过渡过程持续时间的长短。 ,,RC , 越大，过渡过程持续时间越长，过渡过程进行得越慢。 三(一阶线性电路暂态分析的三要素法 只含有一个储能元件的线性电路，其暂态分析的微分方程是一阶常系 数线性微分方程，因此称为“一阶线性电路”。 一阶线性电路暂态分析的通式是:(三要素法) t,,，，，，，，，，,,ft,f,，f0,f,e ,其中: —— 时间常数 电路: RC,,RC L 电路: , ,RLR ，，，f0t,0 ——初始值(时刻的电压或电流) ，，f, —— 稳态值(时电路中的电压或电流) t,, U,6V,R,10,,R,20,,C,1000,F例4(4。已知下图电路中。开关S12 u合上前电容上没有储存能量。时刻合上开关。求时的和t,0St,0Cu Cu。 R2 C[解]时间常数: S RR12R ,RC,C 1,t,0R，R12+ u R 10，202UR2,6,22- ,，1000，10,，10s10，203 初始值: ，,，，uV u0,u0,0，，，，CC6 u ，R2，，u0,U,6VR24 稳态值: 2 u CR101，，u,,U,，6,2 0 C，，ts R，R10，2012 ，，，，u,,U,u,,6,2,4V R2C 36 t,2,2，10,150t3？，，t,0 ，，，，，，ut,2，0,2e,2,2eVC ,150t,150t，，，，，，ut,4，6,4e,4，2eV，，t,0 R2 曲线如图。 37 38